第1讲 一元二次方程的概念及解法 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念及解法，系统梳理定义（含一般形式ax²+bx+c=0及系数含义）、解的概念，以及直接开平方法、因式分解法等核心知识点，构建从基础定义到解法应用的完整学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，典型例题结合几何背景（如三角形三边关系）培养推理意识，核心考点分类精讲并设创新题，知识总结表与复习建议助力系统巩固，体现数学眼光的抽象能力和数学思维的运算能力，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第1讲 一元二次方程的概念及解法 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）及各系数含义。 · 掌握一元二次方程的解（根）的概念，能利用根的定义求参数或代数式的值。 · 熟练运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，能根据方程特征选择合适解法。 · 能结合三角形三边关系、等腰三角形等几何背景，综合运用一元二次方程知识解决问题。 · 体会“整体代入”“换元”“分类讨论”等数学思想在解题中的应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 · 判断关键：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2；④ 二次项系数不为0。 ☑ 典型例题 1 （2024秋·丰南区期末）若方程 (a+3)− x = 2 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（　） A．﹣3   B．3   C．±3   D．不存在 【解析】 由一元二次方程定义，最高次数为2且二次项系数不为0。 ∴ |a|−1 = 2 且 a+3 ≠ 0，解得 a = 3（a = −3 时系数为0，舍去）。 答案：B ☆ 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。 · 将方程化为一般形式时，通常移项使右边为0，并按 x 的降幂排列。 · 二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 都包含符号。 ☑ 典型例题 2 （2025秋·汕尾期末）一元二次方程 5x2 − 4x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．5，4，﹣1   B．5，﹣4，1   C．﹣5，﹣4，1   D．﹣5，﹣4，﹣1 【解析】 对照一般形式 ax2+bx+c=0，a=5，b=−4，c=1。 答案：B ☆ 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 · 若 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0。 · 常利用根的定义“整体代入”求代数式的值。 ☑ 典型例题 3 （2026春·沙坪坝区校级期中）若 a 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2=0 的一个实数根，则代数式 2a2−6a+2031 的值是（　） A．2026   B．2027   C．2028   D．2029 【解析】 由根的定义得 a2−3a+2=0，即  a2−3a=−2。 原式 = 2( a2−3a)+2031 = 2×(−2)+2031 = 2027。答案：B ☆ 4. 直接开平方法 依据：平方根的定义。若 x2 = p（p ≥ 0），则 x = ±√p。 · 适用于形如 (mx+n)2 = p（p ≥ 0）的方程。 · 步骤：将方程化为 (x+h)2 = k 的形式，再开平方。 ☑ 典型例题 4 （2025秋·神木市期中）方程 (x−2)2 = 16 的解是（　） A．=1，=−3   B．==4   C．=−2，=6   D．=2，=−6 【解析】 直接开平方：x−2 = ±4，解得 =−2，=6。 答案：C ☆ 5. 因式分解法 依据：若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0。 · 将方程右边化为0，左边分解成两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 · 适用于左边易于分解的方程。 ☑ 典型例题 5 （2025秋·碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 x2−6x+8=0 的一个根，则此三角形的周长为（　） A．11   B．12   C．13   D．11或13 【解析】 因式分解得 (x−2)(x−4)=0，根为2或4。第三边为2时，2+3=5 < 6，不构成三角形；第三边为4时，3+4>6，符合。周长 = 3+6+4 = 13。 答案：C ☆ 知识总结表 核心概念 定义/形式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式、一个未知数、最高次数2、a≠0 一般形式 按 x 降幂排列，右边为0 系数包含符号，a≠0 方程的解（根） 使方程成立的未知数的值 代入验证；可整体代入求值 直接开平方法 (mx+n)2=p（p≥0） 注意 ± 号，p 非负 因式分解法 A·B=0 ⇒ A=0 或 B=0 右边先化为0，分解要彻底 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的定义（第1–6题） ※ 方法总结 · 判断一个方程是否为一元二次方程，需同时满足：整式、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。 · 含参数时，根据最高次数条件列方程，并验证二次项系数不为0。 1．（2025秋•泗水县期末）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0 C． D．x2+2y+6＝0 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【解答】A、ax2﹣2x+3＝0，该方程的未知数的二次项系数是a，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、x2+9＝0，该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、x2+2y+6＝0，该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 2．（2025春•界首市月考）已知（m﹣1）x|m+1|﹣5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D．1或﹣3 【分析】一般地，形如ax2+bc+c＝0（其中a、b、c是常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：由条件可知， ∴m＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025秋•遂川县期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x（x+2）＝1 D．x2（x﹣2﹣1）＝0 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【解答】解：A：方程不是整式方程，不符合定义，不符合题意； B：∵当a＝0时，方程变为一次方程，∴不一定是一元二次方程，不符合题意； C：化简得x2+2x﹣1＝0，符合题意； D：展开得x3﹣3x2＝0，最高次数为3，∴不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 4．（2026春•天长市期末）把关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”．比如2（x﹣2）2﹣4＝0与3（x﹣2）2﹣4＝0就是“同构二次方程”．已知两个关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”，则a﹣b＝　﹣6　 ． 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得m＝1，n＝﹣1，因此第二个方程可整理为（a+1）（x﹣1）2﹣1＝0，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解a，b，再计算a﹣b的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”，2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”， ∴方程（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0可化为方程（a+1）（x﹣1）2﹣1＝0， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝（a+1）（x﹣1）2﹣1， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝（a+1）x2﹣2（a+1）x+（a+1）﹣1， ∴， 解得：， a﹣b＝﹣2﹣4＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，单项式乘多项式，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 5．（2024秋•怀安县期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键． 6．（2023秋•宜州区期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵（m﹣1）x2+x﹣2＝0， ∴此方程是一元一次方程，则m﹣1＝0， 解得m＝1． 即m＝1时，此方程是一元一次方程； （2）∵（m﹣1）x2+x＝2＝0， 此方程是一元二次方程，则m﹣1≠0， 解得m≠1． 即m≠1时，此方程是一元一次方程． 【点评】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【考点2】一元二次方程的一般形式（第7–12题） ※ 方法总结 · 化一般形式时，移项使右边为0，按 x 的降幂排列。 · 二次项系数、一次项系数、常数项均带符号。 · 若常数项为0，则 c=0，注意二次项系数不为0。 7．（2024秋•万全区期末）把方程x（x+1）＝5（x﹣2）化成一般式，则a+b+c的值是（　　） A．﹣3 B．7 C．﹣5 D．1 【分析】先明确一元二次方程一般式的定义：我们把ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到a、b、c的值，求和即可． 【解答】解：原方程整理得x2+x﹣5x+10＝0． x2﹣4x+10＝0． 故：a＝1，b＝﹣4，c＝10． ∴a+b+c＝1﹣4+10＝7． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关键． 8．（2024•济南模拟）一元二次方程1＝2x﹣3x2的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 【分析】先把方程化为一元二次方程一般形式，然后根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义求解． 【解答】解：一元二次方程1＝2x﹣3x2化一般形式为3x2﹣2x+1＝0， 所以方程3x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣2，1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：正确理解一元二次方程的定义是解决问题的关键． 9．（2025秋•临沧月考）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+3x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【分析】根据题意可得k2﹣2k﹣3＝0且k+1≠0，继而求得答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+3x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项为0， ∴k2﹣2k﹣3＝0且k+1≠0， ∴（k﹣3）（k+1）＝0且k+1≠0， ∴k﹣3＝0． 解得k＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点． 10．（2025•江西模拟）对于一元二次方程x＝﹣2x2+1，若变形后二次项系数为4，则一次项系数为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为4，再找出一次项系数即可． 【解答】解：原方程整理得： 2x2+x﹣1＝0， 由条件可得：4x2+2x﹣2＝0， 所以一次项系数是2， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 11．（2025秋•金山区期中）关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣3x+m2＝16的常数项为0，则m的值是 　﹣4　 ． 【分析】首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，取舍得出m的值即可． 【解答】解：把（m﹣4）x2﹣3x+m2＝16变形为（m﹣4）x2﹣3x+m2﹣16＝0 把x＝0代入（m﹣4）x2﹣3x+m2﹣16＝0得m2﹣16＝0， ∴m2＝16， ∴m＝±4； ∵（m﹣4）x2﹣3x+m2﹣16＝0是一元二次方程， ∴m﹣4≠0， ∴m≠4． 综上，m的值是﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键． 12．（2025春•拱墅区校级月考）一元二次方程2x2﹣8x＝5化成一般形式后，二次项系数为　2　 ，一次项系数为　﹣8　 ，常数项为　﹣5　 ． 【分析】先将方程化为一般形式，即可求解． 【解答】解：将方程化成一般形式为：2x2﹣8x﹣5＝0， ∴a＝2，b＝﹣8，c＝﹣5． 故答案为：2，﹣8，﹣5． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 【考点3】一元二次方程的解（第13–19题） ※ 方法总结 · 将根代入方程，得到关于参数的方程（组），求解并验证。 · 利用根的定义进行“整体代入”求代数式的值。 · 注意“换元”技巧：若 ax2+bx+c=0 的根为 t0，则 a(x+k)2+b(x+k)+c=0 的根为 t0−k。 13．（2025•富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【分析】把m的值代入一元二次方程，得2m2﹣m的值，再整体代入得结论． 【解答】解：∵m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根， ∴2m2﹣m﹣3＝0，即2m2﹣m＝3． ∴﹣2m2+m＝﹣3． ∴2024﹣2m2+m＝2024﹣3＝2021． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的求值，掌握整体代入的思想方法和方程解的定义是解决本题的关键． 14．（2025秋•开鲁县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】转化成解a的一元一次方程求解． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义． 15．（2026春•槐荫区期末）若x＝1是一元二次方程x2+ax﹣10＝0的一个根，则a的值为（　　） A．9 B．10 C．﹣9 D．11 【分析】根据方程解的定义把x＝1代入方程求解，即可得到答案． 【解答】解：∵x＝1是一元二次方程的一个根， ∴12+a﹣10＝0， 解得a＝9． 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质是解题的关键． 16．（2025春•瑶海区校级期中）若一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 【分析】一元二次方程根的定义，由一元二次方程根的定义可得k2﹣4＝0，即得k＝±2，再根据k﹣2≠0即可求解． 【解答】解：由条件可知k2﹣4＝0， ∴k＝±2， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2026春•周村区期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据题意，把x＝2，代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果． 【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解， ∴22+2a﹣a＝0， ∴4+a＝0， ∴a＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 18．（2026•宿迁二模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　﹣2026　 ． 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得a2+a＝1，变形可得a1，再整体代入求值即可． 【解答】解：由题意可得：a2+a﹣1＝0，则a2+a＝1， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴a+10，即a1． ∴ ＝1+a2026 ＝﹣2025+a ＝﹣2025﹣1 ＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 19．（2026春•高新区校级期中）若x＝m是一元二次方程x2+3x+1＝0的解，则2022﹣3m2﹣9m的值为　2025　 ． 【分析】把x＝m代入方程x2+3x+1＝0中得：m2+3m+1＝0，从而可得m2+3m＝﹣1，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+3x+1＝0的解， ∴m2+3m+1＝0， ∴2022﹣3m2﹣9m ＝2022﹣3（m2+3m） ＝2022﹣3×（﹣1） ＝2022+3 ＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 【考点4】直接开平方法（第20–26题） ※ 方法总结 · 将方程化为 (x+h)2 = k（k ≥ 0）的形式。 · 开平方得 x+h = ±，再解两个一元一次方程。 · 若 k < 0，则方程无实数根（初中阶段）。 20．（2026春•西湖区校级期末）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21．（2025秋•大足区期末）方程（x﹣1）2＝1的解正确的是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝2，x2＝﹣1 【分析】利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【解答】解：直接开方法解方程可得： （x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝±1， ∴x1＝2，x2＝0． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 22．（2025秋•福田区期末）一元二次方程x2＝16的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x1＝4，x2＝﹣4 D．x1＝8，x2＝﹣8 【分析】形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．把方程两边开方即可． 【解答】解：x2＝16， x＝±4， 解得：x1＝4，x2＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握该方法是关键． 23．（2025春•金安区校级月考）若关于x的方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2，则方程（x+m）2+a＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝2　 ． 【分析】将方程 （x+m）2+a＝0 变形为 （x﹣m）2+a＝0 相同的形式，再换元求解即可． 【解答】解：方程 （x+m）2+a＝0 变形为 （﹣x﹣m）2+a＝0，看作关于﹣x的方程， ∵方程 （x﹣m）2+a＝0 （a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2， ∴﹣x1＝4，﹣x2＝﹣2， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣4，x2＝2． 【点评】本题考查直接开平方解一元二次方程的解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． 24．（2025秋•武汉期末）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是3，则常数c的值是　9　 ． 【分析】将x＝3代入原式即可求出c的值． 【解答】解：将x＝3代入x2﹣c＝0， ∴9﹣c＝0， ∴c＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 25．（2026春•蒙城县月考）已知方程（x+1）2＝9的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则　．　 ． 【分析】运用直接开平方法求出x1＝2，x2＝﹣4，从而求出． 【解答】解：直接开平方可得： x+1＝±3， ∵x1＞x2， ∴x1＝2，x2＝﹣4， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2024秋•城关区校级期末）解方程：4（x+1）2﹣8＝0． 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， 4（x+1）2﹣8＝0， 4（x+1）2＝8， （x+1）2＝2， 则x+1， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【考点5】因式分解法（第27–34题） ※ 方法总结 · 移项使右边为0，将左边分解为两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 · 注意结合几何背景（如三角形三边关系）对根进行取舍。 27．（2026春•成武县期末）若（x+1）（x+4）＝0，则计算（x+2）（x+3）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】由（x+1）（x+4）＝0，整理得到x2+5x＝﹣4，利用多项式乘多项式法则得到（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，整体代入计算即可． 【解答】解：∵（x+1）（x+4）＝0 ∴x2+5x+4＝0， ∴x2+5x＝﹣4， 则（x+2）（x+3） ＝x2+3x+2x+6 ＝x2+5x+6 ＝﹣4+6 ＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，多项式乘多项式，方程变形得到x2+5x＝﹣4是解题的关键． 28．（2025秋•滨湖区期末）一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2＝3x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， 则x﹣3＝0或x＝0， 所以x1＝3，x2＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 29．（2026春•龙口市期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．26 B．16 C．28 D．16或26 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【解答】解：原方程因式分解得（x﹣12）（x+2）＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣2， ∵三角形边长为正数， ∴第三边长为12， ∵6+8＞12，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为6+8+12＝26． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2026•建邺区一模）方程x（x﹣2）＝x的根是（　　） A．2 B．0 C．0或2 D．0或3 【分析】先把右边的x移到左边，然后再利用因式分解法解出x即可． 【解答】解：移项可得： x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x1＝0，x2＝3， 故选：D． 【点评】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 31．（2024秋•望奎县校级月考）方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 　12　 ． 【分析】因式分解法解方程求得x的值，再根据三角形三边的关系判断能否构成三角形，继而可得其周长． 【解答】解：x2﹣7x+12＝0， （x﹣2）（x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得：x＝2或x＝5， 当2为等腰三角形的底，5为三角形的腰，则5+2＞5，可以构成三角形，此时周长为12； 当5为等腰三角形的底，2为三角形的腰，则2+2＜5，不能构成三角形，舍去； 故答案为：12． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 32．（2025秋•丹阳市校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a+2b+c＝0，且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　1或2　 ． 【分析】根据题意得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，再结合“同伴方程”的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a+2b+c＝0， 所以此方程的两个实数根为x1＝1，x2＝2． 又因为该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”， 且方程（x+2）（x﹣n）＝0的两个实数根为x＝﹣2或x＝n， 则n＝1或2． 故答案为：1或2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及一元二次方程的解，理解题中“同伴方程”的定义是解题的关键． 33．（2025秋•奈曼旗期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 34．（2026•鼓楼区二模）解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣3﹣x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （2）3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣3﹣x）＝0， x﹣1＝0或3x﹣3﹣x＝0， 所以x1＝1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【考点6】创新及压轴题（第35–38题） ※ 方法总结 · 含绝对值的一元二次方程：分段讨论，去掉绝对值。 · “牵手方程”“同伴方程”：理解新定义，转化为方程根的关系。 · 与几何综合：利用根的定义和三角形三边关系等几何性质。 · 拆项、分组分解：灵活变形，构造公因式。 35．（2024秋•天门校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0．若该方程有一根为1，求m的值和该方程的另一个根． 【分析】先将方程的根代入方程，求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出方程的根即可． 【解答】解：设方程的另一个根为a， ∵方程的一个根为1， ∴12﹣（m+2）×1+2m﹣1＝0， 解得，m＝2； ∴原方程可化为：x2﹣4x+3＝0， ∴1+a＝﹣（﹣4）， ∴a＝3 ∴方程的另一个根为3． 【点评】本题主要考一元二次方程的解的知识，解题的关键是代入后正确的求得m的值． 36．阅读下面的例题．例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． 当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照例题解方程x2﹣|4x﹣1|﹣6＝0． 【分析】根据题目中的例子，利用分类讨论的方法解答即可． 【解答】解：x2﹣|4x﹣1|﹣6＝0， 当4x﹣1≥0，即x时，原方程化为x2﹣（4x﹣1）﹣6＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． 当4x﹣1＜0，即x时，原方程化为x2﹣（1﹣4x）﹣6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣2（不合题意，舍去）． 故原方程的根是x1＝5，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号． 37．（2024秋•成都期末）（1）计算：； （2）解方程：x2+8x﹣9＝0． 【分析】（1）分别化简算术平方根、零指数幂、绝对值、负整数指数幂，即可求得答案； （2）利用配方法即可求得一元二次方程解． 【解答】解：（1）原式＝3﹣1+22 ＝2； （2）x2+8x﹣9＝0， ∴x2+8x＝9， ∴x2+8x+16＝9+16， ∴（x+4）2＝25， ∴x+4＝5或x+4＝﹣5， ∴x1＝1，x2＝﹣9． 【点评】本题考查了零指数幂、绝对值的性质、负整数指数幂、算术平方根、因式分解法、配方法解一元二次方程式，熟练掌握以上方法是解题的关键． 38．（2025秋•前郭县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【解答】解：（1）原方程配方得：x2﹣8x+16＝4， （x﹣4）2＝4， x﹣4＝±2， x1＝6，x2＝2； （2）原方程因式分解可得： （x﹣3）[（x﹣3）﹣2x]＝0， （x﹣3）（﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0， x1＝3，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【考点6】创新及压轴题（第35–38题） ※ 方法总结 · 含绝对值的一元二次方程：分段讨论，去掉绝对值。 · “牵手方程”“同伴方程”：理解新定义，转化为方程根的关系。 · 与几何综合：利用根的定义和三角形三边关系等几何性质。 · 拆项、分组分解：灵活变形，构造公因式。 随堂检测 · 精选练习 练习1 一元二次方程的一般形式练习2 一元二次方程的定义 练习3 一元二次方程的解（整体代入）练习4 直接开平方法 【练习1】（2024秋•成都期末）一元二次方程3x2﹣x+1＝0的二次项系数和常数项分别是（　　） A．3，1 B．﹣1，1 C．3，﹣1 D．1，﹣1 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，且a≠0）．在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式的概念，即可判断答案． 【解答】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确理解一元二次方程的二次项系数和常数项是解题的关键． 【练习2】（2025春•呈贡区校级期末）已知方程（k+1）x|k|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．0 【分析】根据一元二次方程的概念得到k+1≠0且|k|+1＝2，进而求解即可． 【解答】解；由条件可知k+1≠0且|k|+1＝2， ∴k≠﹣1且k＝±1， ∴k＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【练习3】（2026•德阳模拟）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　2024　 ． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0， 所以m2﹣m＝1， 所以2025﹣m2+m＝2025﹣（m2﹣m）＝2025﹣1＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【练习4】（2026•红花岗区模拟）一元二次方程7x2﹣28＝0的解为x1＝﹣2，x2＝2　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以7，最后把方程两边同时开平方即可得到答案． 【解答】解：移项可得：7x2＝28， ∴x2＝4， 直接开平方可得： x1＝﹣2，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 一元二次方程的系数识别作业2 一元二次方程的定义判断 作业3 一元二次方程的定义判断作业4 一元二次方程的解（求值） 作业5 一元二次方程的解（换元）作业6 “牵手方程”新定义 作业7 因式分解法解方程作业8 因式分解法解方程 作业9 一元二次方程与几何综合作业10 因式分解法（含绝对值） ❤ 复习建议 夯实定义： 一元二次方程的定义是根基，务必牢记“整式、一个未知数、最高次数2、a≠0”四个条件，含参数问题要优先验证二次项系数。 规范化简： 化一般形式时，移项、合并、按降幂排列，注意系数的符号，避免“丢负号”的失误。 灵活选法： 解方程时先观察方程特征：形如 (x+h)2=k 用直接开平方法；左边易分解用因式分解法；两者都不适用再考虑配方法或公式法。 整体思想： 遇到“根”的问题，优先考虑整体代入，将代数式转化为已知的方程关系式，减少计算量。 分类讨论： 含绝对值或参数的问题，要按不同情况分类讨论，并验证解的合理性（如三角形三边关系）。 【作业1】（2025秋•汉阳区期中）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x．根据此问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（　　） A．x2+x﹣1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2﹣3x+1＝0 D．x2+3x﹣1＝0 【分析】较短一段的长x，则较长的一段长为1﹣x，根据较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方列出方程，整理成一般式即可． 【解答】解：设较短一段的长x，则较长的一段长为1﹣x， 根据题意得：x×1＝（1﹣x）2， 整理得：x2﹣3x+1＝0， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是找到等量关系列出方程． 【作业2】（2026•泸县校级一模）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．x+y2＝﹣2 C．x2+2x＝x2﹣1 D．x2＝7x 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、3x+2＝0的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、x+y2＝﹣2有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、未知数的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、x2＝7x是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握该知识点是关键． 【作业3】（2026•海门区校级模拟）下列方程中，一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy+5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．（x﹣1）（x+2）＝0， 整理得：x2+x﹣2＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．3x2﹣2xy+5y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 【作业4】（2026•钟楼区校级一模）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或﹣10 【分析】把x＝a代入关于x的一元二次方程，然后利用等式的性质得到代数式a2+3a的值． 【解答】解：把x＝a代入方程x2+3x+2＝0得a2+3a+2＝0， 所以a2+3a＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【作业5】（2025秋•沛县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【作业6】（2026•朝阳区校级模拟）小明在解方程【作业6】（2026•朝阳区校级模拟）小明在解方程x2＝5x时，只得出一个根是x＝5，则被他漏掉的一个根是x＝0　 ． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：原方程移项可得：x2﹣5x＝0， 因式分解，得x（x﹣5）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， 解得x＝0或x＝5， ∴被漏掉的一个根是x＝0． 故答案为：x＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 【作业7】（2025秋•秦淮区期末）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 【作业8】（2026春•罗湖区校级期末）解方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）（x+1）2+2（x+1）＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4； （2）（x+1）2+2（x+1）＝0， （x+1）（x+3）＝0， 则x+1＝0或x+3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣3． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【作业9】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB的长是方程x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）线段CN＝　3　 ； （2）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根， ∴AB＝6，AB＝﹣3（舍去）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°， ∵∠DBC＝30°， ∴BD＝2CD＝12，BCCD＝6， ∵∠DBC＝30°，CN⊥BD， ∴CNBC＝3， 故答案为：3； （2）如图，过点P作PE⊥BC于点E， 当PN＝PM＝9﹣2t时， ∵PM2＝MH2+PH2， ∴（9﹣2t）2＝（t）2+（12﹣2tt）2， ∴t＝3或t， ∴BP＝6或， 当BP＝6时， ∵∠DBC＝30°，PE⊥BC， ∴PEBP＝3，BEPE＝3， ∴点P（3，3）， 当BP时， 同理可求点P（，）， 当PN＝NM＝9﹣2t时， ∵NM2＝MH2+NH2， ∴（9﹣2t）2＝（t）2+（t﹣3）2， ∴t＝3或24（不合题意舍去）， ∴BP＝6， ∴点P（3，3）， 综上所述：点P坐标为（3，3）或P（，）． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【作业10】（2025秋•宝安区期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程x2+2x﹣3＝0即x（x+2）＝3的正根． 方法（I）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2＝3×4+22，解得正根x＝1　 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：　（x+1）2＝3+12 ，解得正根x＝1　 ； （2）实际上，对关于x的方程x（x+m）＝n，可以用方法（I）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n＝　5　 ，求得方程的正根为x＝1　 ； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x＝3的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程：　（2x）2＝4（）2 ，解得正根为x　 ． 【分析】方法（I）根据（x+x+2）2＝3×4+22结合图象，得出正根x＝1； （1）解（x+1）2＝3+12得到正根x＝1； （2）根据每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36，求解即可； （3）结合（1）（2）的启发得出． 【解答】解：方法（I）∵（x+x+2）2＝3×4+22， ∴说明一个矩形的面积是3，正方形的边长是2， ∴x＝1， 故答案为：x＝1； （1）∵（x+1）2＝3+12，解得正根x＝1， 故答案为：x＝1； （2）∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴n＝5， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长x+x+4＝6， ∴x＝1， ∴方程的正根为x＝1， 故答案为：5，x＝1； （3）①∵2x2+5x＝3， ∴x（x）， ∴图中四个完全相同的矩形边长如图，面积为， ②根据图5，得出新方程 4 ∵方程的右边， ∵（）2 ∴2x＝1， ∴x． 【点评】本题考查了利用构图法求一元二次方程的正根，用这种方法能直观的得出正根，但是对于系数是分数的就很麻烦，用求根公式，配方法解更方便． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 一元二次方程的概念及解法 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）及各系数含义。 · 掌握一元二次方程的解（根）的概念，能利用根的定义求参数或代数式的值。 · 熟练运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，能根据方程特征选择合适解法。 · 能结合三角形三边关系、等腰三角形等几何背景，综合运用一元二次方程知识解决问题。 · 体会“整体代入”“换元”“分类讨论”等数学思想在解题中的应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 · 判断关键：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2；④ 二次项系数不为0。 ☑ 典型例题 1 （2024秋·丰南区期末）若方程 (a+3)− x = 2 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（　） A．﹣3   B．3   C．±3   D．不存在 【解析】 由一元二次方程定义，最高次数为2且二次项系数不为0。 ∴ |a|−1 = 2 且 a+3 ≠ 0，解得 a = 3（a = −3 时系数为0，舍去）。 答案：B ☆ 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。 · 将方程化为一般形式时，通常移项使右边为0，并按 x 的降幂排列。 · 二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 都包含符号。 ☑ 典型例题 2 （2025秋·汕尾期末）一元二次方程 5x2 − 4x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．5，4，﹣1   B．5，﹣4，1   C．﹣5，﹣4，1   D．﹣5，﹣4，﹣1 【解析】 对照一般形式 ax2+bx+c=0，a=5，b=−4，c=1。 答案：B ☆ 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 · 若 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0。 · 常利用根的定义“整体代入”求代数式的值。 ☑ 典型例题 3 （2026春·沙坪坝区校级期中）若 a 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2=0 的一个实数根，则代数式 2a2−6a+2031 的值是（　） A．2026   B．2027   C．2028   D．2029 【解析】 由根的定义得 a2−3a+2=0，即  a2−3a=−2。 原式 = 2( a2−3a)+2031 = 2×(−2)+2031 = 2027。答案：B ☆ 4. 直接开平方法 依据：平方根的定义。若 x2 = p（p ≥ 0），则 x = ±√p。 · 适用于形如 (mx+n)2 = p（p ≥ 0）的方程。 · 步骤：将方程化为 (x+h)2 = k 的形式，再开平方。 ☑ 典型例题 4 （2025秋·神木市期中）方程 (x−2)² = 16 的解是（　） A．=1，=−3   B．==4   C．=−2，=6   D．=2，=−6 【解析】 直接开平方：x−2 = ±4，解得 =−2，=6。 答案：C ☆ 5. 因式分解法 依据：若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0。 · 将方程右边化为0，左边分解成两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 · 适用于左边易于分解的方程。 ☑ 典型例题 5 （2025秋·碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 x2−6x+8=0 的一个根，则此三角形的周长为（　） A．11   B．12   C．13   D．11或13 【解析】 因式分解得 (x−2)(x−4)=0，根为2或4。第三边为2时，2+3=5 < 6，不构成三角形；第三边为4时，3+4>6，符合。周长 = 3+6+4 = 13。 答案：C ☆ 知识总结表 核心概念 定义/形式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式、一个未知数、最高次数2、a≠0 一般形式 按 x 降幂排列，右边为0 系数包含符号，a≠0 方程的解（根） 使方程成立的未知数的值 代入验证；可整体代入求值 直接开平方法 (mx+n)2=p（p≥0） 注意 ± 号，p 非负 因式分解法 A·B=0 ⇒ A=0 或 B=0 右边先化为0，分解要彻底 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的定义（第1–6题） ※ 方法总结 · 判断一个方程是否为一元二次方程，需同时满足：整式、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。 · 含参数时，根据最高次数条件列方程，并验证二次项系数不为0。 1．（2025秋•泗水县期末）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0 C． D．x2+2y+6＝0 2．（2025春•界首市月考）已知（m﹣1）x|m+1|﹣5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D．1或﹣3 3．（2025秋•遂川县期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x（x+2）＝1 D．x2（x﹣2﹣1）＝0 4．（2026春•天长市期末）把关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”．比如2（x﹣2）2﹣4＝0与3（x﹣2）2﹣4＝0就是“同构二次方程”．已知两个关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”，则a﹣b＝　 　 ． 5．（2024秋•怀安县期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 6．（2023秋•宜州区期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【考点2】一元二次方程的一般形式（第7–12题） ※ 方法总结 · 化一般形式时，移项使右边为0，按 x 的降幂排列。 · 二次项系数、一次项系数、常数项均带符号。 · 若常数项为0，则 c=0，注意二次项系数不为0。 7．（2024秋•万全区期末）把方程x（x+1）＝5（x﹣2）化成一般式，则a+b+c的值是（　　） A．﹣3 B．7 C．﹣5 D．1 8．（2024•济南模拟）一元二次方程1＝2x﹣3x2的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 9．（2025秋•临沧月考）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+3x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 10．（2025•江西模拟）对于一元二次方程x＝﹣2x2+1，若变形后二次项系数为4，则一次项系数为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 11．（2025秋•金山区期中）关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣3x+m2＝16的常数项为0，则m的值是 　 　 ． 12．（2025春•拱墅区校级月考）一元二次方程2x2﹣8x＝5化成一般形式后，二次项系数为　 　 ，一次项系数为　 　 ，常数项为　 　 ． 【考点3】一元二次方程的解（第13–19题） ※ 方法总结 · 将根代入方程，得到关于参数的方程（组），求解并验证。 · 利用根的定义进行“整体代入”求代数式的值。 · 注意“换元”技巧：若 ax2+bx+c=0 的根为 t0，则 a(x+k)2+b(x+k)+c=0 的根为 t0−k。 13．（2025•富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 14．（2025秋•开鲁县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 15．（2026春•槐荫区期末）若x＝1是一元二次方程x2+ax﹣10＝0的一个根，则a的值为（　　） A．9 B．10 C．﹣9 D．11 16．（2025春•瑶海区校级期中）若一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 17．（2026春•周村区期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 18．（2026•宿迁二模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 19．（2026春•高新区校级期中）若x＝m是一元二次方程x2+3x+1＝0的解，则2022﹣3m2﹣9m的值为　 　 ． 【考点4】直接开平方法（第20–26题） ※ 方法总结 · 将方程化为 (x+h)2 = k（k ≥ 0）的形式。 · 开平方得 x+h = ±，再解两个一元一次方程。 · 若 k < 0，则方程无实数根（初中阶段）。 20．（2026春•西湖区校级期末）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 21．（2025秋•大足区期末）方程（x﹣1）2＝1的解正确的是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝2，x2＝﹣1 22．（2025秋•福田区期末）一元二次方程x2＝16的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x1＝4，x2＝﹣4 D．x1＝8，x2＝﹣8 23．（2025春•金安区校级月考）若关于x的方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2，则方程（x+m）2+a＝0的解是 　 　 ． 24．（2025秋•武汉期末）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是3，则常数c的值是　 　 ． 25．（2026春•蒙城县月考）已知方程（x+1）2＝9的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则　 　 ． 26．（2024秋•城关区校级期末）解方程：4（x+1）2﹣8＝0． 【考点5】因式分解法（第27–34题） ※ 方法总结 · 移项使右边为0，将左边分解为两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 · 注意结合几何背景（如三角形三边关系）对根进行取舍。 27．（2026春•成武县期末）若（x+1）（x+4）＝0，则计算（x+2）（x+3）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 28．（2025秋•滨湖区期末）一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 29．（2026春•龙口市期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．26 B．16 C．28 D．16或26 30．（2026•建邺区一模）方程x（x﹣2）＝x的根是（　　） A．2 B．0 C．0或2 D．0或3 31．（2024秋•望奎县校级月考）方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 　 　 ． 32．（2025秋•丹阳市校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a+2b+c＝0，且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 33．（2025秋•奈曼旗期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 34．（2026•鼓楼区二模）解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）． 【考点6】创新及压轴题（第35–38题） ※ 方法总结 · 含绝对值的一元二次方程：分段讨论，去掉绝对值。 · “牵手方程”“同伴方程”：理解新定义，转化为方程根的关系。 · 与几何综合：利用根的定义和三角形三边关系等几何性质。 · 拆项、分组分解：灵活变形，构造公因式。 35．（2024秋•天门校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0．若该方程有一根为1，求m的值和该方程的另一个根． 36．阅读下面的例题．例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． 当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照例题解方程x2﹣|4x﹣1|﹣6＝0． 37．（2024秋•成都期末）（1）计算：； （2）解方程：x2+8x﹣9＝0． 38．（2025秋•前郭县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 【考点6】创新及压轴题（第35–38题） ※ 方法总结 · 含绝对值的一元二次方程：分段讨论，去掉绝对值。 · “牵手方程”“同伴方程”：理解新定义，转化为方程根的关系。 · 与几何综合：利用根的定义和三角形三边关系等几何性质。 · 拆项、分组分解：灵活变形，构造公因式。 随堂检测 · 精选练习 练习1 一元二次方程的一般形式练习2 一元二次方程的定义 练习3 一元二次方程的解（整体代入）练习4 直接开平方法 【练习1】（2024秋•成都期末）一元二次方程3x2﹣x+1＝0的二次项系数和常数项分别是（　　） A．3，1 B．﹣1，1 C．3，﹣1 D．1，﹣1 【练习2】（2025春•呈贡区校级期末）已知方程（k+1）x|k|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．0 【练习3】（2026•德阳模拟）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　 　 ． 【练习4】（2026•红花岗区模拟）一元二次方程7x2﹣28＝0的解为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 一元二次方程的系数识别作业2 一元二次方程的定义判断 作业3 一元二次方程的定义判断作业4 一元二次方程的解（求值） 作业5 一元二次方程的解（换元）作业6 “牵手方程”新定义 作业7 因式分解法解方程作业8 因式分解法解方程 作业9 一元二次方程与几何综合作业10 因式分解法（含绝对值） ❤ 复习建议 夯实定义： 一元二次方程的定义是根基，务必牢记“整式、一个未知数、最高次数2、a≠0”四个条件，含参数问题要优先验证二次项系数。 规范化简： 化一般形式时，移项、合并、按降幂排列，注意系数的符号，避免“丢负号”的失误。 灵活选法： 解方程时先观察方程特征：形如 (x+h)2=k 用直接开平方法；左边易分解用因式分解法；两者都不适用再考虑配方法或公式法。 整体思想： 遇到“根”的问题，优先考虑整体代入，将代数式转化为已知的方程关系式，减少计算量。 分类讨论： 含绝对值或参数的问题，要按不同情况分类讨论，并验证解的合理性（如三角形三边关系）。 【作业1】（2025秋•汉阳区期中）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x．根据此问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（　　） A．x2+x﹣1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2﹣3x+1＝0 D．x2+3x﹣1＝0 【作业2】（2026•泸县校级一模）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．x+y2＝﹣2 C．x2+2x＝x2﹣1 D．x2＝7x 【作业3】（2026•海门区校级模拟）下列方程中，一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy+5y2＝0 【作业4】（2026•钟楼区校级一模）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或﹣10 【作业5】（2025秋•沛县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【作业6】（2026•朝阳区校级模拟）小明在解方程x2＝5x时，只得出一个根是x＝5，则被他漏掉的一个根是　 　 ． 【作业7】（2025秋•秦淮区期末）方程x2＝x的解是 　 　 ． 【作业8】（2026春•罗湖区校级期末）解方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）（x+1）2+2（x+1）＝0． 【作业9】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB的长是方程x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）线段CN＝　 　 ； （2）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【作业10】（2025秋•宝安区期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程x2+2x﹣3＝0即x（x+2）＝3的正根． 方法（I）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2＝3×4+22，解得正根　 　 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：　 　 ，解得正根　 　 ； （2）实际上，对关于x的方程x（x+m）＝n，可以用方法（I）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n＝　 　 ，求得方程的正根为　 　 ； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x＝3的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程：　 　 ，解得正根为　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $