期中考前满分冲刺之解答题（考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练二十五种覆盖训练）2026-2027学年七年级数学上册苏科版

**基本信息** 聚焦期中核心知识，通过25个覆盖模块系统整合有理数、代数式、方程及应用问题，以题载知，强化知识逻辑与解题能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数|1-3,7-9题|基础概念辨析与运算|从数轴表示到分类、混合运算，构建数系认知| |代数式|10-15题|化简求值与整式加减|体现符号意识，衔接数与式的转化| |应用问题|25-36题|实际情境建模|发展模型意识，强化运算能力与应用意识| |综合探究|37-75题|新定义、规律与动点|培养抽象能力与推理意识，提升数学思维|

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一数轴表示数并比较大小与有理数分类 1．画出一条数轴，在数轴上表示下列各数3，，0，1.75，，并用“＜”连接各数． 【答案】， 【分析】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，先将各数表示在数轴上，再按从大到小的顺序排列即可，理解数轴上表示数的意义是解题关键． 【详解】，图略，由数轴可知． 2．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】见解析， 【分析】先化简题目中的各个数，再在数轴上表示出来，最后根据数轴按从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：，，，， 将各数在数轴上表示如下： 可得． 3．把下列有理数填在相应的集合内： 3，，0，，0.45，，，，； 正有理数集合：{                      }； 负有理数集合：{                     }； 整数集合：{                          }． 【答案】3，，，；，，，；3，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义． 根据正有理数、负有理数、整数的定义求解即可． 【详解】解：正有理数集合：{3，，，，…}； 负有理数集合：{，，，，…}； 整数集合：{3，0，，…}． 覆盖二 有理数的混合运算 4．计算． (1)； (2)； (3) ； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘除，再计算减法即可； （3）先计算乘方，再根据乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （3）原式运用乘法分配律进行计算即可； （4）原式先计算乘方，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)17 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），根据有理数的加减法法则计算； 对于（2），根据乘法分配律计算； 对于（3），先算乘除，再算加减； 对于（4），先算乘方，同时计算括号内的，再算乘除即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 覆盖三 代数式的去括号化简 7．化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据合并同类项法则，进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先由整式加减运算的交换律与结合律变形，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再由整式加减运算的交换律与结合律变形，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式合并同类项即可； （2）将原式去括号后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      覆盖四化简求值 10．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号合并同类项化简整式，再代入，计算结果． 【详解】解：原式=，　　　 当，时 ， 原式=． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，原式的值为 【详解】解： 当，时， 原式 12．若，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值．由非负数的性质求出和的值，然后化简代数式并代入求值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，． 当，时． ∴原式． 覆盖五整式AB型加减 13．已知，． (1)求：． (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）把，分别代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ． 14．已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键． （1）根据整式的加减计算法则求出的结果即可； （2）再把整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ， 原式． 15．已知，（其中a，b为常数，且表示系数） (1)计算； (2)若不含二次项，求a的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查整式的化简求值，多项式的项的定义，非负数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1） 将A和B的表达式代入，去括号并合并同类项． （2）令中二次项的系数为零，解方程得到a的值． （3）由非负数和为零求出x和y的值，再代入化简后的表达式计算． 【详解】（1）解： （2）解：不含二次项， 即 解得； （3）解：当时， ， ∵， ∴ 即， ． 覆盖六解方程(选考) 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得 整理，得 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得 去括号，得 整理，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 17．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为即可． （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． 18．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 覆盖七相反数、绝对值、倒数的综合求值 19．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3，试求：的值． 【答案】14或20 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 根据相反数及倒数的定义易得，，再根据绝对值的定义可得，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3， ，，， ， 当时， ， 当时，， 即原式的值为14或 20．已知：有理数m的绝对值是3，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，求代数式的值． 【答案】或 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值、求代数式的值，由绝对值的意义可得或，由相反数的定义可得，，由倒数的定义可得，分两种情况，分别代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵有理数m的绝对值是3， ∴， ∴或， ∵a，b互为相反数，且都不为零， ∴，且，， ∴， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，代数式的值为或． 21．若a，b，c，d均为有理数，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，倒数的定义，相反数的定义，求绝对值． 根据a，b互为倒数，c，d互为相反数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，， ∴，，， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为或． 覆盖八绝对值与数轴的化简 22．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如与的距离可表示为，与的距离可表示为． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，则为 ； (3)数、、在数轴上对应的位置如图所示，化简． 【答案】(1)； (2)；或 (3) 【分析】本题考查的知识点是绝对值的几何意义、绝对值方程、利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题，解题关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）结合题意进行计算即可； （2）由题意得数轴上表示和的两点和之间的距离是，再分情况讨论即可得的值； （3）先根据数轴得出，，，再结合绝对值的定义即可得解． 【详解】（1）解：依题意得：数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， ，即， 则或， 或． 故答案为：，或． （3）解：由数轴可知，，，， 则， ， ， ． 23．已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出、对应的点，并将、、、用“”连接起来； (2)化简：． 【答案】(1) 解：如数轴所示 ∴． (2) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，大小比较，绝对值以及整式的加减，理解绝对值的意义和掌握整式加减的计算方法是得出正确答案的关键． （1）在数轴上标出、，再将、、、用“”连接起来即可； （2）由数轴，得到，再去绝对值并化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：由数轴，得 ， ∴， 则 ． 24．已知数轴上点、、表示的数分别是有理数、、，在数轴上的位置如图所示： (1)若，，，将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． (2)若，化简． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，数轴的定义，中点的定义． （1）先求得折叠点为，再利用中点的定义求解即可； （2）由数轴得到，然后得到式子的符号，再进行化简，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点与点重合， ∴折叠点为， ∴与点重合的点表示的数是， 故答案为：1； （2）解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ． 覆盖九有理数混合运算的应用 25．某出租车驾驶员从公司出发，在南北方向的人民路上连续接送5位客人，规定向北为正方向，向南为负方向行驶记录如下（单位：）：，，，，． (1)接送完第5位客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车的计价标准为行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米元收费，求该驾驶员接送5名客人共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司的北边，距离公司10千米处 (2)68元 【分析】（1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：． 答：该驾驶员在公司的北边，距离公司10千米处． （2）解： （元）． 答：该驾驶员接送5名客人共收到车费68元． 26．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 27．2025年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机计划每人每天生产某种景观灯10盏，以便投入市场进行销售，但由于各种原因，实际每人每天生产景观灯数与计划每人每天生产景观灯数相比有出入，下表是该灯具厂某月（30天）的工人小吴每天生产情况（增产记为正，减产记为负）： 天数 增减（单位：盏） (1)求该灯具厂工人小吴这个月共生产景观灯多少盏？ (2)该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得元，若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励元，少生产一盏扣元，那么这个月该灯具厂工人小吴的工资总额是多少元？ 【答案】(1)盏 (2)元 【分析】本题主要考查正数与负数以及有理数的混合运算 （1）利用30天的计划生产量30天的增减量可求解； （2）分别计算实际生产工资数额、超额完成工资数额及少生产的工资数额，再相加即可． 【详解】（1）解：依题意，得： （盏） （盏） 答：该灯具厂工人小吴这个月共生产景观灯330盏． （2）小吴一共生产了330盏， 超额完成任务数为：盏， 差额完成任务数为：盏， 这个月该灯具厂工人小吴的工资总额是：元． 答：这个月该灯具厂工人小吴的工资总额是6736元． 覆盖十代数式与图形结合求解 28．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“”型图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“”型图形的周长； (2)若此图作为某施工图，“”型图形的周边需围上单价为每米30元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米20元的栅栏．若，，请计算整个施工所需的造价． 【答案】(1) (2)整个施工所需的造价为960元 【分析】本题考查整式的加减，列代数式和代数式求值，根据图象列出代数式是解题关键． （1）根据图象列出代数式，并计算即可； （2）根据题意，表示出造价的代数式，再代入x，y的值计算即可． 【详解】（1）解：由图可得“T”型图形的周长为； （2）解：整个施工所需的造价为： ． 当，时， （元） 答：整个施工所需的造价为960元． 29．如图，长方形是一个花园的示意图，阴影部分种向日葵，其他部分种月季花，其中花园的长为，宽为． (1)用含a和b的代数式表示种月季花部分的面积； (2)若，，种向日葵的费用为每平方米80元，求种向日葵需要的费用． 【答案】(1) (2)种向日葵需要的费用为1160元． 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方形，直角三角形的面积公式是解题的关键． （1）利用直角三角形的面积公式解答即可； （2）利用长方形，直角三角形的面积公式求得阴影部分的面积，再将数值代入运算即可． 【详解】（1）解：月季花部分的面积 ； （2）解：阴影部分的面积=矩形的面积 ， ∵，， ∴， ∵种向日葵的费用为每平方米80元， ∴种向日葵需要的费用（元）． 答：种向日葵需要的费用为1160元． 30．某校有一块两面靠墙的长方形种植基地，其内部规划出了三块扇形种植区域，分别种植生菜、番茄和薄荷，剩余阴影区域为鹅卵石路，具体如图所示．为获得三块种植区域的面积，小乐积极展开探究，测量得到生菜区扇形半径的长为a米，薄荷区扇形半径的长为b米． (1)番茄区扇形半径的长为______米．（用含a，b的代数式表示） (2)小乐发现的长是番茄区扇形半径的长的k倍，请求出k的值，并用代数式说明理由． (3)当米，米时，求鹅卵石路的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 解：的值为2，理由： 米， 米， 米， 的长是番茄区扇形半径的长的k倍， ； (3)鹅卵石路的面积平方米 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）根据圆的概念及长方形的性质作答即可； （2）列出的代数式，进而即可得答案； （3）先列出鹅卵石路的面积的代数式，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：米，米，， 四边形为长方形， 米，， 米． 故答案为：； （2）略 （3）解：鹅卵石路的面积长方形的面积扇形的面积扇形的面积扇形的面积 ， 米，米， 鹅卵石路的面积平方米． 覆盖十一月历问题 31．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B， D上的数相乘， 位置A， E上的数相乘， 再相减， 例如∶ ， ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数与最大的数的乘积为161，请求出中间位置上的数a的值． 【答案】(1)15，15，15 (2) 证明：由日历的规律可知，位置的数字比位置的数字少，位置的数字比位置的数字少，位置的数字比位置的数字多，位置的数字比位置的数字多． 因为位置的数字为， 所以位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为． 根据题目中的运算规则，可列出式子， 可得 ． (3)15 【分析】本题考查根据日历规律进行计算，以及整式运算证明规律，和一元二次方程的应用，解题的关键是对概念的掌握． （1）根据题目所给的运算规则，分别计算出和的值，从而得出结果． （2）先根据日历中数的位置关系，用含的代数式表示出、、、位置上的数，再按照题目中的运算规则列出式子，最后利用平方差公式进行化简证明． （3）先根据正方形方框中数的位置关系，用含的代数式表示出最小的数和最大的数，再根据它们的乘积为列出方程，最后求解方程并根据实际情况进行取舍． 【详解】（1）解：，， ∴结果都等于， 故答案为：，，． （2）略 （3）解：由正方形方框中数的位置关系可知，最小的数比中间位置上的数小，即最小的数为； 最大的数比中间位置上的数大，即最大的数为． 因为最小的数与最大的数的乘积为， 所以可列出方程． 化简方程得：，即． 可得：，解得． 因为表示日历中的数，为正整数， 所以． 32．综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）0，0； （2），，0，0； （3）的值均为0， 如图， ，，，， 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 【分析】本题考查了数字类规律探索,整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给算式计算即可； （2）先得出，再代入计算即可求解； （3）先按框出，再计算后得出结论． 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 故答案为：0，0； （2）设，则，，． ． 所以的值均为0． 故答案为：，，0，0； （3）略 33．综合与实践：在学习《整式的加减》时，我们探究了月历中数字之间的关系和变化规律．已知月历中同行的数从左向右依次递增1，同列的数从上向下依次递增7． 探究1：图1是某月的月历，现要探究带阴影的“口”字方框中的4个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，方框可以任意移动；小明是先假设左上角的数为，他通过计算发现斜对角的两个数字之和均为______，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和______（填“相等”或“不相等”）； 探究2：小明又探究了图2中带阴影的十字方框中的5个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，发现当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数，请你通过计算说明他的结论成立的理由； 【答案】探究1：，相等； 探究2：设图2中带阴影的十字方框中的正中间的数为，则其他四个数分别为，，，， ∴这5个数之和是， ∴当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数． 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确求出阴影中其他的数，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 探究1：先求出右上角的数、左下角的数、右下角的数，再计算整式的加法即可得； 探究2：设图2中带阴影的十字方框中的正中间的数为，则其他四个数分别为，，，，再计算整式的加减即可得出结论． 【详解】解：探究1：∵小明是先假设左上角的数为， ∴右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为， ∵，， ∴斜对角的两个数字之和均为，“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和相等 故答案为：，相等． 探究2： 略 覆盖十二 打折划算问题 34．某游乐场的门票为每张30元，元旦期间，游乐场新推出如图所示的A，B两类年票： 小颖的家离游乐场很近，她打算经常前去游玩，若她一年内去游乐场m次． (1)她有以下三种消费方式供选择： ①当不购买年票时，一年的费用为________元； ②当购买A类年票时，一年的费用为________元； ③当购买B类年票时，一年的费用为________元； (2)若她一年内每月去游乐场两次，请通过计算说明应选（1）中的哪种消费方式较划算？ (3)她打算购买一张年票，请结合（2）说明应选A，B哪类年票较划算？ 【答案】(1)，300， (2)购买A、B类年票比较划算 (3)当时，选择A、B类年票的费用相同；当时，购买B类年票比较合算；当时，购买A类年票比较合算 【分析】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出代数式． （1）根据每张30元，一年内去游乐场共有m次，即可求出不购买年票一年的费用；根据A类年票每张300元，持票者每次进入游乐场无需再购买门票可直接得出一年的费用；根据B类年票每张180元，持票者进入游乐场时需再购买每次5元的门票，可得出一年的费用为元． （2）分别计算出一年进入游乐场共有24次时，每种购买方式的费用，即可得出最优惠的购买方式． （3）由，分、、三种情况讨论求解可得． 【详解】（1）解：如果不购买年票，则一年的费用为元； 如果购买A类年票，则一年的费用为300元； 如果购买B类年票，则一年的费用为元； 故答案为：、300、； （2）解：由题意得：小颖一年进入游乐场的次数为次， 则不购买年票的费用为（元）， 购买A类年票的费用为300元， 购买B类年票的费用为（元）； 则购买A、B类年票比较划算； （3）解：，解得， 当时，选择A、B类年票的费用相同； 当时，购买B类年票比较合算； 当时，购买A类年票比较合算． 35．宏宇体育用品店在国庆假期期间对指定商品推出了以下两种优惠方案： 国庆大促销 方案一：买1个足球，赠送1根跳绳； 方案二：足球和跳绳一律九折优惠． 已知每个足球定价为30元，每根跳绳定价为5元． (1)小刚和同学们需买5个足球，x根跳绳（不少于5根），则两种优惠方案各需多少元（用含x的代数式表示）？ (2)当时，采用哪种方案更划算，请说明理由； (3)当时，采用哪种方案更划算，请说明理由． 【答案】(1)方案一：元；方案二：元； (2)方案一更划算， 理由如下： 当时， 方案一：需要的钱数为元； 方案二：元； ∵， ∴方案一更划算； (3)两种方案一样多 理由如下： 当时， 方案一：需要的钱数为元； 方案二：元； ∴两种方案一样多． 【分析】（1）根据题意中的优惠方案用含x的式子即可得结果； （2）把分别代入（1）中所得的两个式子进行比较即可求解； （3）把分别代入（1）中所得的两个式子进行比较即可求解． 【详解】（1）解：方案一：需要的钱数为元； 方案二：需要的钱数为元； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是根据两种优惠方案列出代数式． 36．艺术节期间，某班因表演节目的需要，准备采购部分表演服装和表演道具，班上几名班委干部到商场进行了实地考查，其中一家信誉较好的店铺报价为：每套服装卖100元，每件道具卖15元，给出的优惠方案如下：方案A，以原价购买，购买一套服装赠送两件道具；方案B，总价打8折，若该班级计划购买a套服装和b件道具（）． (1)请用含a，b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更划算呢？请通过计算进行说明； (3)当时，你能确定哪种方案更划算吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出当两种方案所花费用相同时b的值是多少？ 【答案】(1)方案一，方案二； (2)方案一更便宜， 当，时， 方案一费用：元， 方案二费用：元， ∵， ∴方案一更便宜； (3)不能确定，当时，两种方案所花费用相同． 【分析】（1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量单价列出代数式即可； （2）将a、b的值分别代入（1）中代数式中计算，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，将两个代数式作差，根据b的取值做出结论． 【详解】（1）解：根据题意， 方案一实际费用：元， 方案二实际费用：元； （2）略 （3）不能确定， 理由：当时，方案一费用为：，方案二费用为：， 作差得：， 由于b的值不确定，则的正负不确定， 所以不能确定哪种方案更划算， 当时， 解得：， ∴当时，两种方案所花费用相同． 【点睛】本题考查列代数式、代数式求值、整式加减的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． 覆盖十三新定义计算 37．在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， ∵， ， ∴， ∴新定义的运算“”满足交换律，即成立． (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案； （2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证； （3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2） ， ∴； （3）∵ ∴， 解得 38．同学们已经学习过有理数及其运算，我们现在定义一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请根据下面各式回答问题： 观察式子： (1)通过观察，请你补全定义内容 ；（用含的代数式表示） (2)计算 ； (3)如果，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字变化类规律、一元一次方程的应用，理解题意，得出是解此题的关键． （1）根据题中所给式子列出结论即可； （2）根据（1）中得出的结论进行计算即可； （3）根据（1）中得出的结论进行计算得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可得， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ，， ， ， 解得：． 39．定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 【答案】(1) (2) (3)B 【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算． （1）根据题意可得新运算法则为； （2）先计算，再计算，据此计算即可； （3）根据题意，根据新运算法则和整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且定义的新运算满足交换律， ∴， 整理得， ∴． 故选：B． 覆盖十四水、电费问题 40．某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电千瓦时，应交电费__________元，若月用电千瓦时，应交电费__________元； (2)若居民丁丁家12月用电量为千瓦时，请计算他们家12月应缴电费__________元（用含的代数式表示）： (3)若居民兰兰家11、12月份共用电千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时，求兰兰家11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)80， (2) (3)当时，总电费为元；当时，总电费为204元． 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，列代数式及有理数乘法的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系以及不同情况下的收费标准，进行分类讨论． （1）根据表格可知，用电千瓦时，按照单价元/千瓦时收费，即可求解；月用电千瓦时，超过了400千瓦时，前面180千瓦时按照元/千瓦时收费，超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分按照0.6元/千瓦时收费，超过400部分按照元/千瓦时收费，即可求解； （2）按照收费标准，列出代数式即可； （3）设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时，分两种情况，根据单价列式即可． 【详解】（1）解：月用电千瓦时，应交电费：（元）， 月用电千瓦时，应交电费：（元）； 故答案为：80， （2）解：居民丁丁家12月份用电量为千瓦时， 则居民丁丁家12月份应缴电费为：元， 即居民丁丁家12月应缴电费为元； 故答案为： （3）解：设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时， 若， 则， ∴11、12月共交电费为：元． 若， 则， ∴11、12月共交电费为：元， 综上，当<>时，总电费为元；当时，总电费为204元． 41．我国属于水资源缺乏的国家之一，节约用水，人人有责．某市为了强化公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水价格表如表所示（注：水费按月结算）． 每月用水量 单价 不超过 3元 超过不超过的部分 5元 超过的部分 8元 例如：若某户居民3月份用水，则应缴水费元； 若某户居民4月份用水，则应缴水费元； (1)若某户居民8月份用水，则应缴水费多少元？（列代数式表示，注意代数式的书写规范） ①当用水量不超过时，应缴水费__________元； ②当用水量超过不超过时，应缴水费__________元； ③当用水量超过时，应缴水费__________元； (2)若某户居民9月份用水，则应缴水费多少元？ 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用表格中的数据解答问题． （1）①根据应缴水费单价乘以用水量，结合表格中的数据即可解答；②根据应缴水费单价乘以用水量，结合表格中的数据即可解答；③根据应缴水费单价乘以用水量，结合表格中的数据即可解答； （2）将代入（1）③中求得的式子，即可解答本题． 【详解】（1）解：①由表格可得，用水量不超过时，则应缴水费为元； ②由表格可得，用水量超过不超过时，应缴水费为元， ③由表格可得，用水量超过时，应缴水费为元； 故答案为：，，； （2）解：当时， 应缴水费为：（元）． 42．我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1.5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费______元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)该用户这个月应缴纳57元水费； (2) (3)当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元 【分析】本题主要考查了用代数式表示，整式的加减， （1）根据用水量的费用包括三部分，即的费用，和之间的部分费用，超过的部分的费用，再相加即可； （2）根据题意，用含有a，x的代数式表示即可； （3）分三种情况：，，，分别用代数式表示即可． 【详解】（1）解： （元）     答：该用户这个月应缴纳57元水费； （2）解：当时， 该用户应缴纳的水费为 （元）； 故答案为：； （3）解：甲用户缴纳的水费超过了30元， ①，则， 甲：， 乙：， 共计：； ②，则， 甲：， 乙：， 共计：； ③，则， 甲：， 乙：， 共计：． 答：甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元． 覆盖十五代数式的规律问题 43．观察下列有规律的三行数： −2 4 −8 16 −32 64…； 0 6 −6 18 −30 66…； 0 12 −12 36 −60 132…； (1)第一行的第n个数是 ； (2)观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数； (3)在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，这三个数分别为：66，，258 【分析】（1）根据数字变化得出结论即可； （2）根据数字变化得出结论即可； （3）列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第一行数的第n个数是， （2）由（1）知，第二行每个对应位置上的数都比第一行大2， ∴第二行的第n个数是， （3）存在，理由如下： 由题意得： 解得：， ∴，，， 即这三个数分别为：66，，258． 44．1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 45．综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 覆盖十六作差法比较大小 46．阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）利用作差法得到，再根据即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由即可得到答案； （3）利用作差法得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 47．对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】用上述方法，解决以下问题： （1）比较大小：　　　． （2）当时，比较与的大小，并说明理由． 【灵活运用】 （3）图（1）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的大正方形，此时正方形的面积为． ①请先判断与的大小关系，并说明理由； ②已知，，则与的大小关系为：　　　． 【答案】（1）； （2），理由如下： ， ， 又， ； （3）①，理由如下： ，， ， ； ② 【分析】本题考查了代数式表示式，整式加减的混合运算，能根据整式的运算法则求出两数的差是解此题的关键． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据已知条件得出两数差的正负，即可比较出两个代数式的大小； （3）①先表示出的面积，然后求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； ②先将式变形为，再与比较即可求解； 【详解】解：（1）， ； 故答案为：； （2）略 （3）①略 ②， ， ． 故答案为：． 覆盖十七幻方问题 49．综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．李老师在数学活动课中带领同学探究课本页“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”（如图 2）， 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）给出一组数“”，观察发现这9个数与幻方图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”之间的关系是：_____________________． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． （3）根据以上探究过程，请将“”这9个数填入到幻方图4中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （4）如图5所示，标注了其中三个数的位置，请你用含有的代数式直接表示出幻方中的数． 【答案】（1）幻方图2中的9个数依次减5就得了这个9个数 （2）如下图所示； 3 0 4 1 2 （3）如下图所示； 9 0 12 3 6 （4） 【分析】本题考查有理数的加法运算及一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键． （1）观察两组数的数量关系，即可求解； （2）根据幻方的特点和规律，将数据分别填到表格中即可； （3）根据幻方的特点和规律，将数据分别填到表格中即可； （4）根据幻方的特点列出一元一次方程，即可得出结果． 【详解】解：（1）幻方图2中的9个数依次减5就得了这个9个数， 故答案为：幻方图2中的9个数依次减5就得了这个9个数； （2）略 （3）略 （4）根据规律可得，横着三个数的和等于对角线三个数的和， ∴， ∴． 50．材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 【答案】(1)1，，5 (2)①2； ②填方格如图： ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）解：斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； （2）解：①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6． 51．【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)50；343 (5)350 【分析】（1）根据幻方特征列出代数式即可； （2）根据幻方特征列出代数式即可； （3）根据幻方特征列出代数式即可； （4）根据幻方特征求出幻和，然后求出数字的个数，计算成本即可； （5）根据幻和求出值，确定该连续的16个自然数，然后求出数字的个数，计算成本即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知，该三阶幻方的中心数为， ∴幻和； （3）解：； （4）解：， 方案一中个位数有9个，两位数有（个）， ∴成本为（元）； （5）解：当时，解得， ∴16个连续自然数为8－23， ∴个位数有2个，两位数有（个）， ∴成本为（元）． 覆盖十八代数式值的变化问题 52．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： … 0 1 2 … … 1 3 … … 5 3 1 … (1)根据表中信息可知：______，_______． (2)表中代数式值的变化规律是：的值每增加1，的值就增加2；类似地，代数式值的变化规律是：的值每增加1，值就_____． (3)请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加1，代数式的值就都减少3． 【答案】(1) (2)减少2 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）分别将代入两个代数式计算即可； （2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论； （3）按要求使的系数为即可，常数项可为任意常数． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得， 故答案为：，； （2）观察表格中第三行可以看出，的值每增加1，的值就减少2，类似地，代数式值的变化规律是的值每增加1，值就减少2； 故答案为：减少2； （3） ∵的值每增加1，代数式的值就都减少3， ∴使的系数为即可，常数项可为任意常数，例如（答案不唯一）． 53．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)减少3 (3)，理由如下： 当时，x的值每增加1，代数式的值就增加k． 当时，x的值每增加1，代数式的值减少 理由如下：当时，， 当时，， ． 【分析】此题考查整式的加减计算，已知字母的值求代数式的值： （1）将x值分别代入求出式子的值即可； （2）将与的值相减即可判断变化情况； （3）当时，；当时，，得到，由此得到结论． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：； （2）， ∴x的值每增加1，的值就减少3， 故答案为：减少3； （3）解：略． 54．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题； (1)根据表中信息可知：______；______． (2)表中的值的变化规律：的值每增加，的值就增加2． 类似地，的值的变化规律：的值每增加，值就______． (3)①若一个含的多项式满足：的值每增加1，多项式的值就减小5，且当时，多项式的值为8．则这个多项式为______． ②当的值从增加到时，试通过计算说明关于的代数式（为一次项的系数，且）的变化规律． 【答案】(1)； (2)减小 (3)①； ② ∴当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值增加k， 当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值减少（或减少)． 【分析】本题考查的是代数式的值，掌握求解代数式的值的方法是解本题的关键； （1）把与分别代入两个代数式进行计算即可； （2）根据表格数据即可求解． （3）①依题意，的系数为，设这个多项式为，将代入，得出，即可求解； ②当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值增加k，当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值减少（或减少)． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，；． （2）的值的变化规律：的值每增加，值就减小， 故答案为：减小． （3）解：①依题意，的系数为，设这个多项式为， 当时， ∴这个多项式为； ②略 覆盖十九代数式的整体思想 55．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，然后整体代入计算代数式的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ， ， ． 56．由合并同类项我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请灵活运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，化简______； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，． ①将第一个方程与第二个方程相加可得______． ②求的值． 【答案】(1) (2)30 (3)①；② 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据题干的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 的值为30； （3）①解：， ， 故答案为：； ②， ， ． 的值为13. 57．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并________； (2)当时，代数式的值为；当时，求代数式的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看成一个整体，合并计算，然后即可得到结果； （2）将原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）将原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：将代入中得, 故， ∴当时，； （3）解：∵，， ∴ ． 覆盖二十有理数的圈次方 58．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【答案】 （1）， （2）①②④ （3） 【分析】本题主要考查新定义，有理数的乘除法运算，理解新定义的运算，有理数乘除法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据新定义运算的计算法则判定即可； （3）根据新定义运算的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）：，， 故答案为：，； （2）若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，正确的有①②④； （3） ． 59．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ______________=______________ （2）关于除方，下列说法正确的序号是 ①任何非零数的圈2次方都等于1 ②对于任何大于等于2的整数m， ③ ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→ 乘方的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________；_______ （4）计算： 【答案】（1），；（2）①②④；（3），；（4） （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2）①，即任何非零数的圈次方都等于，故①正确； ②，故②正确； ③， ， ，故③错误； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故④正确， 故答案为：①②④； （3）， ， 故答案为：，； （4） ． 60．概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作aⓝ，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：______，______， （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数， ； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：______（，为正整数；结果写成幂的形式）． （4）算一算：． 【答案】（1），；（2）C；（3）；（4） 【分析】（1）根据除方的定义，将原式变形求解； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的定义逐一判断即可； （3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式； （4）根据（3）中通项式将原式每一项展开，然后根据有理数混合运算的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为，； （2）A．任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；  所以选项A正确； B．因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1； 所以选项B正确； C．，，则； 所以选项C错误； D．负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 故选C； （3）． （4）由（3）得： ，， 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 覆盖二十一整除问题 61．在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 【答案】(1)123（答案不唯一） (2) 证明：设三位数， ∵， 又∵和都能被3整除， ∴如果能被3整除，那么能被3整除，即三位数能被3整除． (3) ， ∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∵和能被3整除， ∴能被3整除． 【分析】本题主要考查整式的运算，读懂题意，熟练应用新方法是解题的关键． （1）根据整除定义写出一个能被3整除的三位数即可； （2）根据题目提供的方法进行求解即可； （3）根据四位数，根据能被3整除，得出能被3整除，根据和能被3整除，即可得出答案． 【详解】（1）解：能被3整除的三位数为123．（答案不唯一） （2）略 （3）略 62．【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 【答案】特例验证：1236（答案不唯一），12（答案不唯一），能；探究证明：； 迁移运用：证明： ． ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除； 拓展提升：或 【分析】此题考查整式加减的应用． 特例验证：根据一个四位数的各位数字和能被3整除，这个四位数就能被3整除的结论写出一个四位数即可； 探究证明：根据合并同类项法则解决即可； 迁移运用：把化为即可证明； 拓展提升：根据五位数能被9整除得出能被9整除，进而求出结论． 【详解】特例验证：解：只要四位数的各个数位上的数字之和能被3整除即可． 故能被3整除的四位数为：1236（答案不唯一）；该数四个数位上的数字之和为12，显然该和能被3整除． 故答案为：1236，12，能； 探究证明： 解： ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：； 迁移运用：略 拓展提升： 解：∵五位数能被9整除， ∴各位数字之和能被9整除，即：能被9整除． ∴x能被9整除． ∵x是的整数， ∴或． 63．材料一：若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为a、b、c，则通常记这个三位数为，即三位数． 材料二：试说明当能被3整除时，三位数能被3整除． 解：因为能被3整除，可设（其中k为正整数）， 因为 所以一定能被3整除． 【概念理解】 （1）三位数235_____________被3整除．（填“能”或“不能”） 【及时应用】 （2）已知一个三位数能被3整除，若是一个不大于500的数，则这个三位数为_____________． 【类比探究】 （3）当一个三位数能被7整除时，a、b、c应满足什么条件，试说明理由． 【解决问题】 （4）已知一个三位数，满足，且能被5和7整除，则这个三位数是_____________． 【答案】（1）不能（2）111；（3）是7的倍数（4）560 或 735 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减及乘除，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据材料二的知识解答即可； （2）根据题意判断能被3整除，进而得到，由均是百位数字得出的值即可； （3）先表示出三位数，再判断能被7整除的条件即可； （4）得出能被5整除的末位数是0或5，再求出的值即可判断符合条件的三位数字． 【详解】解：（1）∵ ，10不能被3整除， ∴235不能被3整除， 故答案为：不能； （2）∵ 因为能被3整除，所以能被3整除， 设（k为正整数），则 ∵， ∴， ∴， ∴， 因为均是百位数字， ∴，，， 则，这个三位数是111； 故答案为：111； （3） 因为一定能被7整除， 所以，能被7整除的条件是能被7整除； （4）∵，且能被5和7整除， ∴或5； 当时，，即， ∴则这个三位数是， 又这个数能被7整除， ∴能被7整除， ∴， 此时，三位数是560； 当时，，即， ∴， ∴三位数为， ∴能被7整除， ∴， ∴这个三位数是735． 所以，符合条件的三位数是560和735． 故答案为：560和735． 覆盖二十二代数式的新定义应用 64．定义：若，则称与是关于4的幸运数． (1)3与___________是关于4的幸运数；代数式___________与是关于4的幸运数； (2)若，，判断与是否是关于4的幸运数，说明理由． 【答案】(1)1， (2) 解：与是关于4的幸运数，理由如下： ， 则, 因此，与是关于4的幸运数． 【分析】本题考查整式的加减运算、新定义问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据幸运数的定义进行列式计算求解即可； （2）计算代数式，满足幸运数的定义，则与是关于4的幸运数． 【详解】（1）解：根据题意得，由于，则，即3与1是关于4的幸运数； 由于， 则代数式与是关于4的幸运数， 故答案为：1，； （2）略 65．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“涞水有理数对”，记作．例如：，因此数对是“涞水有理数对”． (1)数对，中，是“涞水有理数对”的是_____； (2)若是“涞水有理数对”，求的值； (3)若是“涞水有理数对”且代数式中不含的项，求的值． 【答案】(1)（） (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减、代数式的化简求值；关键是对新定义运算的应用； （1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断； （2）将原式合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式，最后代入求值； （3）根据新定义内容列出等式，代入代数式中并找出项的系数和，令其为零即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴是“涞水有理数对”； 故答案为：； （2）解：是“涞水有理数对”， ， 原式 （3）解：是“涞水有理数对”， ， ， 此代数式不含的项， ，解得：． 66．定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 覆盖二十三数轴动点求t 67．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2) 解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； (3) 解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）略 （3）略 68．