2.5.2　圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，通过自主学习的填练结合旧知（直线与圆位置关系）搭建支架，引导学生从几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）展开探究。 其亮点是分层设计（自主、互动、巩固），突出几何法优先的思维训练，如例2判断两圆相交及变式求公共弦长，培养几何直观与推理能力。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生系统掌握，教师可利用结构化资源实施高效教学。

第二章　直线和圆的方程 2.5.2　圆与圆的位置关系 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 自主学习通道 相交 内切或外切 外离或内含 自主学习通道 自主学习通道 × × × √ 自主学习通道 D 自主学习通道 A 自主学习通道 D 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 互动探究通道 B 互动探究通道 互动探究通道 (x－3)2＋ (y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 B 巩固提升通道 C 巩固提升通道 3 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x＋y－3＝0 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (x－2)2＋(y－2)2＝2 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 填一填 圆与圆位置关系的判断 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆心连线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1， r2的关系 eq \o(□,\s\up4(1)) eq \o(□,\s\up4(2)) eq \o(□,\s\up4(3)) eq \o(□,\s\up4(4)) eq \o(□,\s\up4(5)) (2)代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断． 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(圆C1方程，,圆C2方程，))消元，得到一元二次方程， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔\o(□,\s\up4(6)) ，,Δ＝0⇔\o(□,\s\up4(7)) ，,Δ＜0⇔\o(□,\s\up4(8)) ．)) 【提醒】　(1)设r1，r2分别为圆C1，圆C2的半径，当r1＝r2时，两圆不会出现内切或内含的情况．若两圆的圆心距d＝0且r1＝r2，则两圆重合． (2)利用代数法判断两圆的位置关系时，由于解二元二次方程组的计算量较大，较为麻烦，而且当方程组无解或只有一组解时往往还得重新用几何法来讨论，故不如直接运用几何法简便．用几何法判断的结果是唯一的，因此实际解题时要优先选用几何法． 练一练 1．判断正误 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) 2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．内含　 B．内切　 C．外切　 D．相交 解析　由题意可知，圆O1的圆心O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(0，2)，半径r2＝2，所以|O1O2|＝ eq \r(5)，又r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1和圆O2的位置关系是相交． 3．已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16，则圆O1与圆O2的位置关系为(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 解析　圆O1的圆心为(0，0)，半径等于1， 圆O2的圆心为(3，－4)，半径等于4， 所以两圆圆心距为 eq \r((0－3)2＋(0＋4)2)＝5， 恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切． 4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　两圆的圆心分别是(－1，－1)，(2，1)，半径分别是2，1；两圆圆心距离是 eq \r((2＋1)2＋(1＋1)2)＝ eq \r(13)>2＋1，说明两圆相离，因而公切线有4条． 类型一　两圆位置关系的判断　　　　　　自主探究 1．已知圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－9＝0，则两圆的位置关系为(　　) A．外离　 B．外切　 C．相交　 D．内切 解析　圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9的圆心为C1(5，3)，半径r1＝3， 圆C2：x2＋y2－4x＋2y－9＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝14，圆心C2(2，－1)，半径r2＝ eq \r(14)， 两圆的圆心距|C1C2|＝ eq \r((5－2)2＋[3－(－1)]2)＝5， 显然 eq \r(14)－3<5< eq \r(14)＋3， 即r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，所以圆C1与圆C2相交． 2．已知圆C1：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)的圆心到直线x－y－2＝0的距离为2 eq \r(2)，则圆C1与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 解析　已知圆C1的圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝2 eq \r(2)，即 eq \f(|0－a－2|,\r(12＋(－1)2))＝2 eq \r(2)，解得a＝2或a＝－6，因为a>0，所以a＝2， 所以圆C1：x2＋(y－2)2＝4的圆心C1的坐标为(0，2)，半径r1＝2， 将圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圆心C2的坐标为(1，2)，半径r2＝1， 圆心距|C1C2|＝ eq \r((0－1)2＋(2－2)2)＝1＝r1－r2， 所以两圆内切． 判断两圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆化成标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)比较d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系； (4)由大小关系确定两圆位置关系，必要时可借助图形，数形结合来判断． 类型二　两圆的相切问题 【例1】　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 ； (2)与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－ eq \r(3))的圆的方程为 ． (x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 eq \r(3))2＝36 解析　(1)设所求圆的半径为r，则 eq \r(32＋(－4)2)＝|8－r|，∴r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169. (2)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为1，∴ eq \r((a－1)2＋b2)＝r＋1　①.又所求圆与直线x＋ eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－ eq \r(3))，故 eq \f(b＋\r(3),a－3)＝ eq \r(3)　②，且 eq \f(|a＋\r(3)b|,2)＝r　③.由①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4 eq \r(3)，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 eq \r(3))2＝36. 处理两圆相切问题的步骤 (1)定性：必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切； (2)转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). [跟踪训练1]　求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－ eq \r(3))的圆的方程． 解　因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－ eq \r(3))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r((a－1)2＋02)＝r＋1，,(3－a)2＋(－\r(3))2＝r2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 类型三　两圆的相交问题 【例2】　已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆的位置关系． 解　将两圆方程化为标准方程， 得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5 eq \r(2)， 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝ eq \r(10). 又∵|C1C2|＝2 eq \r(5)，r1＋r2＝5 eq \r(2)＋ eq \r(10)，r1－r2＝5 eq \r(2)－ eq \r(10)， ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交． 变式探究 1．(变设问)在本例的条件下，求公共弦所在直线方程． 解　将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0. 2．(变设问)在本例的条件下，求公共弦的长度． 解　圆C1的圆心为(1，－5)，其到公共弦所在直线x－2y＋4＝0的距离d＝ eq \f(|1－2×(－5)＋4|,\r(1＋(－2)2))＝3 eq \r(5)，所以公共弦长l＝22,1) eq \r(r－d2) ＝2 eq \r(50－45)＝2 eq \r(5). 处理两圆相交的有关问题的方法 (1)求两圆的公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． [跟踪训练2]　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝ eq \f(25,4)截得的弦长． 解　由题意将圆C1和C2的方程相减， 可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1，1)， 其到直线l的距离d＝ eq \f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝ eq \f(\r(2),2)， 所以所求弦长为2 eq \r(\f(25,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up42(2))＝ eq \r(23). 探究窗　圆系方程的应用 【典例】　求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． [解]　设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即x2＋y2－ eq \f(4,1＋λ)x－ eq \f(4λ,1＋λ)y－6＝0， 所以圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))). 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以 eq \f(2,1＋λ)－ eq \f(2λ,1＋λ)－4＝0，即λ＝－ eq \f(1,3). 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 经检验，圆x2＋y2－4y－6＝0的圆心不在直线x－y－4＝0上． 1．过直线与圆的交点的圆系方程 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). 2．过两圆交点的圆系方程 若两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过这两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(不包括圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，故解题时注意检验圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0是否满足题意，以防漏解).当λ＝－1时，方程表示两圆的公共弦所在直线的方程． [针对训练]　求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程． 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0. 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0，)) 得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0. 因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0. 1．知识清单 (1)两圆位置关系的判断． (2)两圆的相切问题． (3)两圆的相交问题． (4)圆系方程的应用． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混淆． 1．(2024·常州一中检测)两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是 (　　) A．内切　 B．外离　 C．外切　 D．相交 解析　由题意可得两圆方程分别为x2＋y2＝1和(x－2)2＋(y＋1)2＝9，则两圆圆心分别为(0，0)和(2，－1)，半径分别为r1＝1和r2＝3，则圆心距d＝ eq \r((2－0)2＋(－1－0)2)＝ eq \r(5)，则|r1－r2|< eq \r(5)<r1＋r2，所以两圆相交． 2．已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为 (　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－2)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1 解析　两圆圆心距为2，则圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1. 3．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8 C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8 解析　由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0，即x＋ eq \f(E,4)y－ eq \f(F＋4,4)＝0，所以E＝－4，F＝－8. 4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的公切线条数是 ． 解析　由题意可得C1(1，2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切，所以公切线有3条． 基础巩固 1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为 (　　) A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则|C1C2|＝2＝|r1－r2|，所以两圆内切． 2．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 (　　) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C．(x－5)2＋(y－7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 解析　设动圆圆心为(x0，y0)， 若动圆与已知圆外切， 则 eq \r((x0－5)2＋(y0＋7)2)＝4＋1， ∴(x0－5)2＋(y0＋7)2＝25； 若动圆与已知圆内切， 则 eq \r((x0－5)2＋(y0＋7)2)＝4－1， ∴(x0－5)2＋(y0＋7)2＝9. 故动圆圆心的轨迹方程为(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 3．圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的公共弦长为(　　) A． eq \f(12,5) B． eq \f(16,5) C． eq \f(24,5) D． eq \f(32,5) 解析　两圆方程相减得公共弦所在直线方程为3x＋4y－16＝0，圆心C1(0，0)到公共弦所在直线的距离为d＝ eq \f(|－16|,\r(32＋42))＝ eq \f(16,5)，所以所求弦长为2 eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))\s\up42(2))＝ eq \f(24,5).故选C. 4．若圆O1：(x－3)2＋(y－4)2＝25和圆O2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(0<r<5)相切，则r等于(　　) A．5－2 eq \r(2) B．5－2 eq \r(3) C．5－ eq \r(2) D．5－ eq \r(3) 解析　因为圆O1：(x－3)2＋(y－4)2＝25的圆心为O1(3，4)，半径为R＝5， 圆O2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(0<r<5)的圆心为O2(1，2)，半径为r(0<r<5)， 所以圆心距为|O1O2|＝ eq \r((3－1)2＋(4－2)2)＝2 eq \r(2)<5， 又两圆相切，所以只能内切， 因此|O1O2|＝R－r，所以r＝5－2 eq \r(2).故选A. 5．两圆相交于A(1，3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是(　　) A．－1 B．2 C．3 D．0 解析　由题意知，直线AB与直线x－y＋c＝0相互垂直，则有 eq \f(3＋1,1－m)×1＝－1，∴m＝5，∴AB的中点为(3，1).由圆的性质知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，即3－1＋c＝0， ∴c＝－2，从而m＋c＝5－2＝3. 6．若圆M：x2＋y2＋ax＋by－ab－6＝0(a>0，b>0)平分圆N：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则2a＋b的最小值为(　　) A．8 B．9 C．16 D．20 解析　两圆方程相减，得(a＋4)x＋(b＋2)y－ab－10＝0，此为相交弦所在的直线方程． 又圆N的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心N(2，1)，∴2(a＋4)＋b＋2－ab－10＝0，∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝1. ∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b))) ＝4＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8， 当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.故选A. 7．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为 ． 解析　线段AB的中垂线即为圆C1，圆C2的圆心连线C1C2，又C1(3，0)，C2(0，3)，所以直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0. 8．(2023·湖北十堰期中)如图，圆C与圆O：x2＋y2＝16内切于点A，与x轴、y轴分别相切于点E，F，则圆C的半径为 ． 4( eq \r(2)－1) 解析　设圆C的半径为r，则|CA|＝|CE|＝|CF|＝r，易知四边形OECF为正方形，所以|OC|＝ eq \r(2)r，所以|OA|＝( eq \r(2)＋1)r＝4，所以r＝ eq \f(4,1＋\r(2))＝4( eq \r(2)－1). 9．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1、C2的方程经配方后可得： C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆C1的圆心C1(a，1)，半径r1＝4，圆C2的圆心C2(2a，1)，半径r2＝1， ∴|C1C2|＝ eq \r((a－2a)2＋(1－1)2)＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切， 当|C1C2|＝|r1－r2|＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 10．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1).若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2 eq \r(2)，求圆O2的方程． 解　设圆O2的半径为r2，则圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r eq \o\al(2,2)，因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r eq \o\al(2,2)－8＝0. 作O1H⊥AB，H为垂足，则|AH|＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \r(2)，所以|O1H|＝ eq \r(4－|AH|2)＝ eq \r(4－2)＝ eq \r(2). 由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋r eq \o\al(2,2)－8＝0的距离为2,2) eq \f(|r－12|,4\r(2)) ＝ eq \r(2)，得r eq \o\al(2,2)＝4或r eq \o\al(2,2)＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 能力提升 11．(多选)(2024·廊坊一中月考)在平面直角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A(0，3)，若圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝r2上存在动点M满足|MA|＝2|MO|，则r的值可能为 (　 　) A．3 B．5 C．7 D．9 解析　设M(x，y)，因为动点M满足|MA|＝2|MO|，所以 eq \r(x2＋(y－3)2)＝2 eq \r(x2＋y2)，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，是以(0，－1)为圆心，2为半径的圆．动点M在圆C上，所以圆x2＋y2＋2y－3＝0与圆C有公共点，所以r－2≤ eq \r(32＋(3＋1)2)≤r＋2，解得3≤r≤7.故选ABC. 12．(多选)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0，则下列结论正确的是(　 　) A．当两圆外切时，m＝25＋10 eq \r(11) B．当两圆内切时，m＝25－10 eq \r(11) C．当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0 D．当m＝45时，两圆的公共弦长为 eq \r(7) 解析　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为 eq \r(11)， eq \r(61－m).对于A，当两圆外切时，由 eq \r((5－1)2＋(6－3)2)＝ eq \r(11)＋ eq \r(61－m)，得m＝25＋10 eq \r(11)，正确；对于B，当两圆内切时，因为定圆半径 eq \r(11)小于两圆圆心之间的距离5，所以 eq \r(61－m)－ eq \r(11)＝5，解得m＝25－10 eq \r(11)，正确；对于C，当m＝45时，两圆相交，由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，正确；对于D，两圆的公共弦长为2 eq \r((\r(11))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))\s\up42(2))＝2 eq \r(7)，错误．故选ABC. 13．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是 ． 解析　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝ eq \f(|6＋6－2|,\r(2))＝5 eq \r(2).过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示， 圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为 eq \f(5\r(2)－3\r(2),2)＝ eq \r(2)，则圆C2的半径长为 eq \r(2).设C2的坐标为(x0，x0)，则 eq \f(|x0＋x0－2|,\r(2))＝ eq \r(2)，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2. 多元数学 14．(结构不良题)(2023·湖北孝感期中)已知圆C1满足 ，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0. ①圆心在直线y＝1上，且过点( eq \r(5)，1)，(1，－1)； ②圆心在y轴上，半径为 eq \r(5)，且圆关于直线y＝x＋1对称． 在①②这两个条件中任选一个，填在横线上，并解答下列问题： (1)求圆C1的标准方程； (2)求圆C1与圆C2的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线2x＋4y＝1上的圆的方程． 解　(1)选①. 设圆心C1(a，1)， 则 eq \r((\r(5)－a)2＋(1－1)2) ＝ eq \r((1－a)2＋(－1－1)2)，解得a＝0， 此时圆的半径为r1＝ eq \r(1＋4)＝ eq \r(5)， 所以圆C1的标准方程为x2＋(y－1)2＝5. 选②. 因为圆关于直线y＝x＋1对称，所以圆心在直线y＝x＋1上，又圆心在y轴上，所以圆心为(0，1)，又半径为 eq \r(5)，所以圆C1的标准方程为x2＋(y－1)2＝5. (2)两圆的公共弦所在的直线方程为(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，化简得x－y－1＝0， 圆C1的圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的 距离d＝ eq \f(|－1－1|,\r(1＋1))＝ eq \r(2)， 所以所求公共弦长为2 eq \r((\r(5))2－(\r(2))2)＝2 eq \r(3). (3)设过两圆的交点的圆的方程为(x2＋y2－4x＋2y)＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，λ≠－1， 即x2＋y2－ eq \f(4,1＋λ)x＋ eq \f(2－2λ,1＋λ)y－ eq \f(4λ,1＋λ)＝0，λ≠－1. 由圆心 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，－\f(1－λ,1＋λ)))在直线2x＋4y＝1上，得 eq \f(4,1＋λ)－ eq \f(4(1－λ),1＋λ)＝1，解得λ＝ eq \f(1,3)， 所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 经检验，圆x2＋y2－2y－4＝0的圆心不在直线2x＋4y＝1上． $