§2.5.2　圆与圆的位置关系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册课件　

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，通过日食现象抽象圆的动态变化引入，类比直线与圆的位置关系研究方法，构建从旧知到新知的学习支架，系统涵盖几何法、代数法判定及相交弦、综合应用等内容。 其亮点在于以数学眼光观察现实（日食抽象），用数学思维推理（几何法判定逻辑），借数学语言表达（方程与公式应用）。如例1对比几何法与代数法，例2推导公共弦方程，小结归纳方法体系。分层训练助学生发展推理与应用能力，教师可直接利用例题与练习提升教学效率。

圆与圆的位置关系 第二章　2.5.2 学习目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 日食是一种天文现象，民间称此现象为“天狗食日”.日食只在月球运行至太阳与地球之间且三者在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 相交弦问题 圆与圆的综合性问题 随堂演练 两圆位置关系的判断 04 课时对点练 01 两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0， 联立方程得 一元二次方程， 方程组有两组不同的实数解⇔两圆　　　，有一组实数解⇔两圆　　　，无实数解⇔两圆　　　　　　. 相交 相切 外离或内含 2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|= .则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆外离 d>r1+r2   两圆外切 d=r1+r2   位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆相交 |r1-r2|< d<r1+r2   两圆内切 d=|r1-r2|   两圆内含 d<|r1-r2| 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 注意点 9 　 (1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 例1 方法一　将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得x+2y-1=0， ③ 由③，得y=. 把上式代入①，并整理，得x2-2x-3=0. ④ 方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0， 解： 10 　 (1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 例1 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交. 方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25，圆C1的圆心是(-1，-4)，半径r1=5. 把圆C2的方程化成标准方程，得(x-2)2+(y-2)2=10，圆C2的圆心是(2，2)，半径r2=. 解： 11 　 (1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 例1 解： 圆C1与圆C2的圆心距为 =3. 圆C1与圆C2的两半径长之和r1+r2=5+，两半径长之 差r1-r2=5-. 因为5-<3<5+，即r1-r2<3<r1+r2，所以圆C1与圆C2相交(如图)，它们有两个公共点A，B. 12 　 (2)(课本例6)已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 例1 解： 如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2，0)，B(2，0). 设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|，得=×， 化简，得x2-12x+y2+4=0，即(x-6)2+y2=32. 所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(如图). 因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=4，又r2-r1<|PO|< r2+r1，所以点M的轨迹与圆O相交. 13 　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； 例1 圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x-a)2+(y-1)2=16，C2：(x-2a)2+(y-1)2=1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1=4，r2=1. ∴|C1C2|==a. 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切； 当|C1C2|=r1-r2=3，即a=3时，两圆内切. 解： 14 　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (2)相交； 例1 当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. 解： 16 　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (3)外离； 例1 当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. 解： 17 　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (4)内含. 例1 当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 解： 18 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系. 反思感悟 19 　(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是 A.4 B.6 C.16 D.36 跟踪训练1 √ 解析： 圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴=1+，解得a=16. 20 (2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有　　条. 4 解析： 到点A(-1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，-1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|==5. 半径之和为3+1=4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 21 02 相交弦问题 　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 例2 解： 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①-②，得x-y+4=0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3，0)，r=， 23 　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 例2 解： ∴C1到直线AB的距离d==， ∴|AB|=2=2=5， 即两圆的公共弦长为5. 25 　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 例2 解： 方法一　解方程组 得两圆的交点为(-1，3)，(-6，-2). 设所求圆的圆心为(a，b)， ∵圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4. 则 =， 26 　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 例2 解： 解得a=，故所求圆的圆心为， 半径为. 故所求圆的方程为+=， 即x2+y2-x+7y-32=0. 方法二　设圆的方程为x2+y2+6y-28+λ(x2+y2+6x-4)=0(λ≠-1)， 即x2+y2+x+y-=0， 27 　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 例2 解： ∴圆心坐标为. 代入直线方程得---4=0，解得λ=-，∴圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0. 28 (1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 反思感悟 29 　(多选)已知圆C1：x2+y2-4=0和圆C2：x2+y2-6x-8y+9=0，则 A.两圆的圆心距为25 B.两圆相交 C.两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-11=0 D.两圆的公共弦长为 跟踪训练2 √ √ 30 解析： 圆C1：x2+y2=4的圆心C1(0，0)，半径r1=2，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C2(3，4)，半径r2=4，圆心距|C1C2|==5，A错误； 因为|C1C2|=5，r2+r1=6，r2-r1=2，则r2-r1<|C1C2|<r2+r1，两圆相交，B正确； 将两圆方程相减得6x+8y-13=0，故两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-13=0，C错误； 圆心C1(0，0)到6x+8y-13=0的距离为=，由垂径定理得，两圆的公共弦长为2×=，D正确. 31 03 圆与圆的综合性问题 　　　 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 例3 解： 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切， 则=r+1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0， 故=. ② =r. ③ 由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 33 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？ 延伸探究 因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r， 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2， 又因为与圆x2+y2-2x=0外切， 且过点(3，-)， 所以解得 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 解： 34 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 反思感悟 35 课堂小结 1.知识清单： (1)两圆位置关系的判断. (2)两圆的公共弦问题. (3)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 36 04 随堂演练 1 2 3 4 1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 √ 解析： 圆x2+y2-1=0即x2+y2=1的圆心为(0，0)，半径为1，圆x2+y2-4x+2y-4=0即(x-2)2+(y+1)2=9的圆心为(2，-1)，半径为3，可知圆心距d= =. 由于2<d<4，所以两圆相交. 2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为 A.2 B.-5 C.-2 D.5 √ 1 2 3 4 √ 解析： 圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m)，半径为3， 圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m，-1)，半径为2. 依题意有=3+2， 即m2+3m-10=0，解得m=2或m=-5. 1 2 3 4 3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是 　　　　　　　　　　　　　　　　. (x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 解析： 设圆C的半径为r， 圆心距d==5， 当圆C与圆O外切时，r+1=5，解得r=4； 当圆C与圆O内切时，r-1=5，解得r=6， 则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16 或(x-4)2+(y+3)2=36. 1 2 3 4 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　. 解析： 将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y=， 圆心(0，0)到直线的距离d===1，所以a=1. 1 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A BCD C ABC C A 题号 8 9 11 12 13 答案 x2+y2+x-y +=0 ∪ C ABC x=-1或7x-24y-25=0或3x+ 4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可) 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50，C2：(x+1)2+(y+1)2=10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=. 又|C1C2|=2，r1+r2=5+，r1-r2=5-，所以r1-r2<|C1C2|<r1+ r2，所以两圆相交. (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0. 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x=2y-4， ③ 把③代入②得y2-2y=0，解得y1=0，y2=2， 所以或所以两圆交点坐标为(-4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为=2. 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5，圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3， 所以两圆的公共弦长为 2=2=2. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N， 点D为线段OO2与圆O2的交点， 则|DE|=h=6，|NE|=10，|O2M|=10，|O2N|=10-|DN|=h=6， 因为∠O1NO2=∠OMO2=90°， ∠O1O2N=∠OO2M， 所以△O1NO2∽△OMO2，所以=， 所以=，解得R=，即内圆弧AB对应的半径R为 mm. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)设圆C2的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 因为圆C1的方程为+y2=10， 所以圆C1的圆心坐标为C1， 因为圆C2与圆C1外切于点N， 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y=-，所以b=-， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为圆C2过点M， 且与圆C1外切于点N， 所以解得 所以圆C2的方程为x2+=. 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)， 则A，B(0，t)， 因为圆C2的方程为x2+=， 所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点，所以圆心C2 到直线m的距离满足<且t>， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以<t<， ① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE=BF，所以EF，AB的中点重合. 所以EF的中点D， 因为C2D⊥EF，C2， 所以·kEF=-1，即×2=-1， 解得t=4满足①式，所以直线m的方程为y=2x+4，即2x-y+4=0. 15. 13 14 15 1.圆C1：x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2：x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为 A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由已知，得C1(-2，-4)，r1=5， C2(-2，-2)，r2=3，则圆心距d=|C1C2|=2， 所以d=|r1-r2|，所以两圆内切. 2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1，0)，圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为=，即x+y-1=0. 3.(多选)下列圆中与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0相切的是 A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，可知圆心C的坐标为(-1，2)，半径r=2. A项，圆心C1(-2，-2)，半径r1=3. ∵|C1C|=∈(r1-r，r1+r)，∴两圆相交； B项，圆心C2(2，-2)，半径r2=3， ∵|C2C|=5=r+r2，∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2，2)，半径r3=5， ∵|C3C|=3=r3-r，∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，-2)，半径r4=7， ∵|C4C|=5=r4-r，∴两圆内切，满足条件. 4.圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为 A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，-1) C.(-1，0)和(0，-1) D.(-1，0)和(0，1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由 可得x+y+1=0，即y=-x-1， 代入x2+y2=1，解得x=-1或x=0， 故或 所以两圆的交点坐标为(-1，0)和(0，-1). 5.(多选)已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：x2+(y-a)2=9，则下列结论正确的是 A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<-2 B.若圆C1和圆C2外切，则a=±2 C.当a=0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切 D.当a=2时，圆C1和圆C2内含 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 圆C1：(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2，0)，半径r1=1， 圆C2：x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0，a)，半径r2=3，所以|C1C2|=， 若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=4，解得a>2或a<-2，故A正确； 若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|==4，解得a=±2，故B正确； 当a=0时，|C1C2|=2=r2-r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当a=2时，2=r2-r1<|C1C2|=2<r1+r2=4，则圆C1和圆C2相交，故D错误. 6.若直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于 A.1 B. C. D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|=2=2|AC1|， ∴C1为MC2的中点，A为BM的中点， ∴|MC1|=|C1C2|=2， 由勾股定理可得|AB|=|MA|==. 7.若曲线y=与圆(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)相切，则r的值为 A.3 B.2或7 C.2 D.3或7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 曲线y=，则y≥0，x2+y2=4， 所以曲线y=表示以O(0，0)为圆心，2为半径的半 圆(x轴及x轴上方部分)， 圆(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)的圆心为M(3，4)， 半径为r，又|OM|==5， 若两圆外切，则|OM|=r+2，即r=3，此时满足曲线y=与圆(x-3)2+ (y-4)2=r2(r>0)相切；若内切，则|OM|=r-2，即r=7，因为半圆只包含上半部分，此时内切点不在半圆上，故r=7舍去，综上，r=3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x-4y=0的两个交点， 并且有最小面积，则此圆的方程为　　　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x2+y2+x-y+=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设圆的方程为x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4)=0，λ∈R， 即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0， 此时圆心坐标为， 当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小， ∴2(-1-λ)++4=0，解得λ=， 则所求圆的方程为 x2+y2+x-y+=0. 9.在平面直角坐标系中，圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0上存在点P到点(0， 1)的距离为2，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0，所以(x-a)2+(y-a)2=1， 其圆心C(a，a)，半径r=1. 因为点P到点(0，1)的距离为2，设P(x，y)， 所以点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=4. 又因为点P在(x-a)2+(y-a)2=1上，所以圆C与圆x2+(y-1)2=4有交点， 即2-1≤≤2+1， 解得≤a≤0或1≤a≤. 所以实数a的取值范围是∪. 10.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50，C2：(x+1)2+(y+ 1)2=10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=. 又|C1C2|=2，r1+r2=5+，r1-r2=5-，所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2，所以两圆相交. 解： 13 14 15 10.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0. (2)求公共弦所在的直线方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0. 解： 13 14 15 10.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0. (3)求公共弦的长度. 方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x=2y-4， ③ 把③代入②得y2-2y=0，解得y1=0，y2=2， 所以或所以两圆交点坐标为(-4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为=2. 解： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0. (3)求公共弦的长度. 方法二　由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5，圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3， 所以两圆的公共弦长为 2=2=2. 解： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2+y2-10x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m等于 A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切. 因为A(1，0)，B(1，6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9， 圆C：(x-5)2+(y-6)2=61-m. 因为两圆相切， 所以|CM|=|3±|，即5=|3±|， 解得m=57或m=-3. 12.(多选)已知圆C1：x2+y2=r2，圆C2：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有 A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2 C.x1+x2=a D.y1+y2=2b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0，即2ax+2by=a2+b2. 分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入，得2ax1+2by1=a2+b2，2ax2+2by2=a2+b2. 两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0，即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0，所以A，B正确； 由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1+x2=a，y1+y2=b，所以C正确，D不正确. 13.(2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程___________________________________________________ _________________________. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需写出上 述三个方程中的一个即可) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图，因为圆x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r1=1， 圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3，4)，半径r2=4， 所以|OA|=5，r1+r2=5，所以|OA|=r1+r2，所以两圆外 切，公切线有三种情况： ①易知公切线l1的方程为x=-1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称. 易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由得 由对称性可知公切线l2过点. 设公切线l2的方程为y+=k(x+1)， 则点O(0，0)到l2的距离为1， 所以1=，解得k=， 所以公切线l2的方程为y+=(x+1)， 即7x-24y-25=0. 解析： ③还有一条公切线l3与直线l：y=x垂直，设公切线 l3的方程为y=-x+t， 易知t>0，则点O(0，0)到l3的距离为1， 所以1=， 解得t=或t=-(舍去)， 所以公切线l3的方程为y=-x+， 即3x+4y-5=0. 综上，所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示)，求内圆弧AB对应的半径R. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N， 点D为线段OO2与圆O2的交点， 则|DE|=h=6，|NE|=10，|O2M|=10，|O2N|=10-|DN|=h=6， 因为∠O1NO2=∠OMO2=90°， 14.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示)，求内圆弧AB对应的半径R. 解： ∠O1O2N=∠OO2M， 所以△O1NO2∽△OMO2，所以=， 所以=，解得R=，即内圆弧AB对应的半径R为 mm. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 设圆C2的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 因为圆C1的方程为+y2=10， 所以圆C1的圆心坐标为C1， 解： 15.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为圆C2与圆C1外切于点N， 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y=-， 所以b=-， 因为圆C2过点M， 解： 15.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程； 且与圆C1外切于点N， 所以解得 所以圆C2的方程为x2+=. 解： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程. 解： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)， 则A，B(0，t)， 因为圆C2的方程为x2+=， 所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点， 15.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程. 解： 所以圆心C2到直线m的距离满足 <且t>， 所以<t<， ① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE=BF，所以EF，AB的中点重合. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程. 解： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以EF的中点D， 因为C2D⊥EF，C2， 所以·kEF=-1，即×2=-1， 解得t=4满足①式，所以直线m的方程为y=2x+4，即2x-y+4=0. THANKS 本课结束 $