2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数、一元二次方程与不等式的联系，通过Δ分类讨论表格梳理三者关系，以“求根→画图→求解”流程搭建学习支架，帮助学生掌握不等式解法及简单含参问题。 其亮点在于结合摩托车生产、刹车距离等实际案例，培养数学眼光观察现实问题，通过题型分类与技巧点拨发展数学思维，用规范步骤和表格提升数学语言表达。学生能提升应用与思维能力，教师可获得系统教学资源。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式. 经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力. 感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯. 新课引入 典例精讲 例4：一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？ 解： 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车， 根据题意，得： 即：对于方程， ，方程有两个实数根 创收60000元以上 典例精讲 例4：一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？ 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式 的解集为 从而不等式的解集为. 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益. 典例精讲 例5：某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？ 解： 根据题意，得：移项整理，得： 对于方程，， 方程有两个实数根，. 刹车距离大于 典例精讲 例5：某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？ 解： 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为或，从而不等式的解集为或. 因为车速所以.而所以这辆汽车刹车前的车速至少为 利用不等式解决实际问题的一般步骤 技巧点拨 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 即时训练 题型1 一元二次不等式的实际应用 1、国家原计划以元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入纳税元(称作税率为个百分点，即)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点．试确定的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的. 税收总收入不低于原计划的 税收总收入原计划总收入 税收收入=收购价格收购量税率 税收总收入= 原计划收入= 即时训练 题型1 一元二次不等式的实际应用 1、国家原计划以元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入纳税元(称作税率为个百分点，即)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点．试确定的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的. 解： 设税率调低后“税收总收入”为元,则． ． 依题意，得， 即， 整理，得，解得. 根据的实际意义，知的范围为. 即时训练 题型1 一元二次不等式的实际应用 2、用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？ 解： 设矩形一边的长为，则另一边的长为，其中 由题意，得 即 解得， 所以，当矩形一边的长在至的范围内取值时，能围成一个面积大于的矩形 即时训练 题型1 一元二次不等式的实际应用 3、某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件()与货价元/件之间的关系为，生产件所需成本为元. 问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? 解：由题意，得， 化简，得 ， 解得 . 答：该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元. 即时训练 题型1 一元二次不等式的实际应用 4、为了增加收入，某书店购进一批最新文具盒，若按每个文具盒15元的价格销售，每天能卖出30个；若售价每提高1元，日销量将减少2个，为了使这批文具盒每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批文具盒的销售价格？ 解： 设这批文具盒的售价为元，则 由题意得， 即即 故 又∵ ∴. 即这批台灯的售价应在1520元之间. 即时训练 题型2 分式不等式 1、求不等式的解集. 且 解：原不等式可化为 , 解得 , 故原不等式的解集为 . 小技巧： 解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为整式不等式（组）求解.当不等式含有等号时，分母不为零. 即时训练 题型2 分式不等式 2、解下列不等式： （1） ； （2） 解：（1）原不等式可化为 , 即 解得 即 . 故原不等式的解集为 . （2）原不等式可化为 , 即 , , 则 . 故原不等式的解集为 . 分式不等式求法 技巧点拨 （1） [注：] （2） [注：] 若出现的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零. 即时训练 题型2 分式不等式 3、解下列不等式： (1) (2) 解： (1)∵，∴ ∴原不等式的解集为 (2) ∵ , ∴, ∴,且, 当时，不等式的解集为； 当即时，不等式的解集为或； 当即时，不等式的解集为； 即时训练 题型3 不等式恒成立问题 1、已知，若，恒成立，求实数的取值范围. (或)(或) (或) 解：（1）当对称轴，即时，，解得 ,矛盾; （2）当，即时，， 解得 ，此时; （3）当，即时，，解得，此时. 综上，的取值范围为 . 二次函数恒成立问题规律方法 技巧点拨 1.不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，，；当时， 2.不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，；当时， 3. 恒成立 ； 恒成立 . 即时训练 题型3 不等式恒成立问题 2、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______. 【答案】： 解析：因为，所以，即. 因为不等式恒成立，所以恒成立. 因为,所以， 当且仅当时,等号成立. 所以，即实数的取值范围是. 即时训练 题型3 不等式恒成立问题 3、若不等式的解集为，求实数的取值范围. 解： ①当，即时，不等式为3＞0恒成立，故符合题意； ②当，即时， 不等式的解集为. 解得. 综上，实数的取值范围是 即时训练 题型3 不等式恒成立问题 4、(1)若对不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 解： (1)：原不等式可化为 ∴ ∴ ∴实数的取值范围为. (2)原不等式可化为恒成立， ∴ ∴实数的取值范围为. 课堂小结 感谢聆听! $