2.3二次函数与一元二次方程、不等式的应用第2课时新授课2026-2027学年高一上学期必修一人教A版

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的应用，涵盖分式不等式解法、恒成立问题及实际应用。通过“易错对对碰”“类题节节高”等典例导入，衔接二次函数与方程知识，以“解题有招”总结方法、“即学即练”巩固，构建学习支架。 其亮点在于融合数学运算（分式不等式等价转化）、逻辑推理（恒成立问题分类讨论）、数学建模（爱心义卖利润、小区改造面积问题）。典例分层设计，“解题有招”结构化小结，助力学生提升核心素养，为教师提供系统教学资源与方法指导。

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 【学习目标】 1.会求简单的分式不等式的解集.(数学运算) 2.会解一元二次不等式中的恒成立问题.(逻辑推理) 3.能利用一元二次不等式解决实际问题.(数学建模) 类型1 简单的分式不等式的解法(数学运算) 【典例1】(易错·对对碰) (1)不等式>0的解集是　　　;  (2)不等式≤1的解集是　　　.  【解析】(1)因为>0,所以(2-x)(x+1)>0,即(x-2)(x+1)<0,解得-1<x<2. 所以原不等式的解集是{x|-1<x<2}. (2)原不等式等价于-1≤0,所以≤0,所以(x+1)(1-2x)≤0, 且x+1≠0,即(2x-1)(x+1)≥0,且x≠-1,解得x<-1或x≥. 所以原不等式的解集是{x|x<-1或x≥}. 答案:(1){x|-1<x<2} (2){x|x<-1或x≥ 【解题有招】 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 【即学即练】 1.(2026·奉贤高一检测)不等式<1的解集为　　　　　　　.  【解析】不等式<1可化为>0,等价于(x-2)(x+2)>0,解得x>2或x<-2, 所以原不等式的解集为{x|x<-2或x>2}. 答案:{x|x<-2或x>2} 2.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 【解析】选C.-2≥0,≥0,因为x≠1,所以-2≤x<1. √ 类型2 不等式恒成立问题(逻辑推理) 【典例2】(类题·节节高) (1)对∀x∈R,不等式2x2-kx-k>0恒成立,则k的取值范围为　　　　　　.  (2)对∀x∈R,不等式mx2-mx-1<0,则m的取值范围为　　　　　　　　.  (3)对x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2-mx-1<0,则m的取值范围为　　　　　.  【解析】(1)因为2x2-kx-k>0对于一切实数恒成立, 所以Δ=(-k)2-4×2×(-k)=k2+8k<0, 解得-8<k<0. 所以k的取值范围为{k|-8<k<0}. (2)若m=0,显然-1<0恒成立; 若m≠0,则解得-4<m<0. 综上,m的取值范围为{m|-4<m≤0}. (3)由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1, 因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0, 所以m(x2-x)<1可化为m<, 因为x2-x=(x-)2-≤6,所以≥,所以m<.即m的取值范围是. 答案:(1){k|-8<k<0}　(2){m|-4<m≤0} (3) 【解题有招】 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)R上的恒成立问题:ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是a>0且b2-4ac<0(x∈R). ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且b2-4ac<0(x∈R). (2)给定范围上的恒成立问题:分离参数后,转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题. 【即学即练】 1.(2026·宜宾高一检测)已知关于x的不等式(a2-4)x2-(a+2)x-1<0的解集为R,则a的取值范围为(　　) A. {a|-2<a<} B. {a|-2≤a<} C. {a|-2<a≤} D. {a|-2≤a≤} √ 【解析】选B.当a=2时,不等式为-4x-1<0,解集不为R; 当a=-2时,不等式为-1<0恒成立,解集为R; 当a≠±2时,由二次函数的性质可得,解得-2<a<, 综上,a的取值范围为{a|-2≤a<}. 2.(2026·厦门高一检测)已知命题:“∀x∈{x|x>0},2x2-ax+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  【解析】∀x∈{x|x>0},2x2-ax+1≥0,则ax≤2x2+1,可得a≤2x+, 当x>0时,由基本不等式可得2x+≥2=2, 当且仅当2x=(x>0),即x=时,等号成立,故a≤2, 即实数a的取值范围是. 答案: 类型3 一元二次不等式的实际应用(数学建模) 【典例3】学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用,决定开展爱心义卖,销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素,根据以往爱心义卖的数据分析,预计累计总净利润y(单位:百元)与销售天数x(x∈N*)满足y=-x2+10x-18. (1)为保证累计总净利润不为负,求最多销售的天数; (2)销售多少天时,能使每天的平均净利润最大?(每天的平均净利润=) 【解析】(1)由题意,令y=-x2+10x-18≥0,则x2-20x+36≤0,即(x-2)(x-18)≤0, 解得2≤x≤18,由于x∈N*, 则为保证累计总净利润不为负,最多销售18天. (2)由题意,每天的平均净利润为=-x+10-=10-(x+), 而x+≥2=6,当且仅当x=,即x=6时等号成立, 则=10-(x+)≤10-6=4, 所以销售6天时,能使每天的平均净利润最大. 【解题有招】 用一元二次不等式解决实际问题的基本步骤 【即学即练】 为建设美丽中国,增强民众幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区计划建设一块长为10 m、宽为6 m的矩形花园,其四周种植花卉,中间种植草坪(如图所示).如果花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的三分之一,求花卉带的宽度的取值范围. 【解析】设花卉带的宽度为x m,则≤, 所以(5-x)(3-x)≤5,即(x-4)2≤6,可得4-≤x≤4+, 因为 所以x<3,故4-≤x<3,所以花卉带的宽度的取值范围是{x|4-≤x<3}. 谢 谢 $