精品解析：北京市房山区2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

房山区2025年新高三入学测试试卷 数 学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,然后利用交集的运算可求答案. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算求出，找出其对应点所在象限. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程易求得，进而可求双曲线的渐近线方程. 【详解】由，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：C. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由等比中项的定义得到，再根据等差数列的通项公式将首项，公差代入计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即， 整理可得， 因为，，所以解得. 故选：A 5. 若且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，但，故A错误； 对于B，由于且，则，故，故B错误； 对于C，若，此时 ，不满足，故C错误； 对于D， 由于，故，因此，由于，故，D正确， 故选：D. 6. 已知函数的定义域分别为集合，则“”是“曲线与无交点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】充分性： 若，意味着两个函数的定义域没有公共部分. 因为函数的交点是在自变量取值相同的情况下，函数值也相同的点， 而此时没有共同的自变量取值，所以曲线必然无交点，充分性成立； 必要性： 若曲线无交点，有可能存在自变量在中，但， 所以不能推出，必要性不成立. 综上，“”是“曲线与无交点”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 8. 若函数关于对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性可得，再将代入求解即可. 【详解】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数， 将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3， 因此，的最小值为3，所以B正确. 故选：B. 9. 生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（ ） A. 120次/分钟 B. 110次/分钟 C. 100次/分钟 D. 90次/分钟 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，求出，再代入，结合对数的运算性质，即可求出的值. 【详解】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率， 故选：A. 10. 已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的焦点是 ,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4. 考点：抛物线性质. 12. 若，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，由二项式的通项公式，代入计算，即可求得，然后再令代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，则； 令，则. 故答案为：； 13. 已知在中，．写出满足条件的一组角 的值_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据可得，即可求解. 【详解】因为是的内角，所以 则 又因为，所以， 所以或（舍）， 所以， 所以可取， 故答案为：.(答案不唯一) 14. 羡除是我国古代数学著作《九章算术》中记载的一种特殊五面体，其有三条相互平行且不全相等的棱，这三条棱在古算中被称为“三广”．《九章算术》中记载的羡除体积的计算方法简洁而准确，其术文曰：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”现有羡除如图所示，．底面为正方形，，其余棱长均为2，则该羡除的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用割补法，结合棱柱、棱锥的体积公式求解. 【详解】在平面中，过分别作的垂线，垂足分别为，连接， 依题意，四边形为等腰梯形，则， 由，得，由正方形，得， 而平面，则平面，平面， 又平面，则，同理，， 等腰底边上的高， 同理得平面，平面平面，几何体是直三棱柱， 所以该羡除的体积为. 故答案为： 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，函数恰有1个零点；②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点． 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，当时，解方程，得到，故恰有1个零点，①正确；对于②③④，令，过定点，故的零点个数等价于的交点个数，求导，得到过点的切线方程，从而得到②③正确，④错误. 【详解】对于①，当时，，令得，解得， 故恰有1个零点，①正确； 对于②，令得，故， 令， 故的零点个数等价于的交点个数， 同一坐标系内，画出的图象，如下： 其中过定点， 当时，，设过点的切线方程经过点， ，故过点的切线斜率为， 故切线方程为，将代入得 ，即， 令，， 则， 故在上单调递增， 其中，， 故存在，使得，此时， 当时，结合图象可知，此时， 且有1个交点， 故当时，只有1个交点， 此时恰有1个零点，②正确； 对于③，当时，有3个交点， 此时恰有3个零点，③正确； 对于④，当时，，不合要求， 当时，，设过点的切线方程经过点， ，故过点的切线斜率为， 故切线方程为，将代入得 ，即， 设，， 故恒成立， 故在上单调递增， ，， 故存在，使得，此时， 故当时，有1个交点， 当时，有0个交点， 又时，的增长速度远远大于的增长速度， 当时，有2个交点， 故不存在正数，使得恰有3个零点．④错误. 故答案为：①②③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及正弦定理边化角求解. （2）选择条件①，利用余弦定理、三角形面积公式求解；选择条件②，利用正弦定理求出，再利用余弦定理、三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由，得， 由及正弦定理，得，所以. 【小问2详解】 选择条件①：，由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为. 条件②：，由正弦定理得，由（1）得， 由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为. 17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见详细解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明来证明平面； （2）通过在A点建立空间直角坐标系，采用坐标法求解与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 因为，，M为AD中点，所以，，所以四边形MDEF是平行四边形，进一步可得， 因为平面BFM，平面BFM，所以平面BFM． 【小问2详解】 因为平面平面ABCD，平面ADEF，且，即，所以平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以， 因此可以建立空间直角坐标系，如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 已知，，M为AD中点，则各点坐标为： ，，，，，， 所以，，， 设平面BFM的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设CE与平面BFM所成角为，根据直线与平面所成角的向量公式， 可得， 其中，，， 所以， 综上，与平面所成角的正弦值为． 18. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下： 生产方式 工作时间（单位：） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 76 78 81 84 84 85 93 假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率． （1）从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率； （2）从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望； （3）根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）应该采用第二种生产方式，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可得结果； （2）由古典概型的概率计算公式可计算得到分布列，由数学期望的计算公式可计算出数学期望的值； （3）由比较两组数据的分布情况和比较中位数的大小均可得到结果. 【小问1详解】 第一组工人中工作时间小于80分钟的有5人，所以从第一组工人中随机抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率为. 【小问2详解】 第一组和第二组工人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数分别为5人和15人， 的所有可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 的数学期望. 【小问3详解】 应该采用第二种生产方式，理由如下： ①由所给数据可知，用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少82 min， 用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多78 min，因此应该采用第二种生产方式； ②由所给数据可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min）， 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），因此应该采用第二种生产方式. 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】（1） （2）过定点 【解析】 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出或，可求出直线过定点. 【小问1详解】 由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 20. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，切线与轴平行，求的值； （2）若在处取得极大值，求的取值范围； （3）过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导得，当时，切线与轴平行，即，解得. （2）由（1）知，令，解得或，若在处取得极大值，则左侧，右侧.因为恒成立，令，分情况讨论得出的取值范围. （3）当时，，，由题知过点的直线与垂直，且都与轴相交，则切线，的斜率存在且不为0，所以的斜率，垂直于的切线的斜率，所以，，代入并化简得，讨论得出. 【小问1详解】 已知，求导得 ， 当时，切线与轴平行，即， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，令，解得或. 若在处取得极大值，则左侧，右侧. 因为恒成立，令，则 当时，开口向上，要使左侧，右侧， 则， 当时，只有唯一解，在此处取极小值，不符合题意； 当时，开口向下，要使左侧，右侧， 则需满足， 因为，故，所以显然不成立. 综上，若在处取得极大值，需满足，即. 【小问3详解】 当时，，. 由题知过的切线都与轴相交，交点的横坐标分别是， 则的斜率存在且不为0. 所以切线的斜率，垂直于的切线的斜率. 所以，. 所以 因为， 当时，， 当时，， 所以. 21. 已知数列，集合，序列，T，其中．对数列进行如下变换：将的第项分别换为，其余项不变，得到的数列记作；将的第，，项分别换为，，，其余项不变，得到的数列记作；…；以此类推，得到…，简记为； （1）给定数列0，1，0，1，0，1，0和序列，写出； （2）给定数列0，0，0，0，0，0，0，请写出一个序列，使得为1，1，1，1，1，1，1，并求的最小值； （3）若项数为的数列的各项均为0，证明：存在序列，使得的各项均为1，并求的最小值． 【答案】（1）； （2），的最小值为3. （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）直接计算相关值，则得到答案； （2）首先证明引理对于每项是0或1的数列，每作一次变换，的奇偶性发生改变，从而得到最小值； （3）首先猜想或时，的最小值为，再利用数学归纳法即可证明. 【小问1详解】 ，，， 即 . 【小问2详解】 记， 引理：对于每项是0或1的数列，每作一次变换，的奇偶性发生改变. 证明：由于其它项不变，因此只需证明， 与的奇偶性不同. 即证为奇数， 由于等于1或. 通过枚举易知，证毕. 推论:与的奇偶性相同 由于且， 所以至少进行3次变换. 定义即可. 故的最小值为3. 【小问3详解】 当时，显然最小值为. 当时，由(2)中引理可知为偶数， 但显然不成立.故. 定义， 故的最小值为4. 当时，由（2）中引理可知为奇数， 但显然不成立，故， 定义， 故的最小值为3. 下面用数学归纳法证明： 当或时，的最小值为. （i）当或7时，前面已证的最小值为3. （ii）假设或时，成立. 即存在， 当或时， 一方面，，则. ，则. 另一方面，由引理可知与奇偶性相同， 与奇偶性相同. 即，故. 现定义， 由归纳假设，先作次T变换可得， 则最后作一次变换，即可满足题意， 即的最小值为. 综上所述:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2025年新高三入学测试试卷 数 学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 若且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域分别为集合，则“”是“曲线与无交点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数关于对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（ ） A. 120次/分钟 B. 110次/分钟 C. 100次/分钟 D. 90次/分钟 10. 已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的焦点到准线的距离是______________． 12. 若，则_________；_________． 13. 已知在中，．写出满足条件的一组角 的值_________，_________． 14. 羡除是我国古代数学著作《九章算术》中记载的一种特殊五面体，其有三条相互平行且不全相等的棱，这三条棱在古算中被称为“三广”．《九章算术》中记载的羡除体积的计算方法简洁而准确，其术文曰：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”现有羡除如图所示，．底面为正方形，，其余棱长均为2，则该羡除的体积为_________． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，函数恰有1个零点；②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点． 其中正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分． 17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值． 18. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下： 生产方式 工作时间（单位：） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 76 78 81 84 84 85 93 假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率． （1）从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率； （2）从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望； （3）根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由． 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 20. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，切线与轴平行，求的值； （2）若在处取得极大值，求的取值范围； （3）过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围． 21. 已知数列，集合，序列，T，其中．对数列进行如下变换：将的第项分别换为，其余项不变，得到的数列记作；将的第，，项分别换为，，，其余项不变，得到的数列记作；…；以此类推，得到…，简记为； （1）给定数列0，1，0，1，0，1，0和序列，写出； （2）给定数列0，0，0，0，0，0，0，请写出一个序列，使得为1，1，1，1，1，1，1，并求的最小值； （3）若项数为的数列的各项均为0，证明：存在序列，使得的各项均为1，并求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $