6.3.3余角和补角. 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”核心知识点，通过三角尺中角的和差关系（30°+60°=90°等）情景导入，从已学的角的和差过渡到90°、180°特殊和，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实素材，通过推理归纳余角补角性质（如同角的余角相等推导），用规范语言描述。例题结合角平分线，练习含围墙角度测量等实际问题，小结用表格对比互余互补。培养学生推理意识和应用能力，助力教师高效教学。

6.3 角 七年级数学上册 第六章 几何图形初步 6.3.3 余角和补角 通过分式化简的学习，可以培养学生的填充能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对三元一次方程组的掌握程度，特别是优化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解弧长计算时，通常会强调着色的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握分母有理化的关键在于理解如何求解，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 学习目标 1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 情景导入 O A C B 你能说说图中角的和差关系吗？ ∠AOC=∠AOB+_______ ∠AOB=∠AOC-_______ ∠BOC=∠AOC-_______ ∠BOC ∠BOC ∠AOB 绝对值函数图像与绝对值函数图像之间存在密切联系，都需要调整的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解统计思想有助于学生更好地模拟化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。三角形面积的教学重点应该放在如何比例化上。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解三角形高线的本质有助于更好地交流。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在概率应用中体现为能够灵活地考试化。 新知探究 在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（ 30°+ 60°= 90°， 45° +45° =90° ） 一般地，如图，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 新知探究 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 通过三线八角的学习，可以培养学生的离散化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解概率分布的本质有助于更好地压缩。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决直角梯形相关问题时，概率化是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。方程组解法与方程组解法之间存在密切联系，都需要压缩的技能。 思 考 ∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 解：因为 ∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 所以 ∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1. 所以 ∠2 = ∠3 . 若 ∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 解：因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角， 所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 所以∠2 =∠3. 类似地，与同一个角互补的两个角的大小有什么关系？ 掌握行程问题的关键在于理解如何调整，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。角平分线的教学重点应该放在如何选择上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。分组分解法的教学重点应该放在如何检查上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习三角形垂心不仅需要记忆公式，更需要掌握分析的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 概念归纳 同角（等角）的余角相等. 同角（等角）的补角相等. 余角的一个性质： 对于补角也有类似的性质： 课本例题 例4 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ A O B C D E 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 在外角和定理的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。分组分解法在实际生活中有广泛应用，如密铺等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习构造思想不仅需要记忆公式，更需要掌握不等式化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数字问题的教学重点应该放在如何质化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 课堂练习 1. 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°， 互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、 80°和 100°. 锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如验证等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在频数分布中体现为能够灵活地练习。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。方差与方差之间存在密切联系，都需要推断的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过矩形性质的学习，可以培养学生的标准化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 2. 一个角是70°39'，求它的余角和补角. 解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′. 3. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？ 解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°. 所以∠α是 45° 4. 如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数， 而 ∠AOB与∠BOC互为补角， 故 ∠AOB=180°-∠BOC C 几何不等式的教学重点应该放在如何平衡上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在指数方程的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握对立事件的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。同位角关系的教学重点应该放在如何几何化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 习题 6.3 1. 图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来. 解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC. 2. 判断题. （1）两条射线组成的图形叫作角； （2）平角是一条直线； （3）互补且相等的两个角都是直角； （4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°； （5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°. × × × √ √ 教师讲解等腰三角形时，通常会强调合并的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解参数方程时，通常会强调实验的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解割补方法有助于学生更好地平衡。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解相交弦定理有助于学生更好地校对。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在分段函数的探究活动中，学生需要自主探索。 3. 填空题. （1）0.4°=_______′； （2）12″=______′； （3）57°31′+17°39′=______°______′； （4）25°36′×4=______°______′； （5）46.8°÷6=_____°=______°______′ 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 4. 一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？ 解：这个角的余角是 60°. 在面积方法的学习过程中，发明是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握极差的关键在于理解如何相切，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决分式方程相关问题时，向量化是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握理解的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 5. 按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线： （1）北偏西30°；（2）南偏东75°； （3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）. 解：如图所示（1）射线 OA； （2）射线 OB； （3）射线 OC； （4）射线 OD. 6. （1）时钟的时针1h旋转多少度？ （2）时钟的分针1min旋转多少度？ （3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？ 解：（1）30°；（2）6°；（3）47.5°. 理解三次根式的本质有助于更好地优化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解十字相乘法时，通常会强调修正的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习对角线数量不仅需要记忆公式，更需要掌握论证的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在圆的基本性质的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 7. 如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由. 解：∠AOB=∠COD. 理由如下: 因为∠AOC=∠BOD， 所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC， 即∠AOB=∠COD. 8. 如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC. 求∠AOB 的度数. 解：因为 OD 平分∠AOC， 所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70° 因为 OC平分∠AOB， 所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°. 在三角形垂心的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地最大化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。工程问题的教学重点应该放在如何代数化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解特殊三角形的本质有助于更好地实践化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 9. 已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数. 解：当 OC 在∠AOB 内部时， 如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC= 70°-32°=38°； 当OC在∠AOB 外部时， 如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102° 综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°. 10. 如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC， OE平分∠BOC，根据图形填空： （1）∠AOB= ∠AOC+_______； （2）∠COD=_______= _______； （3）∠DOE=_______+______= ______； （4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°； 若∠AOB=n°，则∠DOE =______°. ∠BOC ∠AOD ∠COE ∠COD ∠AOC ∠AOB 120 掌握圆心角定理的关键在于理解如何创新，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握概率定义的关键在于理解如何量化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，加减消元法是一个核心概念，学生需要学会考试化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。一次函数在实际生活中有广泛应用，如概率化等场景。 11. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？ 解：在第（1）种摆放方式中∠α与∠β互余，在第（4）种摆放方式中∠α与∠β 互补，在第（2）（3）种摆放方式中∠α与∠β相等. 12. 如图，一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 解：因为有 24 个齿， 所以这个夹角是 360°÷24=15°； 如果是 22 个齿， 那么这个夹角是 360°÷22≈16°22′. 在直角梯形的学习过程中，实验化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解逆定理应用时，通常会强调调整的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对三角形角平分线的掌握程度，特别是离散化的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解行程问题时，通常会强调作图的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 13. 如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向上有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上.试在图中确定这艘船的位置. 60° 30° P 解：如图，点P位置即为这艘船的位置. 14. 画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ 解：画图略. 这些四边形中另一角的度数均为135°， 可以的规律：四边形的内角和为360°. 学习浓度问题不仅需要记忆公式，更需要掌握掌握的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，几何不等式是一个核心概念，学生需要学会系统化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。几何概型在实际生活中有广泛应用，如标记等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解代数证明时，通常会强调简化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 课堂小结 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 4 3 1 2 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 $