1.2.3 直线的一般式方程 分层同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础概念到综合应用再到创新探究，构建“概念理解-能力提升-素养发展”的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|直线一般式方程的概念、倾斜角、截距、基本求解|基础选择、填空、解答题，直接对应核心概念，如倾斜角计算（第1题）、一般式性质辨析（第5题多选题），强化运算能力与概念理解| |B级|直线位置关系、参数方程、综合应用|结合图像分析（第10题）、几何情境（第12题等腰三角形），提升推理能力，如含参数方程多问探究（第14题），培养逻辑思维| |C级|几何图形与直线方程的综合应用|开放选条件作答（第15题），融合几何直观与创新意识，如三角形中直线方程与角平分线问题，发展数学眼光与模型观念|

1.2.3　直线的一般式方程 A级　必备知识基础练 1.直线2x＋2y－3=0的倾斜角为(　　) A.150°　　 B.120°　　 C.60°　　 D.30° 2.若直线ax＋by＋6=0在x轴、y轴上的截距分别是－2和3，则a，b的值分别为(　　) A.3，2　　 B．－3，－2 C．－3，2　　 D.3，－2 3.过点(1，－1)且斜率为的直线l的一般式方程是(　　) A．3x＋2y－7=0　　 B．2x＋y－4=0 C．x－2y－3=0　　 D．x－2y＋3=0 4.过点(5，2)，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程是(　　) A．2x－5y=0 B．x＋y－7=0 C．2x＋5y=0或x＋y－7=0 D．2x－5y=0或x＋y－7=0 5.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C=0(A，B不同时为0)表示 B．当C=0时，方程Ax＋By＋C=0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当A=0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C=0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 6.已知点A在直线x＋2y－1=0上，点B在直线x＋2y＋3=0上，同一平面内的点P满足条件：＋=0．设点P(m，n)，且m－n＋2＜0，则的取值范围是(　　) A．[－5，－2)　　 B．(－，－] C．(－5，－2)　　 D．[－，－] 7.(2025如东高二月考)把直线l：x－3y－=0绕着l与x轴的交点逆时针旋转30°得到直线m，则直线m的一般式方程为　　　　． 8.(2025苏州高二质检)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)．若l不经过第一象限，则实数a的取值范围为　　　　． 9.已知直线l的方程是Ax＋By＋C=0. (1)直线l的斜率是多少？ (2)系数A，B，C取什么值时，方程Ax＋By＋C=0表示经过原点的直线？ B级　关键能力提升练 10.(多选题)若直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b=0，l2：x＋cy＋d=0，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＞0，d＜0　　 B．b＜0，d＞0 C．a＞c　　 D．a＜c 11.(多选题)已知直线l的方程是Ax＋By＋C=0，则下列说法正确的是(　　) A．若A•B•C≠0，则直线l不过原点　　　 B．若A•B＞0，则直线l必过第四象限 C．若直线l不过第四象限，则一定有A•B＜0 D．若A•B＜0且A•C＞0，则直线l不过第四象限 12.(多选题)已知直线l过点P，且与直线l1：x＋3y－9=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　) A．直线l的方程为x－3y＋3=0 B．直线l与直线l1的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为2 D．这样的直线l有两条 13.若直线ax＋by=ab过点，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为　 　． 14.已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m=0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． C级　学科素养创新练 15.在①直线BC的斜率为，②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题． 已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A，B，　　　　　　　． (1)求直线AC的一般式方程； (2)求直线BC的一般式方程； (3)求角A的平分线所在直线的一般式方程． 答案： 1.A　2.D　3.C　4.D 5.ABC　解析　对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y=kx＋b，它可变形为kx－y＋b=0，与Ax＋By＋C=0比较，可得A=k，B=－1，C=b，显然A，B不同时为0，当α=90°时，直线方程为x－x1=0，与Ax＋By＋C=0比较，可得A=1，B=0，C=－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的． 对于选项B，当C=0时，方程Ax＋By＋C=0(A，B不同时为0)，即Ax＋By=0，显然有A×0＋B×0=0，即直线过原点O(0，0)．故此说法正确． 对于选项C，当A=0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C=0可化为y=－，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确． 对于选项D，当B=0时，方程Ax＋By＋C=0不能化为斜截式，故此说法错误．故选ABC． 6.C　解析　由题意知P为AB的中点，设A(1－2y1，y1)，B(－3－2y2，y2)， 则m=－1－y1－y2，n=，代入m－n＋2＜0，得y1＋y2＞， ∴==－2－， ∴∈(－5，－2)． 7.x－y－=0　解析　直线l：x－3y－=0的斜率为，故直线l的倾斜角为30°，且与x轴的交点坐标为(1，0)，故直线m的倾斜角为60°，且经过(1，0)，其方程为y=(x－1)，即x－y－=0. 8.[－1，2]　解析　将直线方程化为斜截式方程得y=－(a＋1)x＋a－2(a∈R)，因为l不经过第一象限，所以或解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－1，2]． 9.解　(1)当B≠0时，直线l的斜率k=－；当B=0时，直线l的斜率不存在． (2)因为直线Ax＋By＋C=0过原点，所以C=0，所以当C=0且A，B不全为0时，方程Ax＋By＋C=0表示经过原点的直线． 10.BC　解析　根据直线l1的方程：x＋ay＋b=0，所以y=－x－，根据直线在坐标系中的位置，所以－＞0，－＜0，故a＜0，b＜0； 直线l2：x＋cy＋d=0，所以y=－x－； 根据直线在坐标系中的位置， 所以－＞0，－＞0，所以c＜0，d＞0． 由于－＞－，所以c＜a．故选BC． 11.ABD　解析　对于A，若A•B•C≠0，则A，B，C都不等于0，当x=y=0时，A•0＋B•0＋C≠0，所以直线l不过原点，故A正确； 对于B，若A•B＞0，则直线l的斜率－＜0，则直线一定过第二、四象限，故B正确； 对于C，若直线l不过第四象限，当直线l过第一、二象限时，A=0，则A•B=0，故C错误； 对于D，若A•B＜0且A•C＞0，则－＞0，－＜0，所以直线l的斜率大于0，在x轴上的截距小于0，所以直线l经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故D正确． 故选ABD． 12.AB　解析　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确； 由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，因为直线l过点P(3，2)，所以直线l的方程为y－2=(x－3)，即x－3y＋3=0，故A正确； 将x=0代入l：x－3y＋3=0，得y=1，所以l在y轴上的截距为1，故C错误； 过点P(3，2)且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选AB． 13.4　解析　因为直线ax＋by=ab(a＞0，b＞0)，当x=0时，y=a；当y=0时，x=b，所以该直线在x轴、y轴上的截距分别为b，a．又直线ax＋by=ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以a＋b=ab，即＋=1，所以a＋b=(a＋b)(＋)=2＋＋≥2＋2=4，当且仅当a=b=2时等号成立． 故直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4. 14.解　(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3=0，解得m=－1或m=3；令2m2＋m－1=0，解得m=－1或m=．所以若方程表示一条直线，则m≠－1.即实数m的取值范围为(－∞，－1)⋃(－1，＋∞)． (2)由(1)知当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x=． (3)依题意，得=－3，m2－2m－3≠0，所以3m2－4m－15=0，所以m=－． (4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以－=1，2m2＋m－1≠0，解得m=，所以若方程表示的直线的倾斜角是45°，则m=． 15.解　(1)因为A(－1，2)，B(－3，2)，所以AB∥x轴． 选①：直线BC的斜率为，则直线BC的倾斜角为30°．因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线AC的倾斜角为60°，如图所示． 因为A(－1，2)，AC的倾斜角为60°，所以直线AC的方程为y－2=(x＋1)，其一般式方程为x－y＋2＋=0. 选②：因为直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y－2=(x＋1)，其一般式方程为x－y＋2＋=0. (2)选①：因为B(－3，2)，直线BC的斜率为，所以直线BC的方程为y－2=(x＋3)，其一般式方程为x－3y＋6＋3=0. 选②：直线AC的斜率为，则直线AC的倾斜角为60°．因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示． 又B(－3，2)，所以直线BC的方程为y－2=(x＋3)或y－2=－(x＋3)，其一般式方程为x－3y＋6＋3=0或x＋y＋3－2=0. (3)选①：由(1)可知，角A的平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为－，所以角A的平分线所在直线的方程为y－2=－(x＋1)，其一般式方程为x＋y－2＋=0. 选②：由题意可知，角A的平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为－或，所以角A的平分线所在直线的方程为y－2=－(x＋1)或y－2=(x＋1)，其一般式方程为x＋y－2＋=0或x－3y＋6＋=0. 学科网（北京）股份有限公司 $