北京市第十五中学2026-2027学年高三上学期开学阶段测试数学试卷

北京十五中高三年级阶段测试试卷数学 2026.08 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 A． B． C． D． 3．下列函数中，值域为且为奇函数的是 A． B． C． D． 4．已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．9 5．已知为所在平面内一点，，则 A． B． C． D． 6．已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 7．函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则 A． B． C． D． 8．已知平面向量，都是非零向量．则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知三棱锥中，，，，则它的体积为 A． B． C． D． 10．甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛（至少包含数学和物理），在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为，另一个学生的分数为，第三个学生的分数为，其中，，是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则 A．甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛 B．，，这三个数中的最大值可以取到21 C．在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二 D．在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知的展开式中的的系数是280，则_________． 12．已知抛物线的顶点为，且过点，．若是边长为的等边三角形，则_________． 13．已知等差数列的前项和为，且，则公差，若恒成立，则符合条件的的一个取值为_________． 14．设函数若，则的单调递增区间是_________；若的值域为，则的取值范围是_________． 15．对于曲线，给出下列四个命题： ①曲线与坐标轴没有公共点； ②曲线关于坐标原点对称； ③曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2； ④曲线与曲线恰有四个不同的公共点． 其中，所有正确结论的序号为_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若，且，求的取值范围． 17．（本小题14分） 如图，在四棱锥中，，，．点在上，且，． （Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面； （Ⅱ）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题13分） 在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对，，，，五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如下表，其中，，． 教育软件类型 选用教师人数 10 15 30 假设所有教师选择使用哪类软件相互独立． （Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件或的人数； （Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件的概率； （Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为；该区学校有600名教师，其中有200人使用教育软件，100人使用教育软件，从学校中随机抽取1人，该教师使用教育软件或的概率值为；从该区其他教师（除学校外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件或的概率估计值为．试比较，和之间的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题15分） 如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 20．（本小题15分） 已知函数，． （Ⅰ）当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； （Ⅱ）若没有零点，求的取值范围． 21．（本小题15分） 设数列：：，，…，，：，，…，．已知，（，，…，，，，…，），定义数表，其中． （Ⅰ）若：，，，，：，，，，写出； （Ⅱ）若，是不同的数列，求证：数表满足“（，，…，，，，…，，）”的充分必要条件为“”； （Ⅲ）若数列与中的共有个，求证：数表中的个数不大于． 学科网（北京）股份有限公司 $