【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 【答案】（1）点表示的数是，点表示的数是14（2）点表示的数为，点表示的数为，、两点间的距离为个单位长度（3）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，、两点间的距离与、两点间距离的差为 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）数轴上点右边的点表示的数是点表示的数加上这两个点的距离，数轴上点左边的点表示的数是点表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点和点表示的数； （2）根据点和点运动的速度，用表示出点和点表示的数，把时代入点和点表示的数，再根据两点间距离公式求出结果即可； （3）先用分别表示出、、、，再分别表示，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，， 所以点表示的数是，点表示的数是14． （2）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点、点表示的数分别为， 所以此时、两点间的距离为个单位长度． （3）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为． 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 当时，所以、两点间的距离为， 、两点间的距离为， 所以、两点间的距离与、两点间距离的差为． 69．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，列代数式，整式的加减，线段中点的有关计算，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； ②先求出，当动点M是线段的中点时，，列方程求解即可； ③将代入，根据整式的加减进行化简，即可解答． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 覆盖二十四数轴新定义 70．定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)9 (2)①；②4 (3)、、或 【分析】（1）根据、分别是多项式的一次项系数和次数，可得到的值 ，从而得到在数轴上所对应的点，进而得到的长度； （2）①由三个点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义，即可得到答案；②由点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可求出点在数轴上对应的数的个数； （3）由点是点的位置，根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：∵、分别是多项式的一次项系数和次数， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：①∵，， ∴ ∵根据题中“倍分点”的定义可得：点是点的“倍分点”， 故答案：． ②由题可得：，则设点坐标为， 当时，，则 解得：， 当时，，则 解得：， 综上所述：点在数轴上对应的数分别是、、、，共4个． 故答案为：4． （3）解：， 当点在点的左侧时， ∵点是点、的“倍分点”， ∴，， ∴此时点表示的数为， 当点在点、之间时， ∵点是点、的“倍分点” ∴此时点表示的数为， 当点在点的右侧时，有两种情况： ①当时，， ∴此时点表示的数为， ②当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为、、或． 【点睛】本题考查了数轴的应用，熟练掌握数轴上两点间的位置关系，能够理解题中的新定义“倍分点”，两者相结合进行根据情况分类讨论是解题的关键． 71．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是________，点与点之间的距离________； （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________．（不需要解答过程） 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）1，6；（2）①2，8，10；②的值不变，；③ 【分析】本题主要考查了实数和数轴，两点之间的距离，相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用数轴和两点之间的距离以及相反数的定义进行求解即可； （2）①利用数轴和两点之间的距离以及相反数的定义进行求解即可； ②利用数轴和两点之间的距离以及相反数的定义进行求解即可； ③利用数轴和两点之间的距离以及相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）由题易知，点表示的数是1，， 故答案为：1，6； （2）①由题可知和关于原点对称，点表示的数是， 表示的数是2， 点表示的数为5， ， ， 表示的数是， 线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②解：的值不变，，理由如下： 分类讨论， 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， 点与点位于点的两侧，且， ， ， 点表示的数是， ； 若，如图所示， 点与点位于点的两侧，且， ， ， 点表示的数是， ， 综上所述：； ③点表示的数是，则一次跳跃点表示的数是， 点与点位于点的两侧，且， 即点是的中点， 点表示的数是， 点表示的数是， ． 72．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 【答案】（1）点是点A，B的“关联点” 理由：点与点之间的距离为， 点与点之间的距离为， ∵ ∴点是点A，B的“关联点”； （2）①点所表示的数为0或或；②点所表示的数为8或14或5 【分析】本题主要考查了实数和数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分当点在点与点之间时和当点在点的左侧时两种情况进行讨论即可； ②分三种情况进行讨论，即当点分别为“关联点”的时候进行求解． 【详解】解：（1）略 （2）由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． ①当点在点与点之间时： 点与点之间的距离为， 或点与点之间的距离为， 所以此时点表示的数为或； 当点在点的左侧时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍． 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为0或或． ②当点为点A，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧，点在点的左侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，A的“关联点”时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍或， 又因为点在点的右侧， 所以此时点所表示的数为或． 综上可知，点所表示的数为8或14或5． 覆盖二十五方程新定义(选考) 73．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足关系式，则称方程与方程互为“双梅方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“双梅方程”． (1)请通过计算判断方程与方程是否互为“双梅方程”； (2)若关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”，求m的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，求n的值． 【答案】(1)否 (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，理解题意掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别求出方程与方程的解，再计算出，即可得出答案； （2）分别求出方程与方程的解，再根据即可列出关于的一元一次方程，解出方程即可得出答案； （3）分别求出方程与方程的解，再根据若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，则可列出关于的一元一次方程，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：， 解得． ， 解得． 因为， 所以方程与方程不互为“双梅方程”； （2）解：，     ， 解得 ， 解得， 因为关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”， 所以， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，的值为或； （3）解：， 解得， ， 解得， 要使对于任意实数，都有，即无解， 需让表达式与无关（否则随变化可能取到2)． 故令的系数为零：，即． 此时，，满足题意， 所以，． 74．如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或3 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据定义判断即可； （2）先求出的解，然后分两种情况求解即可； （3）先分别求出方程的解为，方程的解为，然后分两种情况，根据“整k倍”的定义求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，故①不是“整数”方程； ②， ， ， ， ，故②是“整数”方程； ③， ， ， ， ，故③是“整数”方程． 故答案为：②③； （2）解：， ， ， ， ， ， “整数”方程与关于y的“整数”方程是“整3倍”关系， 或， 当时，； 当时，，解得； 当时，代入，得， 解得； 当时，代入，得， 解得． 综上所述，或． （3）解：或3． 方程的解为， 方程的解为， ①当时， 为整数，，且m为整数， ， 解得或， ∵， ， 此时与，符合“整数”方程的定义，且为非零整数，符合要求； ②当时， 为整数，，且m为整数， ， 解得或， ∵， ， 此时与，符合“整数”方程的定义，且为非零整数，符合要求； 综上所述，或3． 75．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 【答案】(1)是 (2)2 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，解题的关键是理解“和谐方程”的定义以及一元一次方程的解是解题的关键． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出m的值即可； （3）先解出方程的解为，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为，代入方程，结合题意得到方程组，求出a与b的值，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得： ∵与3互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的方程是“和谐方程”， ∴，解得：． （3）解：解方程得：， ∵关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理得：， ∵无论m取任何有理数，上式都成立， ∴，，解得：，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一数轴表示数并比较大小与有理数分类 1．画出一条数轴，在数轴上表示下列各数3，，0，1.75，，并用“＜”连接各数． 2．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接． 3．把下列有理数填在相应的集合内： 3，，0，，0.45，，，，； 正有理数集合：{                      }； 负有理数集合：{                     }； 整数集合：{                          }． 覆盖二 有理数的混合运算 4．计算． (1)； (2)； (3) ； (4) 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 覆盖三 代数式的去括号化简 7．化简： (1)； (2) 8．化简： (1)； (2)． 9．化简： (1)； (2)． 覆盖四化简求值 10．先化简，再求值，其中，． 11．先化简，再求值：，其中． 12．若，满足，求的值． 覆盖五整式AB型加减 13．已知，． (1)求：． (2)若，，求的值． 14．已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 15．已知，（其中a，b为常数，且表示系数） (1)计算； (2)若不含二次项，求a的值； (3)若，且，求的值． 覆盖六解方程(选考) 16．解方程： (1) (2) 17．解方程： (1)； (2)； (3)． 18．解方程： (1) (2) 覆盖七相反数、绝对值、倒数的综合求值 19．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3，试求：的值． 20．已知：有理数m的绝对值是3，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，求代数式的值． 21．若a，b，c，d均为有理数，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，，求的值． 覆盖八绝对值与数轴的化简 22．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如与的距离可表示为，与的距离可表示为． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，则为 ； (3)数、、在数轴上对应的位置如图所示，化简． 23．已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出、对应的点，并将、、、用“”连接起来； (2)化简：． 24．已知数轴上点、、表示的数分别是有理数、、，在数轴上的位置如图所示： (1)若，，，将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． (2)若，化简． 覆盖九有理数混合运算的应用 25．某出租车驾驶员从公司出发，在南北方向的人民路上连续接送5位客人，规定向北为正方向，向南为负方向行驶记录如下（单位：）：，，，，． (1)接送完第5位客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车的计价标准为行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米元收费，求该驾驶员接送5名客人共收到车费多少元？ 26．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 27．2025年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机计划每人每天生产某种景观灯10盏，以便投入市场进行销售，但由于各种原因，实际每人每天生产景观灯数与计划每人每天生产景观灯数相比有出入，下表是该灯具厂某月（30天）的工人小吴每天生产情况（增产记为正，减产记为负）： 天数 增减（单位：盏） (1)求该灯具厂工人小吴这个月共生产景观灯多少盏？ (2)该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得元，若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励元，少生产一盏扣元，那么这个月该灯具厂工人小吴的工资总额是多少元？ 覆盖十代数式与图形结合求解 28．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“”型图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“”型图形的周长； (2)若此图作为某施工图，“”型图形的周边需围上单价为每米30元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米20元的栅栏．若，，请计算整个施工所需的造价． 29．如图，长方形是一个花园的示意图，阴影部分种向日葵，其他部分种月季花，其中花园的长为，宽为． (1)用含a和b的代数式表示种月季花部分的面积； (2)若，，种向日葵的费用为每平方米80元，求种向日葵需要的费用． 30．某校有一块两面靠墙的长方形种植基地，其内部规划出了三块扇形种植区域，分别种植生菜、番茄和薄荷，剩余阴影区域为鹅卵石路，具体如图所示．为获得三块种植区域的面积，小乐积极展开探究，测量得到生菜区扇形半径的长为a米，薄荷区扇形半径的长为b米． (1)番茄区扇形半径的长为______米．（用含a，b的代数式表示） (2)小乐发现的长是番茄区扇形半径的长的k倍，请求出k的值，并用代数式说明理由． (3)当米，米时，求鹅卵石路的面积．（结果保留π） 覆盖十一月历问题 31．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B， D上的数相乘， 位置A， E上的数相乘， 再相减， 例如∶ ， ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数与最大的数的乘积为161，请求出中间位置上的数a的值． 32．综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 33．综合与实践：在学习《整式的加减》时，我们探究了月历中数字之间的关系和变化规律．已知月历中同行的数从左向右依次递增1，同列的数从上向下依次递增7． 探究1：图1是某月的月历，现要探究带阴影的“口”字方框中的4个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，方框可以任意移动；小明是先假设左上角的数为，他通过计算发现斜对角的两个数字之和均为______，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和______（填“相等”或“不相等”）； 探究2：小明又探究了图2中带阴影的十字方框中的5个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，发现当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数，请你通过计算说明他的结论成立的理由； 覆盖十二 打折划算问题 34．某游乐场的门票为每张30元，元旦期间，游乐场新推出如图所示的A，B两类年票： 小颖的家离游乐场很近，她打算经常前去游玩，若她一年内去游乐场m次． (1)她有以下三种消费方式供选择： ①当不购买年票时，一年的费用为________元； ②当购买A类年票时，一年的费用为________元； ③当购买B类年票时，一年的费用为________元； (2)若她一年内每月去游乐场两次，请通过计算说明应选（1）中的哪种消费方式较划算？ (3)她打算购买一张年票，请结合（2）说明应选A，B哪类年票较划算？ 35．宏宇体育用品店在国庆假期期间对指定商品推出了以下两种优惠方案： 国庆大促销 方案一：买1个足球，赠送1根跳绳； 方案二：足球和跳绳一律九折优惠． 已知每个足球定价为30元，每根跳绳定价为5元． (1)小刚和同学们需买5个足球，x根跳绳（不少于5根），则两种优惠方案各需多少元（用含x的代数式表示）？ (2)当时，采用哪种方案更划算，请说明理由； (3)当时，采用哪种方案更划算，请说明理由． 36．艺术节期间，某班因表演节目的需要，准备采购部分表演服装和表演道具，班上几名班委干部到商场进行了实地考查，其中一家信誉较好的店铺报价为：每套服装卖100元，每件道具卖15元，给出的优惠方案如下：方案A，以原价购买，购买一套服装赠送两件道具；方案B，总价打8折，若该班级计划购买a套服装和b件道具（）． (1)请用含a，b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更划算呢？请通过计算进行说明； (3)当时，你能确定哪种方案更划算吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出当两种方案所花费用相同时b的值是多少？ 覆盖十三新定义计算 37．在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 38．同学们已经学习过有理数及其运算，我们现在定义一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请根据下面各式回答问题： 观察式子： (1)通过观察，请你补全定义内容 ；（用含的代数式表示） (2)计算 ； (3)如果，请求出的值． 39．定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 覆盖十四水、电费问题 40．某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电千瓦时，应交电费__________元，若月用电千瓦时，应交电费__________元； (2)若居民丁丁家12月用电量为千瓦时，请计算他们家12月应缴电费__________元（用含的代数式表示）： (3)若居民兰兰家11、12月份共用电千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时，求兰兰家11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 41．我国属于水资源缺乏的国家之一，节约用水，人人有责．某市为了强化公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水价格表如表所示（注：水费按月结算）． 每月用水量 单价 不超过 3元 超过不超过的部分 5元 超过的部分 8元 例如：若某户居民3月份用水，则应缴水费元； 若某户居民4月份用水，则应缴水费元； (1)若某户居民8月份用水，则应缴水费多少元？（列代数式表示，注意代数式的书写规范） ①当用水量不超过时，应缴水费__________元； ②当用水量超过不超过时，应缴水费__________元； ③当用水量超过时，应缴水费__________元； (2)若某户居民9月份用水，则应缴水费多少元？ 42．我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1.5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费______元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 覆盖十五代数式的规律问题 43．观察下列有规律的三行数： −2 4 −8 16 −32 64…； 0 6 −6 18 −30 66…； 0 12 −12 36 −60 132…； (1)第一行的第n个数是 ； (2)观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数； (3)在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由． 44．1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 45．综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 覆盖十六作差法比较大小 46．阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 47．对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 48．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】用上述方法，解决以下问题： （1）比较大小：　　　． （2）当时，比较与的大小，并说明理由． 【灵活运用】 （3）图（1）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的大正方形，此时正方形的面积为． ①请先判断与的大小关系，并说明理由； ②已知，，则与的大小关系为：　　　． 覆盖十七幻方问题 49．综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．李老师在数学活动课中带领同学探究课本页“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”（如图 2）， 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）给出一组数“”，观察发现这9个数与幻方图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”之间的关系是：_____________________． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． （3）根据以上探究过程，请将“”这9个数填入到幻方图4中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （4）如图5所示，标注了其中三个数的位置，请你用含有的代数式直接表示出幻方中的数． 50．材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 51．【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 覆盖十八代数式值的变化问题 52．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： … 0 1 2 … … 1 3 … … 5 3 1 … (1)根据表中信息可知：______，_______． (2)表中代数式值的变化规律是：的值每增加1，的值就增加2；类似地，代数式值的变化规律是：的值每增加1，值就_____． (3)请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加1，代数式的值就都减少3． 53．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 54．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题； (1)根据表中信息可知：______；______． (2)表中的值的变化规律：的值每增加，的值就增加2． 类似地，的值的变化规律：的值每增加，值就______． (3)①若一个含的多项式满足：的值每增加1，多项式的值就减小5，且当时，多项式的值为8．则这个多项式为______． ②当的值从增加到时，试通过计算说明关于的代数式（为一次项的系数，且）的变化规律． 覆盖十九代数式的整体思想 55．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 56．由合并同类项我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请灵活运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，化简______； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，． ①将第一个方程与第二个方程相加可得______． ②求的值． 57．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并________； (2)当时，代数式的值为；当时，求代数式的值； (3)已知，，求的值． 覆盖二十有理数的圈次方 58．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 59．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ______________=______________ （2）关于除方，下列说法正确的序号是 ①任何非零数的圈2次方都等于1 ②对于任何大于等于2的整数m， ③ ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→ 乘方的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________；_______ （4）计算： 60．概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作aⓝ，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：______，______， （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数， ； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：______（，为正整数；结果写成幂的形式）． （4）算一算：． 覆盖二十一整除问题 61．在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 62．【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 设是一个四位数，如果可以被3整除，那么这个数可以被3整除．为什么？ 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 63．材料一：若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为a、b、c，则通常记这个三位数为，即三位数． 材料二：试说明当能被3整除时，三位数能被3整除． 解：因为能被3整除，可设（其中k为正整数）， 因为 所以一定能被3整除． 【概念理解】 （1）三位数235_____________被3整除．（填“能”或“不能”） 【及时应用】 （2）已知一个三位数能被3整除，若是一个不大于500的数，则这个三位数为_____________． 【类比探究】 （3）当一个三位数能被7整除时，a、b、c应满足什么条件，试说明理由． 【解决问题】 （4）已知一个三位数，满足，且能被5和7整除，则这个三位数是_____________． 覆盖二十二代数式的新定义应用 64．定义：若，则称与是关于4的幸运数． (1)3与___________是关于4的幸运数；代数式___________与是关于4的幸运数； (2)若，，判断与是否是关于4的幸运数，说明理由． 65．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“涞水有理数对”，记作．例如：，因此数对是“涞水有理数对”． (1)数对，中，是“涞水有理数对”的是_____； (2)若是“涞水有理数对”，求的值； (3)若是“涞水有理数对”且代数式中不含的项，求的值． 66．定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 覆盖二十三数轴动点求t 67．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 68．【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 69．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 覆盖二十四数轴新定义 70．定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 71．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是________，点与点之间的距离________； （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________．（不需要解答过程） 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 72．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 覆盖二十五方程新定义(选考) 73．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足关系式，则称方程与方程互为“双梅方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“双梅方程”． (1)请通过计算判断方程与方程是否互为“双梅方程”； (2)若关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”，求m的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，求n的值． 74．如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 75．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $