精品解析：2026年山东东营市中考数学试题

二〇二六年东营市初中学业水平考试 数学 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是. 2. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 4. 随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 5. 为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． 6. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 7. 津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出高铁列车的平均速度，再根据预计乘坐高铁比自驾少用列出方程即可． 【详解】解：设自驾的平均速度为，则高铁列车的平均速度为 由题意，可列方程为． 8. 若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一次折叠确定的位置及点纵坐标，根据第二次折叠性质得出，在中利用勾股定理求出长，进而确定 点横坐标． 【详解】解：∵ 折叠矩形使与重合，是折痕， ∴ 垂直平分，，为 中点，  ∵四边形是矩形，，，  ∴，， ， ∴，， 点纵坐标为 ； ∵ 将沿折叠，点的对应点落在折痕上， ∴， 在 中， ， ∵ 点 在点左侧 ， ∴ 点横坐标为 ， ∴ 点的坐标为 ． 10. 在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分． 11. 近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 因式分解：______________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用摸到白球的等可能结果数除以所有等可能结果总数，计算即可． 【详解】解：∵盒子中所有球除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相等，总球数为个，其中白球有个， ∴摸到白球的概率为． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则”是解答本题的关键． 由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【解析】 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向，  ． 海里，海里． 在中，，海里． ，  ． 即． 解得．  （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 16. 如图，在中，为边上一点（不与点，重合）．按如下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点，作射线交于点； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交，于点M，N，连接，． 根据以上作图，可判断四边形的形状是__________． 【答案】菱形 【解析】 【分析】根据作图步骤①②可得同位角相等，从而判定 ；根据步骤③可得是线段的垂直平分线；结合平行线的性质和垂直平分线的性质，通过证明对角线互相垂直平分来判定四边形的形状． 【详解】解：由作图步骤①②可知，， ， ， 设与相交于点，如图， 由作图步骤③可知，是线段的垂直平分线， ，． ，  ， 在和中， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 平行四边形是菱形． 17. 如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点H，根据三角形的中位线性质得出，，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，如图所示： ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴，  ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，  在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图，四边形是正方形，点C，A分别在轴，轴上，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按点O，A，B，C循环．若点的坐标为，则点的纵坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质确定边长及顶点坐标，通过计算的纵坐标，归纳出纵坐标． 【详解】解：四边形是正方形，，  ，，，  由题意可知，渐开线每段弧的半径依次增加1，圆心按循环 ， 对于：是第3段弧，半径为3，圆心为，且在的正上方，  的纵坐标为，  对于：是第7段弧，半径为7，圆心为，且在的正上方，  的纵坐标为，  由此可得规律，对应的弧是第段弧，  该段弧的半径为，圆心为，  的纵坐标为． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，化简后，从，0，1中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，分别计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将合适的字母的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 因为分母不能为0，所以，当时，代入得， 原式． 20. 为深入实施国家教育数字化战略，东营市某县区举办中学生编程竞赛活动．现从甲、乙两所学校各随机抽取名学生的成绩（满分分）进行整理、描述和分析（成绩用表示，均不低于分，分为一般：；良好：；优秀：三档）． （一）收集数据 甲学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 乙学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． （二）整理数据 （三）分析数据 甲、乙两学校所抽取学生竞赛成绩统计表： 统计量 学校 平均数 中位数 方差 甲 乙 （四）应用数据 （1）填空：_________，_________，________（填“”“”或“”）； （2）甲学校有名学生参加了此次竞赛活动，请估计甲学校参赛学生中获得优秀的人数； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对甲、乙两所学校的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况作出评价． 【答案】（1）；； （2）名 （3）乙学校学生成绩的中位数比甲学校学生成绩的中位数高，所以乙学校学生的成绩较好（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）由甲学校的成绩可知，甲学校抽取的名学生的成绩在之间的有人，即可计算出的值；根据中位数的定义求出乙学校学生成绩的中位数；由折线统计图可知甲学校学生成绩的波动较小，乙学校学生成绩波动较大，所以甲学校学生成绩的方差小于乙学校学生成绩的方差； （2）利用样本百分率估计总体百分率求出甲学校名学生中获得优秀的人数； （3）利用中位数评价竞赛情况． 【小问1详解】 解：由甲学校的成绩可知，甲学校抽取的名学生的成绩在之间的有人， ， ； 把乙学校抽取的名学生的成绩按照从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、， 其中第、名学生的成绩为、， ； 由折线统计图可知甲学校学生成绩的波动较小，乙学校学生成绩波动较大， ； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知甲学校学生成绩达到优秀的占， 甲学校的名学生中成绩达到优秀的人数有； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，点在以为直径的上，边交于点．为半径上一点（不与点重合），过点作交的延长线于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明出，再结合切线的判定定理证明即可； （2）连接，由圆周角定理可得，再结合余弦的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 22. 解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1） （2）购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【解析】 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； 【小问2详解】 解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 23. 如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）求与的面积比； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直线的解析式是，利用待定系数法求出直线的解析式；利用待定系数法求出双曲线的解析式； （2）求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、的长度，根据与的面积比等于线段、的长度比即可求出结果； （3）由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立，根据点、的坐标即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ； 【小问3详解】 解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或． 24. 在数学综合与实践活动课上，某实践小组围绕三角形旋转展开如下探究．已知与均为等腰三角形． （1）探索发现：若，如图（1），当B，E两点重合时，将绕点逆时针旋转，连接，．经操作探究发现，在旋转过程中，线段，存在着某种数量关系．请判断，的数量关系：___________________． （2）迁移应用：若，如图（2），当，的中点重合于点时，将绕点逆时针旋转，连接，．请判断，的数量关系，并给予证明． （3）拓展延伸：若，，，如图（3），当，的中点重合于点时，将绕点逆时针旋转，连接，．若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 连接，， ∵，点O是，的中点， ∴，， ∵与均为等腰三角形，点O是，的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：是定值． 连接，， ∵，，点O是，的中点， ∴，， ∴， ∴，即． ∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）证明即可得到； （2）连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，，根据等腰三角形的“三线合一”得到，即可得出，从而证得，因此； （3）连接，，由等腰三角形的三线合一得到可推出，根据等边对等角结合，得到，因此，从而，可得出，根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，是等腰三角形，点B与点E重合， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． （3）抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． 【小问3详解】 解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年东营市初中学业水平考试 数学 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分． 11. 近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示___________． 12. 因式分解：______________________． 13. 一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15. 如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 16. 如图，在中，为边上一点（不与点，重合）．按如下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点，作射线交于点； ③分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交，于点M，N，连接，． 根据以上作图，可判断四边形的形状是__________． 17. 如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 18. 如图，四边形是正方形，点C，A分别在轴，轴上，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按点O，A，B，C循环．若点的坐标为，则点的纵坐标是_________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，化简后，从，0，1中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 20. 为深入实施国家教育数字化战略，东营市某县区举办中学生编程竞赛活动．现从甲、乙两所学校各随机抽取名学生的成绩（满分分）进行整理、描述和分析（成绩用表示，均不低于分，分为一般：；良好：；优秀：三档）． （一）收集数据 甲学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 乙学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． （二）整理数据 （三）分析数据 甲、乙两学校所抽取学生竞赛成绩统计表： 统计量 学校 平均数 中位数 方差 甲 乙 （四）应用数据 （1）填空：_________，_________，________（填“”“”或“”）； （2）甲学校有名学生参加了此次竞赛活动，请估计甲学校参赛学生中获得优秀的人数； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对甲、乙两所学校的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况作出评价． 21. 如图，在中，点在以为直径的上，边交于点．为半径上一点（不与点重合），过点作交的延长线于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 23. 如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）求与的面积比； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 24. 在数学综合与实践活动课上，某实践小组围绕三角形旋转展开如下探究．已知与均为等腰三角形． （1）探索发现：若，如图（1），当B，E两点重合时，将绕点逆时针旋转，连接，．经操作探究发现，在旋转过程中，线段，存在着某种数量关系．请判断，的数量关系：___________________． （2）迁移应用：若，如图（2），当，的中点重合于点时，将绕点逆时针旋转，连接，．请判断，的数量关系，并给予证明． （3）拓展延伸：若，，，如图（3），当，的中点重合于点时，将绕点逆时针旋转，连接，．若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． （3）抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $