精品解析：甘肃张掖市肃南裕固族自治县祁丰学校2026--2027学年度第一学期八年级数学收心卷

2026～2027学年度第一学期收心卷 八年级数学（人教版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 1.256 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再依据无理数定义判断． 【详解】解：∵，是整数， ∴属于有理数； ∵1.256是有限小数，是整数， ∴1.256和均属于有理数； ∵开方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数轴表示不等式解集的原则：小于向左，大于向右；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点． 【详解】略 3. 如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， ． 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查一批笔芯的使用寿命 B. 调查某班学生校服的尺码情况 C. 调查鞋厂生产的一批鞋底能承受的弯折次数 D. 调查全校同学的家庭每月用电情况 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查适用于范围小、无破坏性、易实施的调查特征，逐一判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意， B．选项调查对象为某班学生，范围小，易实施，适合全面调查，符合题意， C．调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意， D．调查涉及人数多，工作量大，适合抽样调查． 5. 七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案，有助于培养观察力、注意力、想象力和创造力．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标确定网格单位长度，进而建立平面直角坐标系作答即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴网格中每个小正方形的边长为1， 建立平面直角坐标系如下： 可知点的坐标为． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B. 两个锐角互余 C. 的算术平方根是 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 7. 《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”大意是：两匹马和一头牛的总价大于1万钱．超过的部分等于半匹马的价格；一匹马和两头牛的总价小于1万钱，不足的部分等于半头牛的价格，问一匹马，一头牛的价格分别是多少钱？若设一匹马的价格为钱，一头牛的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抓住“总价超1万的部分等于半匹马的价格”“总价不足1万的部分等于半头牛的价格”两个等量关系，分别列方程联立判断． 【详解】解：设一匹马价为钱，一头牛价为钱， ∵两匹马和一头牛的总价比10000钱多的部分等于半匹马的价格， ∴． ∵一匹马和两头牛的总价比10000钱少的部分等于半头牛的价格， ∴. 据此联立方程为． 8. 如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证及，利用平行线性质推导角的关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴． ∵，  ∴，故D正确； ∵，，且， ∴，故C正确； ∵，， ∴． 若， 则， 即，题目未限定此条件，故B不一定正确． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 要清晰反映某AI大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最适合采用的统计图是______统计图．（填“条形”“折线”或“扇形”） 【答案】折线 【解析】 【分析】根据不同统计图的特点，结合题目反映数据变化趋势的需求，选择对应统计图． 【详解】解：三种常见统计图的功能特点： 折线统计图的特点是可以清晰反映数据的变化趋势； 条形统计图只能反映各组数据的具体数量； 扇形统计图反映各部分占总体的比例． 题目要求清晰反映连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势， 最适合采用的统计图是折线统计图． 10. 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分，若，则等于________. 【答案】142° 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解. 【详解】解：∵∠BOD =76°， ∴∠AOC=∠BOD =76°， ∵射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°， ∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°. 故答案为142°. 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 11. 现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，根据图①大正方形边长为可得，根据图②小正方形边长为可得，联立求解即可得出直角边长，进而求出面积． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，且， 图①中大正方形的边长为，且由四个直角三角形的直角边拼接而成， ， 图②中小正方形的边长为，且等于直角三角形两直角边之差， ， 联立上述两式，解得，， 一个直角三角形的面积为． 12. 升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为______．（取） 【答案】 【解析】 【分析】已知圆柱体积、高和的取值，利用圆柱体积公式列方程求解底面半径即可． 【详解】解：设这个升降阻车器的底面半径为， 将，，，代入公式得， 化简得， ， ∵半径为正数， ∴． 13. 一元一次不等式组的整数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，再找出范围内的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 解不等式①：， 移项得：， 解得：， 解不等式②：， 两边同乘得：， 移项得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，，共个． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴方向平移至三角形，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，再根据四边形面积为，得出的长，即可求得点的坐标． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， , 将沿轴方向向右平移得到， ，，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，和的纵坐标相同， 点坐标为，且四边形面积为， 四边形的面积为 ， ， 点的坐标为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义、绝对值的性质化简各数，再进行加减运算即可解答． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】 解：原方程组为，  得， 展开整理得， 得， 解得； 把代入得， ， 解得； 因此原方程组的解为． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 18. 完成下面的证明． 如图，，点分别在直线上，，交于点．求证：． 证明：（已知）， （______）． （已知）， （等式的基本事实）， ______（同旁内角互补，两直线平行）． （______）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行线的判定即可求解． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．将先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，其中点的对应点分别为． （1）画出； （2）点是内一点，平移到后，点的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的方式确定点，然后问题可求解； （2）根据平移方式可确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，点是内一点， ∴． 20. 紫甘薯富含天然花青素、活性微量元素和粗纤维，具有抗氧化和抗菌等功效．紫甘薯对环境温度的要求较高，温度的变化会影响紫甘薯的存活率，下表是农科院绘制的某品种紫甘薯植株在不同温度下的死亡率： 温度/ 20 22 24 26 28 死亡率 2.5 6 10 12.5 17 在图中绘制趋势图描述该品种紫甘薯植株在不同温度下死亡率的变化趋势，并预测当温度为时该品种紫甘薯植株的死亡率． 【答案】解：绘制趋势图如图： 由图预测当温度为时该品种紫甘薯植株的死亡率约为 【解析】 【分析】描点，连线，画出折线图，根据折线图进行推断即可. 【详解】略 21. 近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【解析】 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 22. 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． （1）若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； （2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 【答案】（1）； （2）当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 【解析】 【分析】（1）根据收费方式，列出代数式即可； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意， 若小明选择会员卡的收费方式，需要花费元； 若小明选择普通卡的收费方式，需要花费元； 【小问2详解】 解：若，解得， 即当时，小明办普通卡更划算； 若，解得， 即当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，解得， 即当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 23. 2026年4月23日世界读书日的官方主题是“阅读：通往世界的桥梁”，为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园•每日阅读”主题读书活动．现随机抽取七年级部分学生的每日阅读时长，将时长（单位：分钟）分为，，，四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的直方图和扇形图．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的七年级学生人数为______，扇形统计图中的值为______，扇形统计图中D组对应的圆心角度数是______； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校七年级共有500名学生，估计该校七年级学生中每日阅读时长在40分钟及以上的学生大约有多少人． 【答案】（1）20，30， （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）用A组的人数除以所占的比例求出抽取的总人数，用C组的人数除以总人数，求出的值，用360度乘以D组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据D组人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：抽取的总人数为； ，故； 扇形统计图中D组对应的圆心角度数是； 【小问2详解】 解：D组人数为（人）； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七年级学生中每日阅读时长在40分钟及以上的学生大约有人． 24. 如图，，，平分． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ， ， 又, , ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以证明结论； （2）结合角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质进行求解． 【小问1详解】 解：，理由略． 【小问2详解】 解：，， ，， 平分， ， ， ， ， 又, ， ， ， 在中，， ． 25. 某商家去年秋季用14500元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，卫衣每件200元．衬衫每件150元，衬衫在成本的基础上提价进行销售，且全部销售完，卫衣以300元的价格销售了卫衣总进货量的，今年该商家为了减少库存积压，计划反季节促销，将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售． （1）求该商家去年秋季购进了卫衣和衬衫各多少件？ （2）在反季节促销时，发现有3件卫衣损坏，无法对外销售．求每件卫衣最多降价多少元，可以使商家在销售完这批衬衫和卫衣后，利润不低于总成本的？ 【答案】（1） 该商家去年秋季购进卫衣50件，衬衫30件 （2） 每件卫衣最多降价25元 【解析】 【分析】（1）根据总进货量和总进价的等量关系，列方程求解卫衣和衬衫的进货数量． （2）根据利润不低于总成本的不等关系，列不等式求解卫衣的最大降价金额． 【小问1详解】 解：设购进卫衣件，则购进衬衫件， 根据题意可得， 解得：， （件）， 答：购进卫衣50件，衬衫30件； 【小问2详解】 解：设每件卫衣降价元， 衬衫总销售额：（元）， 去年已售卫衣数量：（件），销售额：（元）， 今年可售卫衣数量：（件），销售额：元， 由题意得总销售额不低于元， 则， 解得：， 答：每件卫衣最多降价25元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将线段平移至线段，点的对应点在轴上． （1）若点的坐标为．则点的坐标为______； （2）如图①，若点在轴负半轴上，的平分线交于点．求的度数； （3）如图②，在轴上是否存在这样的点，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）过点G作，根据平行线的性质得到，，再结合角平分线的定义计算，得到答案； （3）分两种情况①当点E在x轴下方时；②当点E在线段OP上时，分别设出点E的坐标，表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设 ∵，，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，且点的坐标为， ∴, 解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图：过点G作， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， 同理， 又∵分别是，的平分线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在． ①当点E在x轴下方时：如图，过点E作轴，过点P作轴，过点A作轴， 设点， 因为，，， 所以，． ， ∴，即，得：，则． 因为点E在x轴下方， ∴． ②当点E在线段上时：如图，过点P经过C，作轴，过点A作轴， 设点， ， ， ∴，即，得：，则． ∴． 若点E在点P上方的y轴上时，不存在这样的点． 综上所述，点E的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期收心卷 八年级数学（人教版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 1.256 C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查一批笔芯的使用寿命 B. 调查某班学生校服的尺码情况 C. 调查鞋厂生产的一批鞋底能承受的弯折次数 D. 调查全校同学的家庭每月用电情况 5. 七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案，有助于培养观察力、注意力、想象力和创造力．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B. 两个锐角互余 C. 的算术平方根是 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 7. 《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”大意是：两匹马和一头牛的总价大于1万钱．超过的部分等于半匹马的价格；一匹马和两头牛的总价小于1万钱，不足的部分等于半头牛的价格，问一匹马，一头牛的价格分别是多少钱？若设一匹马的价格为钱，一头牛的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 要清晰反映某AI大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最适合采用的统计图是______统计图．（填“条形”“折线”或“扇形”） 10. 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分，若，则等于________. 11. 现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 12. 升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为______．（取） 13. 一元一次不等式组的整数解的个数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴方向平移至三角形，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程组：． 17. 解不等式组： 18. 完成下面的证明． 如图，，点分别在直线上，，交于点．求证：． 证明：（已知）， （______）． （已知）， （等式的基本事实）， ______（同旁内角互补，两直线平行）． （______）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．将先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，其中点的对应点分别为． （1）画出； （2）点是内一点，平移到后，点的对应点为，则点的坐标为______． 20. 紫甘薯富含天然花青素、活性微量元素和粗纤维，具有抗氧化和抗菌等功效．紫甘薯对环境温度的要求较高，温度的变化会影响紫甘薯的存活率，下表是农科院绘制的某品种紫甘薯植株在不同温度下的死亡率： 温度/ 20 22 24 26 28 死亡率 2.5 6 10 12.5 17 在图中绘制趋势图描述该品种紫甘薯植株在不同温度下死亡率的变化趋势，并预测当温度为时该品种紫甘薯植株的死亡率． 21. 近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 22. 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． （1）若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； （2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 23. 2026年4月23日世界读书日的官方主题是“阅读：通往世界的桥梁”，为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园•每日阅读”主题读书活动．现随机抽取七年级部分学生的每日阅读时长，将时长（单位：分钟）分为，，，四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的直方图和扇形图．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的七年级学生人数为______，扇形统计图中的值为______，扇形统计图中D组对应的圆心角度数是______； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校七年级共有500名学生，估计该校七年级学生中每日阅读时长在40分钟及以上的学生大约有多少人． 24. 如图，，，平分． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，求的度数． 25. 某商家去年秋季用14500元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，卫衣每件200元．衬衫每件150元，衬衫在成本的基础上提价进行销售，且全部销售完，卫衣以300元的价格销售了卫衣总进货量的，今年该商家为了减少库存积压，计划反季节促销，将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售． （1）求该商家去年秋季购进了卫衣和衬衫各多少件？ （2）在反季节促销时，发现有3件卫衣损坏，无法对外销售．求每件卫衣最多降价多少元，可以使商家在销售完这批衬衫和卫衣后，利润不低于总成本的？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将线段平移至线段，点的对应点在轴上． （1）若点的坐标为．则点的坐标为______； （2）如图①，若点在轴负半轴上，的平分线交于点．求的度数； （3）如图②，在轴上是否存在这样的点，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $