3.2 双曲线讲义 -2026-2027学年 高二上学期 数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线核心知识点，系统梳理定义（含第一、二、三定义及注意事项）、标准方程（两种形式）、求解方法（定义法、待定系数法）及几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等），从概念到应用层层递进，构建完整学习支架。 资料特色在于知识梳理注重数学思维培养，如离心率求解技巧强调构建齐次方程，必记结论归纳通径、焦点三角形面积等；题型演练覆盖多样题型，实例丰富（如焦点与渐近线、最值问题），助力学生用数学眼光发现规律，用数学语言解决问题，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

双曲线 双曲线 2 【知识梳理】 2 知识点1：双曲线的定义 2 知识点2：双曲线标标准方程 2 知识点3：求解双曲线方程 3 知识点4：双曲线的简单几何性质 3 【题型演练】 5 【题型一：双曲线定义与方程】 5 【题型二：双曲线焦点、焦距、焦半径及渐近线】 10 【题型三：双曲线中的最值】 17 【题型四：双曲线的离心率】 24 双曲线 【知识梳理】 知识点1：双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【注意】 设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 【定义拓展】 双曲线第二定义：平面内到一个定点的距离与一条定直线的距离之比值为定值，且定值大于1的动点的轨迹为双曲线。即，这个定点为双曲线的一个焦点，这条定直线为双曲线的一条准线，定值为双曲线的离心率。 双曲线第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当>1时，该动点的轨迹为双曲线。 知识点2：双曲线标标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 知识点3：求解双曲线方程 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 知识点4：双曲线的简单几何性质 1. 双曲线的简单几何性质 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2. 双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 【注意】离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率  ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,c的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 ，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 3. 双曲线中必记结论 (1) 双曲线的通径: 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （4）双曲线的切线 点在双曲线上，过点M作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点M对应切点弦方程为 【题型演练】 【题型一：双曲线定义与方程】 1．以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（    ）. A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据两个曲线性质和方程的关系，转化求解双曲线方程即可． 【详解】解：双曲线，可得焦点坐标， 所求双曲线的顶点，即，且两条渐近线互相垂直， 解得：， 所以双曲线的方程为：． 故选：C． 2．已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为_______. 【答案】 【知识点】切线长、利用双曲线定义求方程 【分析】设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，利用圆的切线长定理，再利用双曲线的定义求解. 【详解】如图所示：    设PM，PN分别与圆C相切与R，Q， 由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB， 所以， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线（去除顶点），且c=3，a=1， 所以点的轨迹方程为 故答案为：. 3．已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】由两点间距离公式可得 ，根据题中条件，得到，结合双曲线的定义，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，，， 因为 都在椭圆上， 所以，， 故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支， 又，，即，，所以， 因此的轨迹方程是（）. 故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 4．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【知识点】等轴双曲线、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. 5．过点的等轴双曲线的方程为________________. 【答案】 【知识点】等轴双曲线、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为，， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 6．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 【答案】BC 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式依次判断选项即可. 【详解】当曲线C是椭圆时，，解得或，故A错误； 当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误. 故选：BC 7．（多选）已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 【答案】ACD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、等轴双曲线、判断方程是否表示双曲线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】由题意，曲线，， 若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确； 若，又，则， 曲线，可化为， 当时，则曲线表示圆， 当时，则曲线表示椭圆，故B错误； 若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确； 若，又， 所以， 则曲线为， 则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）已知曲线与曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点到其渐近线的距离是3 B．当时，两曲线的焦距相等 C．当时，曲线为椭圆 D．当时，曲线为双曲线 【答案】AC 【知识点】判断方程是否表示椭圆、求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出曲线的焦点坐标和渐近线方程，进而求出距离即可判断A； 求出两条曲线的焦距即可判断B； 根据题意求出的范围即可判断C,D. 【详解】对A，曲线的左右焦点为，渐近线方程是，则焦点到渐近线的距离，A正确； 对B，由A，曲线的焦距为10，若，则曲线是焦点在x轴上的双曲线，焦距为，B错误； 对C，若，则，即曲线为焦点在x轴上的椭圆，C正确； 对D，若，则，不表示任何图形，D错误. 故选：AC. 9．（多选）设方程则下列说法正确的是（    ） A．时，方程 C表示一条直线 B．时，方程 C表示圆 C．时，方程 C表示椭圆 D．或时，方程C表示双曲线 【答案】ABD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【分析】对于A、B选项，将的值代入方程即可判断；对于C，由椭圆方程特点可分析取值范围；对于D，由双曲线方程特点可分析取值范围. 【详解】选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故A正确； 选项B：当时，方程C化为，表示以原点为圆心、半径为1的圆，故B正确； 选项C：当时，方程C化为， 当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误； 选项D：当时，、， 方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，、， 方程C化为表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确. 故选：ABD 【题型二：双曲线焦点、焦距、焦半径及渐近线】 10．关于双曲线C：下列说法正确的是（   ） A．C的渐近线方程为 B．C的离心率为 C．C的焦点坐标为 D．C的实轴长是虚轴长的4倍 【答案】B 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线方程求出、、，再根据双曲线的渐近线、离心率、焦点以及实轴与虚轴的定义一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，， 所以渐近线方程为，故A不正确； 离心率为，故B正确； 焦点坐标为，故C错误； 实轴长为，虚轴长为，所以的实轴长是虚轴长的倍，故D错误. 故选：B 11．（多选）已知双曲线C的方程为，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为， B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为1 【答案】ACD 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的几何性质，由标准方程明确，，则可得答案. 【详解】对于A：由双曲线，则，即， 所以双曲线的焦点坐标为，故A正确； 对于B：双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C：双曲线C的离心率，故C正确； 对于D：双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 12．若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是__________. 【答案】1 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的焦点坐标 【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦点即可求参. 【详解】双曲线的焦点在x轴上, 椭圆中, 所以, 可得. 故答案为：1. 13．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 【答案】 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】由双曲线方程为，知：双曲线的实轴长为，虚轴长为， 由题意得：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，的渐近线为. 14．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中的关系，得到的值. 【详解】双曲线焦点为，所以， 所以， 故选：C. 【点睛】 15．若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得. 【详解】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D. 16．双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】利用双曲线的定义求解，结合焦半径的范围得到的值. 【详解】焦距为10，，，，， ，是双曲线上的一点，， ，，或， ，舍去，. 故选：B.    17．（多选）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 【答案】BD 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的顶点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】把方程化成标准形式，再逐项分析判断即得. 【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长， 双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是； 而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是. 故选：BD 18．（多选）已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（   ） A．的渐近线方程为 B． C．的焦距为4 D．四边形的面积为 【答案】ABD 【知识点】双曲线的对称性、等轴双曲线、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据等轴双曲线的性质判断A，设等轴双曲线和圆的方程，联立后求双曲线方程，以及交点的坐标，即可判断BCD. 【详解】A.等轴双曲线的渐近线方程为，故A正确； B.设等轴双曲线，圆，，，，，，， 联立，得，， ，得，所以，故B正确； C. 等轴双曲线中，，所以焦距为，故C错误； D.由对称性可知，四边形是矩形，所以四边形的面积为，故D正确. 故选：ABD 19．（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 20．（多选）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 【题型三：双曲线中的最值】 21．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【详解】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 22．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：. 23．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 24．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值. 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 25．（多选）已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（   ） A． B．为等腰直角三角形 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的渐近线的方程和直线与圆相切的条件，求出参数，写出双曲线标准方程，根据点的坐标，双曲线的性质，两点间的距离公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，取其中与圆心为，半径为1的圆相切， 可得，由于，解得，所以A错误； 可得双曲线方程为，设双曲线的半焦距为， 则，所以， 因为，所以，，可知，所以为等腰直角三角形，B正确； 动点在的左支上，则，则， 所以，当三点共线时，最小，此时， 此时，所以的最小值为，所以C正确； 设，可得，即， 则， 当时，的最小值，此时，所以D正确； 故选：BCD. 26．（多选）已知双曲线：经过点，为的右焦点，为坐标原点，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为 C．的两条渐近线的夹角小于 D．若点，是左支上一点，则的最小值为 【答案】BCD 【知识点】已知两点求斜率、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用题给已知条件，结合双曲线的基本性质（离心率、渐近线、定义等）对各选项进行分析判断． 【详解】   双曲线经过点， ，解得， ，故A错误； 的离心率，， ，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，代入，则， 设渐近线的倾斜角为，则，， ， ， 两渐近线的夹角为：，故C正确； ，左焦点，右焦点， 又 因为是左支上一点， ， ，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立． ， 的最小值为，故D正确. 故选：． 27．（多选）已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】直接求解渐近线方程判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可． 【详解】对于A：双曲线，渐近线方程为； 双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，， 故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确． 28．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 【题型四：双曲线的离心率】 29．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率求出，即可得双曲线线的渐近线方程.. 【详解】因为， 所以，即， 因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 30．双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 31．已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线定义可得，，即可在焦点三角形中，利用余弦定理求解,由离心率公式即可求解. 【详解】根据题意可知点在右支上，则，又， ，， ，则在中，， ，故. 故选：C． 32．双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，设出点的坐标，再利用斜率坐标公式及双曲线方程求出离心率. 【详解】依题意，，设，则，， 由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：D 33．设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，借助双曲线的定义及几何性质列出不等式求出离心率范围. 【详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 34．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 35．已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线 双曲线 1 【知识梳理】 1 知识点1：双曲线的定义 1 知识点2：双曲线标标准方程 1 知识点3：求解双曲线方程 2 知识点4：双曲线的简单几何性质 2 【题型演练】 4 【题型一：双曲线定义与方程】 4 【题型二：双曲线焦点、焦距、焦半径及渐近线】 5 【题型三：双曲线中的最值】 7 【题型四：双曲线的离心率】 9 双曲线 【知识梳理】 知识点1：双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【注意】 设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 【定义拓展】 双曲线第二定义：平面内到一个定点的距离与一条定直线的距离之比值为定值，且定值大于1的动点的轨迹为双曲线。即，这个定点为双曲线的一个焦点，这条定直线为双曲线的一条准线，定值为双曲线的离心率。 双曲线第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当>1时，该动点的轨迹为双曲线。 知识点2：双曲线标标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 知识点3：求解双曲线方程 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 知识点4：双曲线的简单几何性质 1. 双曲线的简单几何性质 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2. 双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 【注意】离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率  ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,c的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 ，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 3. 双曲线中必记结论 (1) 双曲线的通径: 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （4）双曲线的切线 点在双曲线上，过点M作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点M对应切点弦方程为 【题型演练】 【题型一：双曲线定义与方程】 1. 以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（    ）. A． B． C． D．或 2. 已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为_______. 3．已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 5．过点的等轴双曲线的方程为________________. 6．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 7．（多选）已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 8．（多选）已知曲线与曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点到其渐近线的距离是3 B．当时，两曲线的焦距相等 C．当时，曲线为椭圆 D．当时，曲线为双曲线 9．（多选）设方程则下列说法正确的是（    ） A．时，方程 C表示一条直线 B．时，方程 C表示圆 C．时，方程 C表示椭圆 D．或时，方程C表示双曲线 【题型二：双曲线焦点、焦距、焦半径及渐近线】 10．关于双曲线C：下列说法正确的是（   ） A．C的渐近线方程为 B．C的离心率为 C．C的焦点坐标为 D．C的实轴长是虚轴长的4倍 11．（多选）已知双曲线C的方程为，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为， B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为1 12．若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是__________. 13．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 14．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 15．若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 16．双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 17．（多选）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 18．（多选）已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（   ） A．的渐近线方程为 B． C．的焦距为4 D．四边形的面积为 19．（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 20．（多选）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【题型三：双曲线中的最值】 21．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 22．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______． 23．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 24．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 25．（多选）已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（   ） A． B．为等腰直角三角形 C．的最小值为 D．的最小值为 26．（多选）已知双曲线：经过点，为的右焦点，为坐标原点，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为 C．的两条渐近线的夹角小于 D．若点，是左支上一点，则的最小值为 27．（多选）已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 28． 已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【题型四：双曲线的离心率】 29．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 30．双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 31．已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 32．双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 33．设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $