第1讲 一元二次方程的应用 同步培优讲义 2026年秋季人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的应用，系统梳理增长率、传播、营销、图形及动态几何五大题型。每个题型以“基本公式—解题步骤—实际问题分析”为支架，从理论公式（如增长率N=a(1+x)ⁿ）到方程建立与求解，再到情境关键分析（如区分累计与单次增长），构建完整知识脉络。 资料特色在于以真实情境（如头盔销量、流感传播）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力。通过“示例—变式”分层设计，强化数学思维中的推理能力，如传播问题中建立方程解决传染人数问题。课后练习覆盖多样题型，辅助学生巩固模型意识，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

第1讲 一元二次方程的应用 典 型 例 题 题型 利用一元二次方程解决增长率问题 1 一、增长率问题的基本公式 增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中： a 表示初始量（基期量）； x 表示平均增长率（通常设为未知数）； n 表示增长次数（如年数、周期数）； N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。 若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。 二、一元二次方程的建立与求解 当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。 步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或因式分解法求解。 注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。 三、实际问题中的关键分析 明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。 区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。 单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。 1 例 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）．∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 1-1 变式变式 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元，故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 1-2 变式变式 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，，解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，，∴解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 1-3 变式变式 为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； (2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为， 依题意，得，解得（舍去）， ∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为； （2）解：设该市在2025年可以给个社区建设微型图书阅览室， 依题意，得，解得，∵为正整数， ∴该市在2025年最多可以给个社区建设微型图书阅览室． 题型 利用一元二次方程解决传播问题 2 一、传播问题的基本模型与公式 传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中： a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）； k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）； n 为传播的轮数； N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程 a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。 二、一元二次方程的构建与求解要点 在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。 三、实际应用中的关键分析 区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。 挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。 注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。 2 例 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出8个小分支 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去），∴答：每支支干长出8个小分支． 2-1 变式变式 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人 (2)第三轮传染后共有人患流感 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人，根据题意可得：， 解得：或（舍去），答：每轮传染中平均一个人传染了个人． （2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 答：第三轮传染后共有人患流感． 2-2 变式变式 据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）；答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 2-3 变式变式 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 【答案】(1)3；10； (2)8人 (3) (4)10 【详解】（1）解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟人握手，∴共握手次． 故答案为：3；10； （2）解：依题意，得：，整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）．答：参加聚会的人数为8人． （3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B），∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． （4）解：根据题意得，，解得．即边数n的值为10． 题型 利用一元二次方程解决营销问题 3 一、利润问题的基本数量关系 营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。 二、一元二次方程的建立与求解 根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。 三、实际问题中的变量分析 要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。 3 例 在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件． (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率． (2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【详解】（1）解：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，则， ，（舍），答：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设降y元，则，， ，方程无实数解，答：所以七月份的利润不能达到8000元． 3-1 变式变式 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售个，3月份销售个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为元时，月销售量为个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少个，在尽量让利消费者的情况下，经销商想获利元，则每个头盔的售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)每个头盔的售价应定为元 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意可得， 解得（舍去），答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）设每个头盔的售价定为元，则销售量为个， 由题意可得，整理得 解得． 要尽量让利消费者，．答：每个头盔的售价应定为60元． 3-2 变式变式 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低27元 【详解】（1）设平均下降率为x，依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）．答：平均下降率为； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：，整理得：，解得：，． ∵要减少库存，∴．答：单价应降低27元． 3-3 变式变式 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． (1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 (2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为10% (2)每千克甜瓜应涨价5元 【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，， 解之得(不合题意，舍去)，答∶集体经济收入的年平均增长率为； （2）解：设每千克甜瓜应涨价y元，，解之得， ∵要使顾客得到实惠，∴，答∶每千克甜瓜应涨价5元． 题型 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 4 一、图形面积的基本公式与变形 解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积S = 长×宽，正方形面积S = 边长×边长，三角形面积S=×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依据。 二、一元二次方程的构建与求解 根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。 三、图形问题中的几何关系分析 解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。 4 例 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【详解】解：设道路的宽为，根据题意列方程得：， 解得：或（舍去），答：道路的宽为． 4-1 变式变式 如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为． (1)若面积，求的长； (2)能围成面积为的矩形吗？说明理由． 【答案】(1)的长为或． (2)不能．理由见解析． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边为，则其对边也为，余下的一条边长为，矩形面积 ．∴当 S = 48 时，即 ，解得或 ， ∴的长为或． （2）解：不能，理由如下：由（1）可知当 时，可得方程 化简得：∴ 无实数解，故无法围成面积为 58 的矩形． 4-2 变式变式 如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米，故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，∴，化简得：， 解得：，，∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米，则， 根据题意可得：，整理得：，∵， ∴方程无解，∴建成花圃的面积不可能为平方米． 4-3 变式变式 如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． (1)的长为多少米？（用含的代数式表示） (2)若矩形花园的面积为，求的长． (3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不可能，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意，知，长为，的长为； （2）解：由题意知，，即，解得，又，即， ，由题意，知，即，整理，得， 解得（不合题意，舍去），，的长为； （3）解：不可能，理由：由题意，得，整理，得， ，该方程没有实数根，矩形花园的面积不可能达到． 题型 利用一元二次方程解决动态几何问题 5 一、动态几何中的变量关系与公式 动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度v运动，运动时间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量的等式。 二、一元二次方程的建立与求解策略 根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 = c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。 三、动态过程中的几何性质应用 要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。 5 例 如图，在矩形中，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以的速度向点D移动． (1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是？ (2)P，Q两点运动多长时间，四边形的面积为？ 【答案】(1)P，Q两点运动或时，点P和点Q的距离是 (2)P，Q两点运动时，四边形的面积为 【详解】（1）解：过点Q作于点E． 设P，Q两点运动到时，点P和点Q的距离是， 根据题意，得，整理，得， 解得， 答：P，Q两点运动或时，点P和点Q的距离是； （2）设P，Q两点运动时，四边形的面积为． 根据题意，得，解得． 答：P，Q两点运动时，四边形的面积为． 5-1 变式变式 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒， (1)点P，Q之间的距离为？ (2)的面积等于？ 【答案】(1)秒或2秒 (2)2秒或4秒 【详解】（1）解：设经过秒、之间距离等于，由题意可得，，，可得：，整理得，解得：，， 经检验，，均符合题意，故经过秒或2秒、之间距离等于； （2）解：设经过秒的面积等于，由题意可得，， ，解得：，，经检验，，均符合题意， 故经过2秒或4秒，的面积等于． 5-2 变式变式 在中，，，． (1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______． (2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？ (3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒 【详解】（1）解：∵在中，，，，∴， ∴，∴，，∴；故答案为：． （2）设经过t秒，的面积等于．由题意，得， 化简，得，解得，． 答：经过秒或秒，的面积等于． （3）如图，连接，过点Q作于点H． ∵，，∴．∵， ∴当的面积等于时，，即， 整理，得，解得．答：经过秒，的面积等于． 5-3 变式变式 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，， ，， 当时，四边形为矩形，∴，解得：，故当时，四边形为矩形； （2）解：，，∴，即， ∵，四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，，∴此时，解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在；理由如下： 过作，交于，如图所示： 则，∵， 四边形是矩形，，， ， 矩形中，∴为直角三角形， ，，，即： ，，此方程无实数根， 不存在某一时刻使得； （4）解：如图所示， 根据折叠可知：， ， 在矩形中，， ，， ，∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ，即：，解得：， 答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 课 后 练 习 1 练 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设九（1）班共有x名学生，由题意得：，故选：B． 2 练 随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设两年前的价格为()，每年降价的百分率为．依题意，得 ，即．故选C． 3 练 期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，依题意，得：， 化简，得：，解得：，．当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去，答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 4 练 哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，，故选：B． 5 练 如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由题意得，，∴， 在中，，，，则， ∴，在中，由勾股定理得，∴， 解得或，故选：C． 6 练 某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是 ． 【答案】 【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为，则由题意得，， 解得，或（不合题意，舍去），∵， ∴平均每次降低成本的百分率为，故答案为：． 7 练 一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【详解】解：设每次打了折，由题意得，， 解得：，（舍去），每次打了9折．故答案为：9． 8 练 如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m． 【答案】20 【详解】解：设的长度为，则的长度为．根据题意，得， 解得，则或．，舍去， ．所以，猪圈的边长为是．故答案为：20． 9 练 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得（不合题意，舍去），∴1人每次能手把手教会6名同学．故答案为：6． 10 练 如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【答案】0.5或5 【详解】解：平行四边形的长宽之比为，当时，，∴， ∵点的速度为，∴秒，设Q的速度为，∴，解得， 当，∴，∴秒，∴，∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 11 练 据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同． (1)求该企业利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？ 【答案】(1) (2)不能 【详解】（1）解：该企业利润的年平均增长率为，由题意得，， 解得，（不合，舍去），答：该企业利润的年平均增长率为； （2）解：∵，∴该企业年的利润不能超过万元． 12 练 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病． (1)求出的值； (2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得，解得或（舍去）； （2）∵1个人患病，每轮传染中平均一个人传染24个人， ∴经过第一轮传染后，共有人感染，∵在第二轮传染前，有10个患者及时隔离， ∴．∴两轮传染后，一共有385人患病． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13 练 为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，根据题意得：， 解得：，的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 14 练 有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率． (2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应降低3元 【详解】（1）解：设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为； （2）销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为元， 根据题意得：，解得：，． 又∵要尽快减少库存，∴．答：销售单价应降低3元． 15 练 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米，故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，∴，化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米，∴，∴，∴， ∴，，答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米，∴，化简得：， ∴，∴方程无解，∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 16 练 一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值． 【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元 (2)a的值为6 【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元， 根据题意：,解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则（元），答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元； （2）解：第一次购买甲化工原料（桶），第一次购买乙化工原料（桶）， 由题意得，， 整理得：，解得：或（舍去，不符合题意），答：a的值为． 17 练 某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋． 根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元． (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【答案】(1)能，A包装洗衣粉的售价为30或35元(2)①；②见解析，达不到1450元 【详解】（1）解：能，理由如下， 由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，∴，解，得， ∴（元）或（元），包装洗衣粉的售价为30或35元； （2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克， ∴，化简，得； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），∴日总利润为 ， ∴，此时，∴达不到1450元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $