精品解析：陕西省韩城市象山中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

象山中学2025-2026学年度第一次月考试题 高三 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两个集合，再根据交集的概念运算即可. 【详解】，， 则. 故选：D 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数研究的单调性，由题意得，解出即可. 【详解】令，，当时，，所以在单调递减， 由题意得，解得. 故选：D. 5. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 故选：C． 6. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 7. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到的一个周期为4，结合指数函数单调性得到，结合为偶函数，从而. 【详解】定义在上的函数满足， 又，故， 所以的一个周期为4， 其中， 所以， 其中，故， 时，，所以， 因为为偶函数，所以. 故选：A 8. 设，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的单调性可得，即可比较大小. 【详解】设，则，由，得， 当时，，当时，， 所以的增区间为，减区间为， 又，因为，所以， 即，所以. 故选：D 二、多选题 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得，由得.对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算法则计算判断；对于C，由基本不等式可得，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断. 【详解】由得，由得. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，则，当且仅当时等号成立， 因为，故等号不成立，即， 则，故C正确； 对于D，解法一：易知，， 当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以， 解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题. 【详解】因为为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称， 又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称， 将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象， 由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为， 对A，，故选项A正确； 对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误； 对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确； 对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点，再根据图象，可知函数与函数有5个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求出的对称中心和对称轴，并求出其周期是关键，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再利用数形结合即可结果. 11. 已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据奇偶性可得整个定义域上的单调性，逐个检验选项，可得答案. 【详解】令，求导可得， 由题意可得：当时，，在上单调递增， 由题意可得：，则是的奇函数， 易知，在上单调递增， 对于A，由，则，整理可得，故A错误； 对于B，由，则， 整理可得，故B正确； 对于C，由，则， 整理可得，故C正确； 对于D，由，则，整理可得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. “方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先求出“方程至多有一个实数解”的充要条件，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得， 又是的充分不必要条件． 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知，则的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 14. 已知函数，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为： 四、解答题 15. 设全集，集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将集合化简，再由集合交集的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件得，分和讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵全集，集合， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 又∵集合， 当时，，解得； 当时，由得，解得：； 综上所述：的取值范围是. 16. 已知二次函数满足，且有最小值. （1）求的解析式； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，列出恒成立的不等式并分离参数求解. （3）按函数图象对称轴与区间位置关系分类求出最小值. 【小问1详解】 依题意，设，由，得，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知：，由，函数的图象总在一次函数的图象的下方， 得在上恒成立， 函数图象开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减， 则当时，，因此， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 所以． 17. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 【解析】 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 【小问2详解】 即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 18. 已知函数. （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值是18，最小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再求出在指定区间上的最值. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再利用导数，结合函数的零点个数求出的范围. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 所以函数的最大值是18，最小值. 【小问2详解】 设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点存在3条直线与曲线相切，得方程有3个互不相同的解， 即直线与函数的图象有三个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象得当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1），讨论符号确定单调性； （2）设，由求解. 【小问1详解】 函数，定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，解得，函数在上单调递增； 由，解得，函数在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 显然，设， 则. 当时，由得则在上单调递增； 由得则在上单调递减. ∴在处取得最小值， 设则，故在上单调递增， ∵，∴当时，，即， 当时，，即(*)， ∴欲使，须使. 当时，,(*)式不成立； 当时，，(*)式不成立； 当时，，(*)式不成立； 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2025-2026学年度第一次月考试题 高三 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 11. 已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. “方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是______________． 13. 已知，则的最小值为___________． 14. 已知函数，若，则实数的值为______． 四、解答题 15. 设全集，集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数满足，且有最小值. （1）求的解析式； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式． 17. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 18. 已知函数. （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $