精品解析：北京市房山区2026-2027学年高三上学期入学测试数学试卷

学科网命组卷网 房山区2026年新高三入学测试试卷 数学 本试卷满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上 作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项， 1.已知集合A=xx<3},B={xeZx之-，则AnB的元素个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 【详解】由集合 =红x<3},架合B=eZx之- A∩B={-1,0,1,2} 可得 ,共有4个元素 4+i 2.已知复数2=1一2i,则2在复平面内对应的点所在的象限是《） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 2.9 Z=-十-1 【分析】根据复数的运算法则，化简复数55，结合复数的几何意义，即可求解. 第1页/共27页 6学科网命组卷网 4+i (4+i(1+2i1）_2,9: 【详解】由复数2=-2 +i (1-211+2i）55, 29 所以复数2在复平面内对应的点兮，了位于第一象限， x2 y2 3 3.已知双曲线a29 =1(a>0)的一条渐近线为 =。x 2,则该双曲线的实轴长为() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】 【分析】通过渐近线方程确定，进而可求解 【详解】由题可知该双曲线中62=9」 b=3 ，解得 3 b3 又双曲线的一条渐近线为'=2”，因此。2， y= 又b=3,得a=2,所以实轴长为2×2=4. 、6 a 4.在 2x- 的展开式中，若常数项为240，则。=（） A.1 B.V2 C 2 D.4 【答案】C 【解析】 【详解】二项式 当r=4时得常数项为Cg22(-a°=600，故60a=240,4=4,42=2。 5下列函数中，是奇函数且在一0,0) 上单调递增的为() 第2页/共27页 6学科网 命组卷网 A.f(x)=-x3 B.f(x)=1 c f(x)=In2+x 2-x D./(x)=e"-e* 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断 【详解】对A,f(四)=-”在定义域内是减函数，A错， 对B,() x在(-0,0)上是减函数，B错： 对C,于20,2<x<2,定义做不包含0，c信， 对，么上一号只点，号地表圆f刻- 2是增函数， 女八-9=。2。=四定义域为R,是奇两数，D 6已知向量ā=(1,2)，向量6满足月=2，则a-6的最小值为（) A.2-V5 B.5-2 c v5 D.V5+2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量模的三角不等式，先计算|，再代入即可求得ā-b川的最小值 【详解】已知ā=(0,2)，则aVP+22-V5 已62，代入根据平面向量模的三角不等式得： 1ā-la创-|61HN5-2非5-2，当且仅当a与b方向相同时等号成立， 第3页/共27页 命学科网命组卷网 因此|ā-b1 的最小值为V5-2 7将面数了因=s00>0的图家十移剂到两质（国-sma+引的图象，卫六（经0）为使线 y=8()在'轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（） 元 A.向左平移4个单位长度 B.向右平移4个单位长度 元 元 C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换以及正弦型函数的性质，列出方程，求得®的值，即可求解. 兀 【详解】将函数f(x)=sinx(@>0)的图象向左平移30个单位， 的图象， 0 因为点2为y=g(x)在y轴右侧的首个对称中心， 3/0 3, 对于A,将f(x)=sin4 的图象肩平移牙个单位，得到8()=s如（传 4 (3t π 3的图象，符合题意，所 以A正确： 对千B,将代)咖的图象向行平移个草位，府到8)=血（任-到》 4 3x-3)的图象，不符合题意， 所以B不正确： 第4页/共27页 6学科网 命组卷网 对于C将/()咖产的离家向在平移7个单位。得刘()-sm(任+ 4 4,2 3的图象，不符合题意， 所以C不正确： 4 42π 对于D,将=si如3X的图象向右平移2个单位，得到8()=sim 3的图象，不符合题意， 所以D不正确， 8.奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为a,b,c,d(a,b,c,d 均为正整数且互不相等)，已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙 比丁少卖出8杯，则a,b,c,d的大小关系正确的是() A.a>d>b>c d>b>c>a B. c.d>b>azc D.a>b>d>e 【答案】C 【解析】 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以a+b=c+d, 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即b=a+2,d=c+8,故b>a,d>c, 将b=a+2,d=c+8代入a+b=c+d得2a+2=2c+8,即a=c+3,故a>c, 又d=c+8,即d=a+5,故d>a,即d>a>c, 因为b=a+2,d=a+5,所以d>b,又b>a,d>a>c,故d>b>a>c. 9已知数列a是公比为9的无穷等比数列，4>0，则>1，是“任取无穷等差数列私}，对于 任意N,∈N,存在正整数k,使4>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第5页/共27页 6学科网列组卷网 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列，等差数列的性质判断即可 【详解】充分性：若9<-1，对于无穷等比数列{a,},其通项公式为a.=49 又4>0，当”为奇数时，当”取足够大的奇数k时，此时：为正且随k增大趋向正无穷 若9>1，对于无穷等比数列{a,},其通项公式为4.=49， 当”足够大时， an>a 对于无穷等差数列b,},其通项公式为。=么+(n-)(么为首项，d为公差)， 所以对于任意 。∈N,即给定。，总可以找到一个足够大的正整数k,使得：>b,。 因此>1”能推出“任取无穷等差数列，}，对于任意八，∈N,存在正整数k,使：>b”,充 分性成立 必要性：任取无穷等差数列么}，对于任合，∈N八，存在正整数k,使4，>， 由b,=+(n-1)d,可得当d>0时，亿，}为单调递增数列， 所以可得无穷等比数列a,}存在趋向正无穷的子列，又4>0，所以M>1 因此“任取无穷等差数列}，对于任意，∈N,存在正整数k,使：>b。”能推出>1，必 要性成立 所以“>1”是“任取无穷等差数列，}，对于任意N。∈N,存在正整数k,使4：>b”的充要条 件。 10.定义：：āxb”为向量a与向量D的“外积”，若向量0与向量b的夹角为0、它的长度规定为 第6页/共27页 命学科网命组卷网 a×=dsin0.在A4BC中，若B+AC=L,BA+BC=3,则B×AC的最大值为( ) A.5 B C 3 D.1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量中线公式得到三角形两条中线的长度，结合重心性质求出三角形面积的最大值，再根据 外积定义转化为外积模的最大值， 【详解】由向量加法的平行四边形法则，取BC中点为M,AC中点为N,连接AM,BN,相交于点 G ,如图所示， G M 则AB+AC=24AM,且B+AC=1.符-2 BN= 3 同理得 由重心定义得G为△ABC的重心， 由重心性质，重心分中线的比为2：1， 因胜4G=-,sG-子N=1 第7页/共27页 6学科网6组卷网 则△1BG的面积为、 =L4G-BG-sin∠AGB=xxIxsin∠AGB='sin∠AGB 23 6 当∠AGB 2时，SMBG取得最大值6， 11 3× 由重心性质，SABc=3SMG,故SABC的最大值为3X62, 根据外积定义， xAG--4Csi血∠B1C=2S,因此其最大值为2×2 2× 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 1.已知圆术+0-2=4的圆心为C,斜率为1的直线l与该圆相切，且与y轴交于点B,则BC= 【答案】2W2 【解析】 【详解】圆r+0-2少=4的圆心C(0,2）,半径r=2 =x+b 设斜率为1的直线为 直线与该圆相切，则4=2一7=2=2.解得，■ b=2±2W21 又直线I与'轴交于点B,则B(0,b), 所以BC=b-2=+2V2=2V2 L=101g- 12.图书馆安静区域的声强级L(单位：dB)通常满足30≤L≤40.声强级的计算公式为 o: 第8页/共27页 6学科网 组卷网 其中1（单位。W1m)为六强，基准声强，=102V/m.根据以上条件，图书馆安静区域对应的 声强的取值范围是 【答案】 [109,10]w/m2 【解析】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解。 【详解】 30≤10g,J 之403≤1名10-2以 ,可得 即10s、 102s101 ,解得109≤I≤108. 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2,BC=4,PC=PD=V5,平面 π PCD与平面ABCD的夹角为4，则该四棱锥的体积为一，侧面积为一· ⊙ 【答案】 ① 822 3#3 ②. 5V2+10w10+52 【解析】 【分析】(1)通过取CD的中点E,AB的中点F,利用等腰三角形性质及二面角定义确定棱锥的高及 顶点在底面的投影位置，进而求得体积；利用四棱锥的对称性得到PA=PB,△PBC兰△PAD,然后利 第9页/共27页 6学科网6组卷网 用余弦定理依次计算各侧面三角形的边长，进而求解四棱锥侧面面积即可 【详解1取CD的中点E,AB的中点F,连接PE,PF作PG⊥EF, 垂足为G 因为PC=PD=5,且PE为中线，所以PE⊥CD 又因为CD1EF,PEOEF=E,PE,EFC￥面PEF 所以CD⊥平面PEF,所以∠PEG为平面PCD与平面ABCD的夹角的平面角， 即<PEG=n 4.又因为PGc平面PEF,所以CD⊥PG 又因为EF⊥PG,EFOCD=-E.B,CDC平面BCD,所以PGL平面ABCD 所以PG即为四棱锥P-ABCD的高， 在RtAPCE中，PE=VPC2-CE2=V3-i=V2 在RAPGE中，PG= PE=1 2 所以四棱锥P-ABCD体积为 3×1x2×4=8 3 B 在△PEF中，由余弦定理PF=VPE2+EF2-2 PEx EF cos45°=V10 由对称性可知，PA=PB,△PBC三△PAD, 在RIAPFB中，PB=VBF2+PF2=V 第10页/共27页 命学科网命组卷网 所以Ss-2 xABxPE=0,△PBC=边K为，V5,4, 所以os∠BPC=BP+PC2-BC3.-1 2BP.PCV3,所以sin∠BPC-43 V33, 所以S=pn=X x BPx PCsin∠BPC=2W2 2 又因为=X =2×EP×CD=2 所以侧面积为S.PM+2S,Pac+S,PD=V0+5V2 14设等差数列a,}的前n项和为S,已知S,+a,=14,当且仅当”=3时，S取得最大值，写出满足 条件的一个0的值 【答案11（答案不唯一，区间(0,2）内的任意实数均可) 【解析】 【分析】求出满足题意的的范围，然后在其中取一个数即可 【详解】等差数列a,}的前n项和为S,S中当且仅当S取得最大值，则4>0，n之4时，a,<0, 因此有d<0, 8+4=a-3d=14.3动=4a-14<0,马<子 2, a=4+d<0d<-43d=4a-14<-3a4<2 所以0<4<2 取其中任一实数均可 第11页/共27页 6学科网命组卷网 15已知函数f(,=血K--mx+2,给出下列四个结论： O当m=0时，f()的图象关于直线x=1对称， ②0<m<1,f(x)在，1)上存在最小值： ③0<m<1,f()在（山，+切)上单调逆减： ④30<m<1,使得f)=2有四个零点. 其中正确结论的序号是 【答案】①②④ 【解析】 【分析】计算可得(2-)于（四可划断0：分x∈（∞，0）和x∈(0，)两种情况求导判断函数单调性可 判断②：分t∈(，2)和x∈(2，+切)两种情况求导判断函数单调性可判断③；由题意可知判断 血x-=mr的解的个数，数形结合法即可判断④， 【详解】对于①当m=0时，f(x)=血x-+2 所以/(2-=h2-x-+2=nr-l+2=f(x) 所以f(?)的图象关于直线x=1对称，故①正确： 对于②，当x∈(o,0)时，f(x)=lh(1-x)-mx+2 mmtm+1 x-1, 又0<m<1,所f')<0,所以函数f(四在(o,0)上单调速减， 当x∈(0，)时，f()=-h(1-)-mx+2 第12页/供27页 6学科网列组卷网 求号得代文m=m刊 1-x, 又0<m<1,所以f(d)>0,所以函数f(在(0,1)上单调递指。 又f(0)=血0--mx0+2=2,所以f(~)在（-0，)上存在最小值，故②正确： 对于g,当x∈(l,2）时，f()=-ln(x-)-mx+2 求号相八1= x-1 又0<m<1,所以f()<0,所以函数f)在，2)上单调道诚， 当x∈(2，+）时，f(x)=h(x-l)-mx+2」 x-m=+m+1 导得() +1>2 x-1一。令'(x)=0,解得X=m 当2×<品.了因>0，房数闪2刊L*路 当1f0,肩数闪品+1+ 上单调递减；故③错误： 对于@，由f()=2,得lnx-=mx,令h(x)=hx-l,p(x)=mr 把y=hx的图象在x轴下方的翻折到x轴的上方得y=血刘的图象， 再把y=血在y轴右边的图象保留不变，再把右边的图象翻折到左边可得'=山的图象， 把y=血川的图象向右平移一个单位可得h(x)的图象，如图所示： 第13页/供27页 6学科网6组卷网 =h(x) y=Inx 因为0<m<1,当x<0时，p()<0,所以x-=mr无解， 0x1.M=-0-.e是 令8()=血k--mx,则g()=(x)-m>0,所以g'()>0, 所以8(x)在(0,1)上单调递增，所以8()>g(O)=0,所以血r-l=m无解， 当1<x<2时，由图象可知山K-l=mx有唯一解， 当x>2时，由图象可知30<m<1,使血x-1=mx有两个解， 又h0-=mx0,所以x=0是hx-=mr的解， 所以30<m<1,使得血K-=mx有四个解， 所以30<m<1,使得()=2有四个零点，故④正确。 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. l6在ABC出.b3.B=m的 3. (l)求sinC的值； (2)求△ABC的面积. 32-√5 【答案】(1)6 第14页/供27页 6学科网6组卷网 3W2-V5 (2)2 【解析】 【分析】(1)结合同角三角函数基本关系，利用三角形内角和性质、两角和正弦公式求解即可； (2)·利用正弦定理及三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 图方A段，8o0A于9 如6：mu1m加8=9-。 【小问2详解】 a= bsin 3x 由正弦定理得： sin B2 2 1 所以SBc= bsinC=I 2x3x32-V532-V5 2 2 6 2 17.如图，在直四棱柱 ABCD-AB,CD中，ABIICD,AB=4,AD=CD=2,∠ADC=120° 且E,P分别为AB,CC的中点. A F D E B (1)求证：AD∥平面CEF 第15页/供27页 命学科网命组卷网 (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知条件，使得直四棱柱 ABCD-A,BCD,存在且唯一，求平面 DEF 与平 ADDA夹角的余弦值. EF=22 条件①： 条件②：CE⊥BD: 条件③：∠CEF=45°. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解 答计分 【答案】(1)：E为AB中点，AB=4,.AE=2 又CD=2,ABIICD,.AE/CD且AE=CD, ∴.四边形AECD为平行四边形，、ADIICE :CEC平面CEF,AD￠平面CEF 平面 ∴.AD∥平面CEF. V15 (2)选择条件①或③时，余弦值为5；选择条件②不符合要求 【解析】 【分析】(I)通过证明四边形AECD为平行四边形得到ADIICE,结合线面平行判定定理求证 (2)建立空间直角坐标系，先根据三个条件分别求解侧棱高，判断直四棱柱是否唯一，再利用空间向 量法求解两个平面夹角的余弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第16页/供27页 命学科网命组卷网 AB1/CD,∠ADC-120°.∠DAB=60° 在△ADB中，由余弦定理得 DB=AD2+AB2-2AD-ABc0s60=22+42-2×2x4×=12 AD+DB=AB,:MD⊥DB 所以可建立以D为坐标原点，DA为轴，DB为'轴，DD为2轴的空间直角坐标系如下图所示， Z D A B D 1 E B方 (h>0) 设直四棱柱的高为 ,可得各点坐标： D000.4000.E0v5.0.c-L5.0.F-l5,2.D000 平面4DD,4为x0z平面，故其一个法向量为”=(0,10) 选择条件OEF=2V2 :F=(-202.÷1F《-2+分=22 解得=16，：h>0,:h=4,直四按柱存在日唯一 此时DE=0,V5,-4④，DF=（-l,V5,-2,设平面DEF的法向量为乃=(x,2), n,·D,E=x+V3y-4z=0 则1zD,F=-x+V3y-2z=0 第17页/供27页 命学科网命组卷网 两式相加得2N3y-62=0,即y=V52,代入第二式得x=z. 令2=1，得%=，V3,) 设平面DBF与平面1DD,4的夹角为9， 则cos n'n 515 nm 1×V1+3+155 选择条件②CE⊥BD: CE=(2,0,0),BD=(0,-2V5,0),CE.BD=0, 即对任意h>0,CE⊥BD恒成立，直四棱柱不唯一，不符合要求. ∠CEF=45° 选择条件③ ·EC=(-2,0,0), F=(-2,0 2 Cos∠CEF= EC.EF 4 ECEF h2 2 2×4+ 4 得=16，：h>0,:h=4 解 ,直四棱柱存在且唯一 15 后续求平面夹角过程同条件①，得余弦值为5· 【点睛】方法归纳：1.劣构题需先根据条件判断参数解的唯一性，排除不符合要求的条件；2.空间向量 求面面夹角时，取两个平面法向量夹角的绝对值作为面面角的余弦值，注意区分二面角与面面夹角的差异。 18.足球联赛中两队的胜负规则是：一场比赛中进球多者为胜，进球少者为负，两队均不进球或进球数一 样为平局；积分规则是：取胜的球队积3分，负的球队积0分，平局每队各积1分.甲、乙两队近期将要 进行2026赛季的2场比赛，为预测它们2场比赛的总积分，收集了两队近5个赛季比赛的结果，如下表： 第18页/供27页 6学科网命组卷网 2021赛季 2022赛季 2023赛季 2024赛季 2025赛季 第 一 第二 第一 第二 第 一 第二 第 一 第二 第一 第二 场 场 场 场 场 场 场 场 场 场 甲队进球 2 1 2 0 0 数 乙队进球 1 5 0 2 0 3 数 假设甲、乙两队每场的比赛相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲队第一场比赛获胜的概率； (2)在2026赛季的2场比赛中，设甲队的总积分为X,估计X的数学期望； (3)记y为表中乙队10场进球数的平均数.从上述比赛中随机选择一场，记Y为乙队在这场比赛中的进 球数.比较E(Y)与的大小.（只需写出结论) 【答案】(1)5 17 (2)5 (3) E(Y)=) 【解析】 【分析】(1)统计甲队第一场获胜的频率，用频率估计概率求解； (2)先写出两场总积分X的分布列，然后利用期望的定义计算： (3)根据期望的统计意义与平均数定义直接判断大小。 【小问1详解】 共统计5个赛季的第一场比赛，其中甲队获胜的场次共4场，由频率估计概率得甲队第一场比赛获胜的概 第19页/共27页 命学科网 命组卷网 4 率为5 【小问2详解】 51 统计10场比赛结果：甲队胜5场、平2场、负3场，因此单场比赛甲得3分的概率为102，得1分的概 21 率为105，得0分的概率为10，两场总积分为X, X可取0,1,2,3,4,6. 合g云.x=-石 PX0e3x010P=0=2xx'3 1.33 P(X=3)=2×二× 111 21010, PX=4)=2×5×5 255, PX=6=2x24, 1.11 所以X的分布列如下所示： X 0 1 2 3 6 9 P(X) 3 1 3 1 100 25 25 10 5 4 E(X)=0 2× 117 所以 100+1x25 1+3× 2 0+4x×5+6× 1 45 【小问3详解】 离散型随机变量的期望为以频率估计的概率为权重的加权平均，与10场进球数的算术平均数完全相等，故 E(Y)= g在平面角坐标系oy虫，点40四是C号+。(a>b>0的上顶，肉C的 第20页/共27页 6学科网列组卷网 5 率为2· (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点P(2,)的直线l与椭圆C交于M、N两点，其中点M在第一象限，点N在第四象限，直线 AM与‘轴交于点了，直线4N与x转交于点乃，设△10T与△404的面积分别为S、及.证明： S+S2为定值. x2 【答案】)4+y=1 (2)证明：由()符椭因C的下顶点0，-D,过点P及点0，- 的直线斜率为， 依思意直线'的斜率>1，直线'的方程为’-1=x-2》,即y=-(2k-), y=x-(2k-1) 由x2+4y2=4消去y得(4k2+1)x2-8k(2k-1)x+16k(k-1)=0, _8k(2k-1).16k(k-1) 设M,N,,+=4k2+ Γ4k2+1, 直线M的方程为y=，空y二0，得点T的横坐标-，同理得点的横坐桐 -x+1 丽5>05>0<小为1+8-0m040m4=户) 第21页/供27页 学科网命组卷网 8k(2k-1)16k(k-1) +]1.+-5=1.4k2+142+1 2k2-x)k2-x)k4-2(6++西k4-16(2k-)416k-D-184-2 4k2+14k2+1k4 S1+S2 所以 为定值 P 【解析】 a,b 【分析】(1)根据给定条件，结合椭圆离心率的意义求出即可 M,N (2)设出直线的方程及点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理推理得证 【小问1详解】 由点40p县C+片@>>0的奥点，得6 5Va2-b25 又椭圆C的离心率为2，则a 2,解得a=2 2 所以椭圆C的标准方程为4 y2=1 【小问2详解】 略 20.已知函数f(x)=e(x-a2,a∈R (1)当a=1时，求曲线y=()在点（f(-》处的切线方程： 第22页/供27页 6学科网命组卷网 (2)若函数（因在，+w)上单调递增，求实数0的取值范围 (3)若函数在川上的最大值为e,求实数0的值 【答案】(1)y=。 (2)（0 (3)-2或4 【解析】 【分析】(1)求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程： (2)依题意可得(x-x-a+2)≥0在，+切)上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解： (3)对a进行分类讨论，结合f(女)在【-l,上的最大值为e列式求得a 【小问1详解】 因为当a=1时，f(=c(x-,所以f(=e(x-x+), 所-)=61-=.f)=0, y-4-0(x+,整理得y=: 所以切线方程为e 【小问2详解】 因为函数()在山，+0)上单调递增。 所f(,=c(x-a(x-a+2)20在+o)上恒成立， 所以(x-ax-a+220在，+o)上恒成立， 又(x-a(x-a+2)≥0的解为x之a或x≤a-2. 第23页/共27页 命学科网命组卷网 所以当(x-0x-a+2)≥0在，+o）上恒成立时，a≤1， 即实数0的取值范围（-0，】， 【小问3详解】 由(2)可知，f'(x)=e(x-a(x-a+2) 当xe(o,a-2)和xe(a,+o)时，'()>0，f(单调递增： 当xe(a-2,)时，f'(<0,f(单调递减 当a-2≥1即a≥3时，f(x)在，上单调递增， 则f(r)a=f(0)=e(1-a=9e,解得a=4或a=-2(合去)； 当a≤-l时，f(x)在-l,上单调递增，则f(,)=f(0=e(1-a=9e, 解得a=-2或a=4(舍去). 当-1<a<3时， 若-1<a<1,则a-2<-1,则f(x)在[-l,d上单调递减，在[a,刊上单调递增。 (x)=maxf(1),f(-1) zf0-60-or≤6c9心)-0tose,无 e 若a=l,则a-2=-1,则（闪在上单调减，故f(四=/-）=#9e 无解： 若1<a<3,则-1<a-2<1,则f(女)在l,a-2]上单调递增，在a-2,上单调递减， 故f(x)m=f(a-2）=4e-2=9e,解 a=3+n9>3 41 ,无解。 第24页/供27页 6学科网列组卷网 综上可得，实数a的值为-2或4. 21.若项数不少于3的有穷数列{a,}满足如下两个性质，则称{a.}为合规数列 ①对任意的1≤i<j≤n,都有4<a, ②对任意的l≤i<j<k≤n,a,0、a,a、aa这三个数至少有一个是数列a}中的项。 (4如果项数为4的合提数列a,}中，4-1,4=3,4，=12，求4的值 (2)证明：2、4、7不可能都是某个合规数列中的项； (3)求合规数列a,}的项数n的最大值。 【答案】(1)3 (2)证明：假设2,4, 是某个合规数列a,}中的项。 由②知， 8,1428中至少有个是数列a,中的项，则有限数列a,的最后一项4>7，且”≥4， 由①得， an >an-1>an-2>an-3>1 对于0,2a.18,由递增性得0-4，之a,a0,>0,仅0201可能属于数列{a,},即4241=0， 同理对于0。a,10,得0,41=0，因此02=0,3，与0矛盾， 2,4,7 所以 不可能都是某个合规数列中的项， (3)9 【解析】 【分析】(1)利用O推出4马的范围，再利用②求解4的值 (2)根据给定条件，利用反证法及合规数列的定义推理得证. (3)利用合规数列的性质推导出合规数列 ,}中绝对值大于l的项至多有三项，绝对值大于0且小于l的 第25页/供27页 6学科网命组卷网 项至多有三项，绝对值等于1的项至多有两项，至多有一项等于0，再构造一个9项的合规数列即可得解. 【小问1详解】 3<4<12 由①得： 由②得：当=2，J=3,k=4时，3a,12a,36中至少有一个是数列3，a,12中的项， 3a3>9,124>12,36>1 而 2,因此3 3a3=1 12,解得4=4 ，经检验，=4 符合题意， 所以0的值是4 【小问2详解】 略 【小问3详解】 数列a,}:a,4,,0.(n≥23)符合①@， (①数列a,}中至多有三项，其绝对值大于1， 假设数列a,}中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，a,a,a是数列a,}中绝对值最大的四项， 其中1a,a,aa,则对a,a4,有aaa,|aaa 因此aa,aa均不是数列a,}中的项，即a,4:是数列a,}中的项， 同理：a4也是数列ta,}中的项，而aa:a,|a,aa, 则a4=a,4=4,即8=0，这与0矛盾； (i数列a,}中至多有三项，其绝对值大于0且小于1， 假设数列a,》中至少有四项，其绝对值大于0且小于】，类似（①得出矛盾； (i)数列a,》中至多有两项绝对值等于l, 第26页/供27页 6学科网 命组卷网 (iv)数列 中至多有一项等于0， 综合①，(i)，(i，(iv知数列a,}申至多有9项，即n≤9， 。1 数别一4，-2，-1，-。，一1,2,1,2 符合性质①②，即此数列为合规数列， 所以合规数列a,}的项数n的最大值为9 第27页/共27页 房山区2026年新高三入学测试试卷 数　学 本试卷满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 在的展开式中，若常数项为240，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是奇函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列是公比为的无穷等比数列，，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为．在中，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知圆的圆心为，斜率为1的直线与该圆相切，且与轴交于点，则______． 12. 图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 13. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为______，侧面积为______． 14. 设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的图象关于直线对称； ②，在上存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有四个零点． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，，，． （1）求的值； （2）求的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，且，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 18. 足球联赛中两队的胜负规则是：一场比赛中进球多者为胜，进球少者为负，两队均不进球或进球数一样为平局；积分规则是：取胜的球队积3分，负的球队积0分，平局每队各积1分．甲、乙两队近期将要进行2026赛季的2场比赛，为预测它们2场比赛的总积分，收集了两队近5个赛季比赛的结果，如下表： 2021赛季 2022赛季 2023赛季 2024赛季 2025赛季 第一场 第二场 第一场 第二场 第一场 第二场 第一场 第二场 第一场 第二场 甲队进球数 2 1 1 2 3 2 0 1 3 0 乙队进球数 1 5 0 2 2 1 1 1 0 2 假设甲、乙两队每场的比赛相互独立．用频率估计概率． （1）估计甲队第一场比赛获胜的概率； （2）在2026赛季的2场比赛中，设甲队的总积分为，估计的数学期望； （3）记为表中乙队10场进球数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记为乙队在这场比赛中的进球数．比较与的大小．（只需写出结论） 19. 在平面直角坐标系中，点是椭圆的上顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在第一象限，点在第四象限，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设与的面积分别为、．证明：为定值． 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，求实数的值． 21. 若项数不少于的有穷数列满足如下两个性质，则称为合规数列． ①对任意的，都有； ②对任意的，、、这三个数至少有一个是数列中的项． （1）如果项数为的合规数列中，，，，求的值； （2）证明：、、不可能都是某个合规数列中的项； （3）求合规数列的项数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $