专题19.2 实数 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

本讲义聚焦实数核心知识，从有理数（有限小数、无限循环小数）延伸到无理数（无限不循环小数），构建实数分类体系，涵盖数轴对应关系、绝对值性质、运算及科学记数法，形成连贯知识支架。 资料以思维导图总览脉络，知识结构表对比梳理概念，典例融入新定义运算（如“共生有理数对”）和数形结合（数轴表示无理数），培养抽象能力与推理意识。课中辅助分层教学，课后通过针对性练习助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题19.2 实数 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 有理数、无理数的概念，能识别和区分有理数与无理数。 · 掌握 实数的分类与性质，理解实数与数轴上的点一一对应关系。 · 熟练运用 绝对值的性质进行化简和求值，掌握实数的大小比较方法。 · 掌握 实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方），并能进行混合运算。 · 学会 用科学记数法表示数，理解近似数与有效数字的概念，并能按指定要求取近似数。 · 体会 数形结合、分类讨论思想在实数中的应用，能运用实数的知识解决综合问题。 ✨ 核心：有理数→无理数→实数分类 → 数轴表示 → 绝对值 → 运算 → 科学记数法 知识梳理 · 核心知识点 有理数的小数形式 · 有理数定义：整数和分数的统称。任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。 · 分类：按性质分正有理数、0、负有理数；按定义分整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 · 常见有理数：整数、有限小数、无限循环小数、百分数、分数。 无理数 · 定义：无限不循环小数称为无理数。如π、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）。 · 常见的无理数类型：①开方开不尽的数（如、）；②含π的数；③特定结构的无限不循环小数。 实数与数轴 📐 几何特征：实数与数轴上的点一一对应。数轴上的每一个点都表示一个实数，反之每个实数都能在数轴上找到唯一点。 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 · 实数的有序性：数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 · 相反数、绝对值、倒数：在数轴上，相反数关于原点对称；绝对值表示点到原点的距离。 实数的性质 · 实数的分类：按定义分有理数和无理数；按正负分正实数、0、负实数。 · 绝对值的性质：，。 · 实数的运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，在实数范围内同样适用。 · 平方根与立方根：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；任何实数都有立方根，且正数的立方根为正，负数的立方根为负。 实数的大小比较 · 方法：①数轴比较法；②差值比较法（则）；③平方法（同号比较）；④估值法（将无理数近似为小数）。 · 特别技巧：比较两个负数时，绝对值大的反而小。 近似数与有效数字 · 近似数：接近准确数但不等于准确数的数。按精确度取近似数用四舍五入法。 · 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。 · 精确度：近似数精确到哪一位（如百分位、千分位等）。 科学记数法 · 定义：把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。 · 对于绝对值大于10的数， 为正整数；对于绝对值小于1的数， 为负整数。 实数知识结构表 类别 定义 表示形式 举例 有理数 整数和分数统称 有限小数或无限循环小数 3, -2, 0.5, , 0.3 无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、含π的数等 π, , 0.1010010001… 实数 有理数和无理数统称 数轴上的点 所有有理数和无理数 相反数 只有符号不同的两个数 与 3 与 -3 绝对值 数轴上点到原点的距离 = =5 科学记数法 ， 整数 核心考点 ·6大典型考点精讲 考点一：有理数的小数形式（第1—9题） 📌 方法总结： · 有限小数和无限循环小数都是有理数。 · 最简分数分母只含2和5时，能化成有限小数。 · 用方程法将循环小数化成分数：设x，乘以10ⁿ后相减。 · 注意新定义运算的理解与运用。 1．（2025秋•闵行区校级期中）下列说法正确的有（　　） ①有限小数一定是有理数； ②有理数一定是有限小数； ③任何一个无限循环小数都可以化成分数； ④任何一个分数都可以化成小数； ⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据有理数是整数与分数的统称进行判断即可． 【解答】解：①有限小数一定是有理数，故①正确； ②有理数包括有限小数与如无限循环小数，故②错误； ③无限循环小数可以化成分数，③故正确； ④任何一个分数都可以化成小数，故④正确； ⑤任何一个无限小数都是有理数错误，例如π，它是一个无限不循环小数，它是无理数，故⑤法错误； ∴共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数， 而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 2．（2025秋•青浦区校级期中）在﹣18，π，，3.77，0.，0，1.73205080…中，有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】运用分类判断思想，根据有理数是整数、分数（含有限小数和无限循环小数）的定义逐一判断． 【解答】解：3.77是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 0是整数，是有理数； 1.73205080…无限不循环小数，是无理数； ﹣18是整数，是有理数； π是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 所以有理数有5个； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的定义，关键是明确有理数与无理数的区别，易错点是混淆无限循环小数和无限不循环小数． 3．（2025秋•浦东新区期中），，，这四个数中，能化成有限小数的共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数；据此逐项分析后选择． 【解答】解：，分母中只含有质因数5，能化成有限小数； 是最简分数，分母中只含有质因数5，能化成有限小数； 是最简分数，分母中含有质因数2和11，不能化成有限小数； 化成最简分数2，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 所以能化成有限小数的共有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5． 4．（2025秋•闵行区校级期中）定义：用（a，b）表示一个数对，其中a为任意数，b≥0．记，将数对（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对“开方对称数对”．例如：数对（8，25）的开方对称数对为（2，﹣5）和（﹣5，2）．若数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5），则a+b的值是　﹣39或﹣109　 ． 【分析】根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出a、b的值，最后计算a+b． 【解答】解：情况一：若（m，n）＝（﹣4，﹣5）， ∴a＝（﹣4）3＝﹣64，b＝25， ∴a+b＝﹣64+25＝﹣39， 情况二：若（n，m）＝（﹣4，﹣5） ∵， ∴，即，故b＝42＝16， ∴a＝﹣53＝﹣125， ∴a+b＝﹣125+16＝﹣109． 故答案为：﹣39或﹣109． 【点评】本题考查了立方根，算术平方根，掌握立方根，算术平方根的定义是关键． 5．（2025秋•崇明区期中）要使是真分数，是假分数，x应该是 　14　 ． 【分析】根据假分数，真分数的定义得到不等式，即可得到结论． 【解答】解：∵是真分数，是假分数， ∴14≤x＜15， ∵x是正整数， ∴x＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了有理数，正确的理假分数和真分数的定义是解题的关键． 6．（2025秋•平利县期末）若使等式mn＝m2﹣2n﹣2成立的一对有理数m、n称为“理想有理数对”，记为数对【m，n】，如：，所以数对是“理想有理数对”．判断数对是否为“理想有理数对”，并说明理由． 【分析】判断数对是否为“理想有理数对”，就是判断是否等于，计算即可求解． 【解答】解：数对是“理想有理数对”，理由： 因为， ， 所以，符合“理想有理数对”的定义， 故数对是“理想有理数对”． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“理想有理数对”的含义和判断方法． 7．（2025秋•海城市期末）先阅读下面材料，再完成任务： 【材料】 下列等式：，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：，都是“共生有理数对”． 【任务】 （1）在两个数对（﹣2，1）、中，“共生有理数对”是　　 ； （2）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值． 【分析】（1）根据新定义，列出算式计算，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）在两个数对（﹣2，1）、中， ∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1， ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； ∵， ∴是“共生有理数对”； 故答案为：； （2）由题意，得：x﹣（﹣2）＝﹣2x+1， 解得：． 【点评】本题考查有理数的运算，解一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 8．（2025秋•苏州期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为0.，反之，无限循环小数0.可以转化成分数形式．方法如下：设x＝0.，因为0.0.333⋯，所以10x＝3.333⋯， 则10x＝3+x，解方程可得，所以0.． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数0.写成分数形式为　　 ； 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数0.写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知．，请利用这个结论将2.写成分数形式，并写出求解过程． 【分析】【方法运用】根据阅读理解中的解题步骤计算即可； 【类比探究】根据阅读理解中的解题步骤计算即可； 【数学应用】根据阅读理解中的解题步骤计算即可． 【解答】解：【方法运用】设， ∵， ∴10x＝5.555…， ∴10x＝5+x， 解得：， ∴． 故答案为：； 【类比探究】； 设x， ∵， ∴100x＝36.363636…， ∴100x＝36+x， 解得：，即； 【数学应用】； 设， 则． ∵，而的循环节54是循环节45的倍， ∴， ∴，即． 【点评】本题考查了解一元一次方程，循环小数与循环节，掌握解一元一次方程的方法，循环小数与循环节的表示方法是解题的关键． 9．（2025秋•同步）将下列无限循环小数化成分数： （1）4.0； （2）0.3． 【分析】（1）设x＝4.0，则1000x＝4102.0，1000x﹣x＝4102.04.0，据此求解即可； （2）设x＝0.3，则1000x＝316.，10x＝3.，得1000x﹣10x＝316.3.，据此求解即可． 【解答】解：（1）设x＝4.0， 则1000x＝4102.0， 1000x﹣x＝4102.04.0， 则999x＝4098， ∴x4，即4.04； （2）设x＝0.3，则1000x＝316.，10x＝3.， ∴1000x﹣10x＝316.3.， 则990x＝313， ∴x，即0.3． 【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是将循环小数问题转化为方程问题． 【考点2】无理数 （第10—19题） 📌 方法总结： · 无理数的常见形式：√2、π、0.1010010001… · 带根号的数不一定是无理数，需判断是否开得尽。 · 有理数+无理数=无理数，有理数×无理数（非0）=无理数。 · 利用计算器观察小数点的移动规律。 10．（2026•上海）下列选项中是无理数的是（　　） A． B．4 C． D． 【分析】根据有理数和无理数的定义判断各选项即可． 【解答】解：A、是分数，不是无理数，不符合题意； B、4是整数，不是无理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、3，是整数，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 11．（2026春•长宁区校级月考）在下列各数中：3.、、、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据无理数的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：在下列各数中：3.、、、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数有：、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），共有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 12．（2025秋•松江区期末）实数，3.14，，0.1010010001，﹣0.0272727…（“27”依次不断出现）中，其中无理数是　　 ． 【分析】根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【解答】解：，， 无理数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 13．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 　　 ． 【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：输入的x值为64，取立方根为4，其算术平方根为2， 则取2的立方根为，是无理数， 所以输出的y的结果为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键． 14．（2020秋•虹口区校级期末）写出一个比4大的无理数为 　3（答案不唯一）　 ． 【分析】根据无理数的定义和已知写出符合的一个即可． 【解答】解：3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了无理数，能理解无理数的定义是解此题的关键． 15．（2024秋•长宁区校级月考）对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”． （1）求的“友好无理数”； （2）请你再写出一组符号不同的“友好无理数”，并说明理由． 【分析】（1）设的“友好无理数”是a，根据“友好无理数”的定义解答即可； （2）根据“友好无理数”的定义，写出一组符号不同的即可； 【解答】解：（1）设的“友好无理数”是a，根据对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，则， 故， ∴的“友好无理数”是； （2）一组符号不同的“友好无理数”，如和． 理由：， ， 即， 故和是“友好无理数”． 【点评】该题主要考查了一元一次方程，分母有理化以及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意． 16．（2025秋•虹口区月考）满足的有序有理数对（x，y）＝　　 ． 【分析】根据无理数的特点可得，易得4x4﹣13x2+3＝0，设t＝x2（t＞0），则4t2﹣13t+3＝0，解得：或3；然后分和t＝3两种情况解答即可． 【解答】解：由题意得x＞0，y＞0， ，即， ∵x、y是有理数， ∴， 由②可得：， 将代入①可得：，即4x4﹣13x2+3＝0， 设t＝x2（t＞0），则4t2﹣13t+3＝0， 解得：或3； 当时，， 则或（舍去）， ∴， ∴有序有理数对； 当t＝3时，x2＝3，，舍去． 综上，有序有理数对． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了无理数的特点、解一元二次方程等知识点，掌握两个相等的无理数得有理数部分和无理数部分相等以及运用换元法解高次方程是解题的关键． 17．（2026春•锡林郭勒盟月考）阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴a﹣3，b+2也是有理数．由于是无理数，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求x+y的值． 【分析】本题考查了有理数与无理数的性质，掌握有理数与无理数组成的等式中，有理数部分和无理数部分的系数需分别为0是解题的关键． 先把等式整理成有理数部分+无理数部分的形式，再根据有理数和无理数的性质，让有理数部分和无理数部分的系数分别为0，从而解出x、y的值，最后计算x+y． 【解答】解：∵， ∴x2﹣9＝3y， ∴． ∵x，y都是有理数， ∴x2﹣9、y﹣3也是有理数． ∵是无理数， ∴x2﹣9＝0，y﹣3＝0， ∴x＝±3，y＝3． ∴x+y＝6或0． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，有理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 18．（2025秋•奉贤区校级期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1﹣1和图1﹣2所示，那么a和b的数量关系是（　　） A．a＝10b B．a＝100b C． D． 【分析】利用计算器计算解答． 【解答】解：根据题意可知结果是10的关系， ∴ab． 故选：D． 【点评】本题考查了计算器计算数的开方，解题的关键是掌握数的开方运算法则． 19．（2025秋•松江区月考）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，则（　　） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【分析】先根据表格得到规律，再根据规律确定结果， 【解答】解：观察表格数据可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． 若，则， 故选：B． 【点评】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，是解决本题的关键． 【考点3】实数与数轴 （第20—32题） 📌 方法总结： · 实数与数轴上的点一一对应。 · 利用勾股定理构造无理数在数轴上的位置。 · 中点坐标公式：若C是AB中点，则xC=(xA+xB)/2。 · 对称点：若点C关于点B对称得到A，则B是AC中点。 20．（2025秋•上海校级期中）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以，而AB＝AE，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【解答】解：由条件可知， ∵AB＝AE， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出． 21．（2025秋•崇明区校级期中）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 【分析】根据C是线段AB的中点，可得CB＝CA，用C点表示的数减去CB的距离，可得A点表示的数． 【解答】解：由条件可知：， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 【点评】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，熟练掌握以上知识点是关键． 22．（2025秋•上海校级期末）在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，对应的点为C，那么以下表述正确的是（　　） A．点C位于点B的右侧 B．点C位于点A的左侧 C．点C位于A、B两点之间且更靠近点A D．点C位于A、B两点之间且更靠近点B 【分析】先根据无理数的估算方法确定点C在点A和点B之间，然后得到，再比较BC与AC的大小即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴点C在点A和点B之间； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴BC＜AC 因此点C更靠近点B， 综上，点C位于A、B两点之间且更靠近点B，D符合题意，ABC不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法，二次根式的加减运算法则． 23．（2025秋•静安区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【分析】根据平方根，无理数，实数与数轴的关系，解答即可． 【解答】解：∵负数没有平方根， ∴A错误，不符合题意； ∵两个无理数的和不一定是无理数，如π+（﹣π）＝0， ∴B错误，不符合题意； ∵0是实数，但既不是正实数也不是负实数， ∴C错误，不符合题意； ∵实数与数轴上的点一一对应， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查实数的基本概念，包括平方根、无理数的性质、实数的分类以及实数与数轴的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 24．（2025秋•浦东新区期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为　1　 ． 【分析】根据正方形的面积为3，得出边长为，得到点B表示的数为1． 【解答】解：∵正方形的面积为3， ∴边长为， ∵点A表示的数为1， ∴点B表示的数为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴是解题的关键． 25．（2026•奉贤区三模）化简：|2|＝　2　 ． 【分析】根据绝对值的概念计算即可． 【解答】解：因为12， 所以2＜0． 所以|2|＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握实数的绝对值的计算方法． 26．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝2，点A恰好落在数轴上表示﹣3的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点C，使点C落在点A的左侧，则点C所表示的数是　　 ． 【分析】根据勾股定理求出OB，进而得出OC的长度，由数轴表示数的方法进行解答即可． 【解答】解：由题意得，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，AB＝2，OA＝3， ∴OB， ∴OC＝OB， ∵点C在原点的左侧， ∴点C在数轴上所表示的数为， 故答案为：． 【点评】本题考查实数与数轴，掌握勾股定理以及数轴表示数的方法是正确解答的关键． 27．（2025秋•青浦区校级期中）如图所示，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数是 　4　 ． 【分析】首先根据题意，用点B表示的数减去点C表示的数，求出线段CB的长度，然后用点C表示的数减去线段CB的长度，求出点A表示的数即可． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴|AC|＝|CB|2， ∴点A表示的数是：2﹣（2）＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，解答此题的关键是要明确：在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|． 28．（2025秋•浦东新区校级月考）的倒数是　　 ． 【分析】根据立方根的定义求出，然后根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答． 【解答】解：∵2， ∴的倒数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了立方根和倒数的定义，熟记概念是解题的关键． 29．（2025秋•闵行区校级期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是　　 ． 【分析】根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点A表示的数即可． 【解答】解：由条件可知， ∵点C关于点B的对称点为A， ∴， ∴数轴上点A表示的数是； 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，以及对称性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 30．（2025秋•浦东新区期末）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． （1）求线段AB的长； （2）点C表示的数； （3）对于数轴上三点，点A、点B关于点D对称，求点D对应的实数． 【分析】（1）通过数轴上两点距离公式计算AB长度； （2）根据平移规律列方程求点C的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点D的数． 【解答】解：（1）∵点A表示，点B表示， ∴线段AB的长为； （2）∵点C向左平移4个单位长度后与点B重合，即数减小4与相等， ∴点C表示的数为； （3）设点D对应的实数为x， ∵点A、点B关于点D对称， ∴AD＝BD，即， 解得x＝1，即点D对应的实数为1． 【点评】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差（右减左）；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． 31．（2025秋•浦东新区校级期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形ABCD． （1）则大正方形ABCD的边长为　　 ； （2）将图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为﹣1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点C翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P时，点P表示的数为　　 ； （3）是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A、B、C、D中某个点与数轴上的2025重合？答：　不存在　 （填“存在”或“不存在”）； （4）在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数　　 对应的点重合． 【分析】（1）根据题意可求出正方形ABCD的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，正方形ABCD的面积为：5×1×1＝5， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵正方形ABCD的边长为，点A表示的数为﹣1， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， ∴， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． 32．（2025秋•松江区月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，M． （1）化简M； （2）当a＝3时，求M的值． 【分析】（1）由数轴可得b＜﹣2，0＜a＜2，从而得出a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，再计算算术平方根后合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【解答】解：（1）由数轴可得：b＜﹣2，0＜a＜2， ∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0， ∴M＝|a+2|﹣|b﹣2|+|a﹣b|+|b| ＝a+2﹣[﹣（b﹣2）]+a﹣b+（﹣b） ＝a+2+b﹣2+a﹣b﹣b ＝2a﹣b； （2）当，时， 原式． 【点评】本题考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，实数的运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【考点4】实数的绝对值和大小比较 （第33—43题） 📌 方法总结： · 绝对值化简：先判断绝对值内符号，再取绝对值。 · 比较大小：平方法（正数）、作差法、倒数法、数轴法。 · 含绝对值的不等式问题，注意分类讨论。 · 多个绝对值相加的最值问题，可用数轴分析。 33．（2025秋•普陀区校级期末）根据如图，下列判断正确的是（　　） ①a+c＜b；②b﹣a＞0+c；③|﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|；④c＜﹣b＜a． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：有数轴图可知c＜﹣a＜0＜a＜b，|c|＞|b|＞|a|， ∴a+c＜b，①正确； b﹣a＞0+c，②正确； |﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|，③正确； c＜﹣b＜a，④正确． ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 34．（2025秋•虹口区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．具有相反意义的两个量互为相反数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值不大于100的整数有200个 【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：绝对值等于它本身的数是非负数，故选项A错误，不符合题意； 只有符号不同的两个数互为相反数，而具有相反意义的两个量不一定是相反数，故选项B错误，不符合题意； 互为相反数的两个数的绝对值相等，故选项C正确，符合题意； 绝对值不大于100的整数有201个，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查绝对值、正数和负数、相反数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确． 35．（2025秋•闵行区校级期中）将自然数1、2、3、4、5、6记在6个形状大小相同的卡片上，随机打乱之后一一翻出，并将摸出的卡片上的数字先后记为a1，a2，a3，a4，a5，a6．记A＝|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|，以下说法中正确的是（　　） ①A的最小值为3； ②A的值一定是奇数． A．① B．② C．①② D．①②都不正确 【分析】先根据|a1﹣a2|≥1，|a3﹣a4|≥1，|a5﹣a6|≥1，即可判断①，再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况，分别进行分析即可判断②． 【解答】解：根据题意可知，a1＝2，a2，a3，a4，a5，a6指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴|a5﹣a6|≥1，|a1﹣a2|≥1，|a3﹣a4|≥1， ∴A＝|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|≥3， 当a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝6时， A＝|1﹣2|+|3﹣4|+|5﹣6|＝1+1+1＝3， 结合A≥3，可得A的最小值为3，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 情况一：三个（奇数，偶数）对，此时，三个绝对值之差的奇偶性均为奇，其和A为奇数， 情况二：一个（奇数，奇数）对，一个（偶数，偶数）对，一个（奇数，偶数）对， 此时，三个绝对值之差的奇偶性分别为偶、偶、奇，其和A为奇数， 综上，A的值一定是奇数，故②正确． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 36．（2025秋•宝山区校级月考）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案． 【解答】解：∵abc＜0， ∴a、b、c中一负两正或三负， ∵a+b+c＝0， ∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正， ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 当a、b为正，c为负时， ＝1+2+3 ＝6； 当a、c为正，b为负时， ＝1﹣2﹣3 ＝﹣4； 当b、c为正，a为负时， ＝﹣1+2﹣3 ＝﹣2； 则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24， 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值，注意分类讨论思想的应用． 37．（2025秋•闵行区校级期末）比较两数大小：　＜　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】将写成，再比较被开方数即可． 【解答】解：， ∵10＜12， ∴，即， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，正确计算是解题的关键． 38．（2024春•青浦区校级月考）比较大小　＞　 ．（填“＞”或“＜”＝） 【分析】先用（）减去（），再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案． 【解答】解：∵（）﹣（）＝（）﹣2， 又∵（）2﹣（）2＝2（）＜0， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答． 39．（2025秋•闵行区校级月考）比较大小：　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【解答】解：设，． ∵， ， 又∵， ∴， ∴B2＞A2， ∵A、B均为正数， ∴B＞A，即， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 40．（2024秋•闵行区校级期中）有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　2　 ． 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数a，b，c，d中负数的个数，然后分别讨论求出最大值． 【解答】解：∵1， ∴有理数a，b，c，d中负数为奇数个． ①若有理数a，b，c，d有一个负三个正， 则2； ②若有理数a，b，c，d有三个负一个正， 则2； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 41．（2025秋•杨浦区校级月考）比较大小． （1）　＜　 ； （2）　＞　 ． 【分析】（1）分别计算两个无理数的平方，比较平方的大小，即可得解； （2）对两个无理数进行分子有理化，得到分子相同的分数，比较分母的大小，即可得解． 【解答】解：（1），， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＜； （2），， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 42．（2025秋•上海校级期中）课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数： 因为，所以，则有． 请你设计一种方法比较与的大小． 【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案． 【解答】解：∵（）2＝8+23＝11+2， （）2＝6+25＝11+2， ∴11+211+2， ∴（）2＜（）2， ∵0，0， ∴． 【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确应用完全平方公式是解题关键． 43．（2025秋•松江区月考）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为4，所以2 　＞　 2，所以 　＞　 （填“＞”或“＜”）； 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，所以4 　＞　 0，所以 　＞　 0，所以 　＞　 （填“＞”或“＜”）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【分析】（1）根据不等式的性质即可解答； （2）仿照例题的方法进行计算即可解答． 【解答】解：（1）小华的方法是： 因为4，所以2＞2，所以， 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，，因为19＞42＝16，所以4＞0，所以0，所以， 故答案为：＞，＞，＞，＞，＞； （2）如果选择小华的方法， ∵， ∴， ∴， 如果选择小英的方法， ， ∵6＜9， ∴3， ∴3＜0， ∴0， ∴． 【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键． 【考点5】实数运算 （第44—53题） 📌 方法总结： · 先算乘方、开方，再乘除，后加减。 · 化简绝对值时注意符号。 · 有理数与无理数相等⇒有理数部分相等，无理数部分系数相等。 · 新定义运算：理解规则，代入计算。 44．（2025秋•浦东新区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．的平方根是±4 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【分析】根据算术平方根、立方根、有理数、无理数的运算法则计算判断即可． 【解答】解：A、4，4的平方根是±2，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、有理数除以无理数的商不一定是无理数，如0除以任何不等于0的数都得0，故此选项不符合题意； D、5，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 45．（2023春•宽城区期末）　2　 ． 【分析】先化成最简根式再根据二次根式的除法法则相除即可求解． 【解答】解：原式2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查的是二次根式的除法，比较简单，熟记除法法则即可计算． 46．（2026春•虹口区校级月考）方程的解为x＝1　 ． 【分析】先设a，b将原方程变形为：a+b＝1，再分别计算a3和b3，然后利用立方和公式（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2将原方程化为：8x3+15x2+6x﹣29＝0，再根据试根法求出方程的一个根是x＝1，将原方程变形为（x﹣1）（8x2+23x+29）＝0，再判断方程8x2+23x+29＝0的根的情况即可． 【解答】解：设a，b，则原方程可化为：a+b＝1， 且a3，b3， ab． ∴a3+b3＝（）+（）＝2x， ∵（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）， ∴13＝2x+31， 即：2x+31， ∴31﹣2x， ∴， 两边同时立方得：， ∴， 化简，得：8x3+15x2+6x﹣29＝0， 通过试根法，x＝1是方程8x3+15x2+6x﹣29＝0的一个根， ∴8x3+15x2+6x﹣29＝0可变形为： （x﹣1）（8x2+23x+29）＝0， 对于二次方程8x2+23x+29＝0， ∵Δ＝232﹣4×8×29＝﹣399＜0， ∴此方程无实数根． ∴原方程的解为x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查立方根和实数的运算，将原方程变形和熟练运用立方根公式是关键． 47．（2025秋•闵行区校级期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算　　 ．（直接写出计算结果） 【分析】观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将n＝7，代入公式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，规律为：， ∴ ＝1 ＝1 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 48．（2025秋•浦东新区校级期中）计算的值　3　 ． 【分析】先根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算，再合并即可． 【解答】解： ＝5 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 49．（2026春•浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足． （1）求x，y的值； （2）求x+2y的平方根． 【分析】（1）先根据去括号法则把已知等式的左边化简，从而列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可； （2）把（1）中求出的x，y代入x+2y，再求出它的平方根即可． 【解答】解：（1）， ， ， ∵x，y是有理数， ∴， 把y＝3代入3x﹣7y＝9得：x＝10， ∴； （2）由（1）得， ∴x+2y＝10+2×3＝10+6＝16， ∴x+2y的平方根是±4． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 50．（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先运算零次幂，立方根，求一个数的绝对值，再运算加减法，即可作答； （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 51．（2025秋•金山区期末）计算：． 【分析】先算开方，再算绝对值，然后算加减即可． 【解答】解： ＝3﹣3+|﹣1﹣2| ＝3﹣3+3 ＝3． 【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 52．（2025秋•浦东新区期中）我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）　1+i ． 【分析】分子分母同乘以（2+i）后，把分母化为不含i的数后计算． 【解答】解：由题意得：， 即将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）为：1+i， 故答案为：1+i． 【点评】此题考查了新定义运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 53．（2025秋•宝山区校级月考）计算：． 【分析】先计算括号里的减法和乘方，再计算立方根、绝对值，最后计算加减即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 【考点6】近似数和科学计数法 （第54—60题） 📌 方法总结： · 近似数的精确度看最后一位数字所在位。 · 科学计数法：a×10ⁿ（1≤a<10）。 · 有效数字：从左边第一个非零数字起。 · 四舍五入时注意进位的处理。 54．（2023春•杨浦区期末）下列近似数，精确到0.001且有三个有效数字的是（　　） A．8.010 B．8.01 C．0.801 D．0.081 【分析】精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位是什么位，有效数字就是从数的左边第一个不是0的数起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 【解答】解：A、8.010精确到0.001，且有四个有效数字，故A不符合题意； B、8.01精确到0.01，且有三个有效数字；故B不符合题意； C、0.801精确到0.001且有三个有效数字，故C符合题意； D、0.081精确到0.001且有两个有效数字，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 55．（2025秋•普陀区校级月考）近似数1.50所表示的准确数x的取值范围是　1.495≤x＜1.505　 ． 【分析】利用近似数的精确度求解即可． 【解答】解：根据近似数的精确度要求可知：近似数1.50表示的数x的取值范围为： 1.495≤x＜1.505． 故答案为：1.495≤x＜1.505． 【点评】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解决本题的关键． 56．（2025秋•徐汇区校级月考）用科学记数法将4298207292保留三个有效数字　4.30×109 ． 【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据保留三个有效数字． 【解答】解：4.298207292×109≈4.30×109（保留三个有效数字）， 故答案为：4.30×109． 【点评】本题主要考查了科学记数法，有效数字，熟练掌握以上知识是解题的关键． 57．（2024春•闵行区期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为h＝4.9t2（不计空气阻力）．一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有 　14　 秒（精确到1秒）． 【分析】将h＝920代入h＝4.9t2，求出t的值即可，注意精确到1秒． 【解答】解：当h＝920时， 920＝4.9t2， 解得t≈14或t≈﹣14（不合题意，舍去）， 故答案为：14． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，求出相应的近似数． 58．（2026春•松江区校级月考）随着经济的飞速发展，碳排放与能源问题日益凸显，资料显示，2025年全国太阳能发电量约为1.4万亿kWh，约占全国发电总量的10%．那么2025年全国发电总量约为　1.4×1013 kW•h．（用科学记数法表示） 【分析】已知部分发电量和其占总发电量的百分比，先求出总发电量，再将结果用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【解答】解：由题意得，1.4万亿÷10%＝14万亿kWh， ∵14万亿＝14000000000000＝1.4×1013， ∴2025年全国发电总量约为1.4×1013kWh． 故答案为：1.4×1013． 【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键． 59．（2025秋•浦东新区校级期中）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约0.0000000004米，其中0.0000000004用科学记数法表示为 　4×10﹣10 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10． 故答案为：4×10﹣10． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 60．（2026春•浦东新区校级月考）据2026年航天相关报告，某科技公司的“星链”星座在轨规模已扩展至9399颗，将9399用科学记数法表示为　9.399×103 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：9399＝9.399×103． 故答案为：9.399×103． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 无理数判定作业2 无理数计数作业3 科学计数法作业4 算术平方根规律 作业5 数轴与勾股作业6 近似数范围作业7 数轴与圆弧作业8 实数比较 作业9 根式化简作业10 实数比较作业11 绝对值化简作业12 含参比较 作业13 二次根式比较作业14 无理方程作业15 科学计数法作业16 实数混合运算 作业17 整数指数幂作业18 实际应用作业19 小数部分与整数部分作业20 正方形翻滚 ❤ 复习建议  实数章节概念多，注意区分有理数与无理数，掌握绝对值化简和大小比较的技巧。运算时注意符号和根式的化简。科学记数法和近似数是常考基础，务必熟练。建议结合数轴理解实数与点的对应关系，多做综合题提升应用能力。 【作业1】（2025秋•鹿城区期末）在3.14，﹣4，0，这四个数中，属于无理数的是（　　） A．3.14 B．﹣4 C．0 D． 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：在3.14，﹣4，0，这四个数中，属于无理数的是， 故选：D． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【作业2】（2026春•陆良县期中）在3.14、、、、π、0.1010010001…（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先把化为4，再根据无理数的定义找出这一组数中的无理数即可． 【解答】解：∵4， ∴这一组数中的无理数有：，π、0.1010010001…（相邻的两个1之间多一个0），共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【作业3】（2026春•海州区校级期中）在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为0.00009dm．数据0.00009用科学记数法表示为（　　） A．9×10﹣6 B．9×10﹣5 C．9×10﹣4 D．9×10﹣3 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【解答】解：数据0.00009用科学记数法表示为9×10﹣5． 故选：B． 【点评】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【作业4】（2026春•滨州期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若1.30，4.11，，则（　　） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【分析】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果． 【解答】解：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位． ∵1690＝16.9×100，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查计算器—数的开方，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业5】（2026春•邹城市期末）如图，已知OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝1，以原点为圆心，以OB的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】由OA⊥AB知△OAB为直角三角形，直接用勾股定理求OB，弧以O为圆心、OB为半径，故弧与数轴交点C到O的距离等于OB，即OC＝OB． 【解答】解：由题意可得， ∵AB⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∴△OAB是直角三角形， 根据勾股定理可得，， 根据题意可得，， ∵点C在数轴正半轴上， ∴点C表示的数为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理与圆的定义（同圆半径相等），重难点是抓住“OA⊥AB”用勾股定理求出OB，再利用“弧上一点C到圆心O的距离等于半径OB”即可． 【作业6】（2026•达州校级开学）一个三位小数保留两位小数的近似值是8.70，这个小数在“四舍五入”前最大是　8.704　 ，最小是　8.695　 ． 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，对应原数的最大值；“五入”得到的近似数比原数大，对应原数的最小值． 【解答】解：若原数是通过“四舍”得到近似值8.70，因此最大原数为8.704； 若原数是通过“五入”得到近似值8.70，则进位后得到8.70，原三位小数的十分位是6，百分位是9，千分位需大于等于5，千分位最小取5，因此最小原数为8.695． 故答案为：8.704，8.695． 【点评】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握该知识点是关键． 【作业7】（2025秋•金水区校级期末）如图，长方形OABC放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为　2　 ． 【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可． 【解答】解；∵四边形OABC是长方形， ∴∠AOC＝90°， ∴AC， ∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点， ∴AP＝AC， ∴OP＝AP﹣OA2， ∴点P表示的数是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴以及长方形的性质；求出OP的长是解题的关键． 【作业8】（2026春•弋阳县期末）比较大小：　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【解答】解：，， ∵28＜50， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【作业9】（2026春•安丘市校级期末）已知b＜a＜0，则的值是a﹣b ． 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由条件可知 ＝|a|+a+|b﹣a| ＝﹣a+a+（a﹣b） ＝a﹣b， 故答案为：a﹣b． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业10】（2025秋•杨浦区校级期中）比较大小： 　＜　 ． 【分析】利用实数的性质进行大小比较． 【解答】解：∵﹣12＜0，﹣1＜20， （2），（2）， ﹣（2）＞﹣（2）， ∴， ∴2＜2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较的方法． 【作业11】（2025秋•闵行区期中）若a+b+c＞0，abc＜0，则 　1　 ． 【分析】根据有理数的性质确定a、b、c有2个正数，1个负数，然后根据绝对值的意义计算． 【解答】解：∵a+b+c＞0， ∴a、b、c中一定有正数， ∵abc＜0， ∴a、b、c中一定有1个或3个负数， ∴a、b、c有2个正数，1个负数， ∴原式＝1+1﹣1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【作业12】（2025秋•杨浦区校级月考）比较大小：　≤　 ．（用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”填空） 【分析】根据二次根式的特点利用作差法进行大小比较． 【解答】解：将比较的两个式子作差得， ， 令，， ∴， ∵0≤4y2﹣x2≤4y2，2y≥0， ∴， ∴， ∴S2﹣T2≤0， ∴S2≤T2， ∴， ∴， 故答案为：≤． 【点评】本题考查了二次根式的大小比较，利用作差法进行比较． 【作业13】（2025秋•闵行区校级月考）比较大小：　＞　 （填不等号）． 【分析】通过作差法求解即可． 【解答】解：（） ＝332 ＝3， ∵，， ∴34.242， ∵4.732＞4.242， 即33， 即， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了大小比较，属于基础题． 【作业14】（2026春•虹口区校级月考）方程的解为x＝1　 ． 【分析】先设a，b将原方程变形为：a+b＝1，再分别计算a3和b3，然后利用立方和公式（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2将原方程化为：8x3+15x2+6x﹣29＝0，再根据试根法求出方程的一个根是x＝1，将原方程变形为（x﹣1）（8x2+23x+29）＝0，再判断方程8x2+23x+29＝0的根的情况即可． 【解答】解：设a，b，则原方程可化为：a+b＝1， 且a3，b3， ab． ∴a3+b3＝（）+（）＝2x， ∵（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）， ∴13＝2x+31， 即：2x+31， ∴31﹣2x， ∴， 两边同时立方得：， ∴， 化简，得：8x3+15x2+6x﹣29＝0， 通过试根法，x＝1是方程8x3+15x2+6x﹣29＝0的一个根， ∴8x3+15x2+6x﹣29＝0可变形为： （x﹣1）（8x2+23x+29）＝0， 对于二次方程8x2+23x+29＝0， ∵Δ＝232﹣4×8×29＝﹣399＜0， ∴此方程无实数根． ∴原方程的解为x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查立方根和实数的运算，将原方程变形和熟练运用立方根公式是关键． 【作业15】（2025秋•徐汇区校级月考）用科学记数法将4298207292保留三个有效数字　4.30×109 ． 【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据保留三个有效数字． 【解答】解：4.298207292×109≈4.30×109（保留三个有效数字）， 故答案为：4.30×109． 【点评】本题主要考查了科学记数法，有效数字，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【作业16】（2026春•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算加减． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 【作业17】（2025秋•黄浦区校级期末）计算：． 【分析】先分别计算各项的乘方、负指数幂、零指数幂，再进行乘法运算，最后按照从左到右的顺序进行加减运算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 【作业18】（2025秋•浦东新区校级期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2，8dm2和18dm2的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板C的边长为 　3　 dm； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【分析】（1）利用正方形木板C的边长，即可求出结论； （2）利用木板①中剩余部分（阴影部分）的面积＝木板①的面积﹣正方形A的面积﹣正方形B的面积﹣正方形C的面积，即可求出结论； （3）求出长方形木板②的长及面积为16dm2的正方形木板的边长，将长方形木板②的长与2×面积为16dm2的正方形木板的边长比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）木板①中截出的正方形木板C的边长为3dm． 故答案为：3； （2）（）×（）﹣4﹣8﹣18 ＝（32）×（22）﹣4﹣8﹣18 ＝5252﹣4﹣8﹣18 ＝20+104﹣8﹣18 ＝1010． 答：木板①中剩余部分（阴影部分）的面积为（1010）dm2； （3）不能在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，理由如下： 325（dm），2＝4×2＝8（dm）， ∵58， ∴不能在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板． 【点评】本题考查了实数的运算，求出长方形的长及各正方形的边长是解题的关键． 【作业19】（2025秋•溧阳市校级月考）【阅读理解】【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：如果，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝1，． 【材料二】例题：已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴x﹣2y＝﹣4且﹣x＝2，解得：x＝﹣2，y＝1． （1）如果，其中m是整数，且0＜n＜1，那么m＝　2　 ，n＝　2　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求x+y的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到7，7的大小即可； （3）将原式化为x2y＝13﹣（3y），进而得到x2＝13，y＝3y，求出x、y的值代入计算即可． 【解答】解：（1）∵23， ∴的整数部分为2，小数部分为2， 又∵，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝2，n2， 故答案为：2，2； （2）∵34， ∴10＜711，﹣43， ∴3＜74， ∴7的小数部分a＝7103，的整数部分b＝3， 即a3，b＝3； （3）∵， ∴x2y﹣y＝13﹣3， 即x2﹣（1）y＝16﹣3（1）， ∴x2＝16，y＝3， 解得x＝±4，y＝3， ∴x+y＝4+3＝7或x+y＝﹣4+3＝﹣1， 即x+y的值为7或﹣1． 【点评】本题考查估算无理数的大小，正确算术平方根的定义是正确解答的关键． 【作业20】（2025秋•浦东新区校级期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形ABCD． （1）则大正方形ABCD的边长为　　 ； （2）将图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为﹣1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点C翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P时，点P表示的数为　　 ； （3）是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A、B、C、D中某个点与数轴上的2025重合？答：　不存在　 （填“存在”或“不存在”）； （4）在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数　　 对应的点重合． 【分析】（1）根据题意可求出正方形ABCD的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，正方形ABCD的面积为：5×1×1＝5， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵正方形ABCD的边长为，点A表示的数为﹣1， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， ∴， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 实数 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 有理数、无理数的概念，能识别和区分有理数与无理数。 · 掌握 实数的分类与性质，理解实数与数轴上的点一一对应关系。 · 熟练运用 绝对值的性质进行化简和求值，掌握实数的大小比较方法。 · 掌握 实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方），并能进行混合运算。 · 学会 用科学记数法表示数，理解近似数与有效数字的概念，并能按指定要求取近似数。 · 体会 数形结合、分类讨论思想在实数中的应用，能运用实数的知识解决综合问题。 ✨ 核心：有理数→无理数→实数分类 → 数轴表示 → 绝对值 → 运算 → 科学记数法 知识梳理 · 核心知识点 有理数的小数形式 · 有理数定义：整数和分数的统称。任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。 · 分类：按性质分正有理数、0、负有理数；按定义分整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 · 常见有理数：整数、有限小数、无限循环小数、百分数、分数。 无理数 · 定义：无限不循环小数称为无理数。如π、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）。 · 常见的无理数类型：①开方开不尽的数（如、）；②含π的数；③特定结构的无限不循环小数。 实数与数轴 📐 几何特征：实数与数轴上的点一一对应。数轴上的每一个点都表示一个实数，反之每个实数都能在数轴上找到唯一点。 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 · 实数的有序性：数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 · 相反数、绝对值、倒数：在数轴上，相反数关于原点对称；绝对值表示点到原点的距离。 实数的性质 · 实数的分类：按定义分有理数和无理数；按正负分正实数、0、负实数。 · 绝对值的性质：，。 · 实数的运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，在实数范围内同样适用。 · 平方根与立方根：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；任何实数都有立方根，且正数的立方根为正，负数的立方根为负。 实数的大小比较 · 方法：①数轴比较法；②差值比较法（则）；③平方法（同号比较）；④估值法（将无理数近似为小数）。 · 特别技巧：比较两个负数时，绝对值大的反而小。 近似数与有效数字 · 近似数：接近准确数但不等于准确数的数。按精确度取近似数用四舍五入法。 · 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。 · 精确度：近似数精确到哪一位（如百分位、千分位等）。 科学记数法 · 定义：把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。 · 对于绝对值大于10的数， 为正整数；对于绝对值小于1的数， 为负整数。 实数知识结构表 类别 定义 表示形式 举例 有理数 整数和分数统称 有限小数或无限循环小数 3, -2, 0.5, , 0.3 无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、含π的数等 π, , 0.1010010001… 实数 有理数和无理数统称 数轴上的点 所有有理数和无理数 相反数 只有符号不同的两个数 与 3 与 -3 绝对值 数轴上点到原点的距离 = =5 科学记数法 ， 整数 核心考点 ·6大典型考点精讲 考点一：有理数的小数形式（第1—9题） 📌 方法总结： · 有限小数和无限循环小数都是有理数。 · 最简分数分母只含2和5时，能化成有限小数。 · 用方程法将循环小数化成分数：设x，乘以10ⁿ后相减。 · 注意新定义运算的理解与运用。 1．（2025秋•闵行区校级期中）下列说法正确的有（　　） ①有限小数一定是有理数； ②有理数一定是有限小数； ③任何一个无限循环小数都可以化成分数； ④任何一个分数都可以化成小数； ⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025秋•青浦区校级期中）在﹣18，π，，3.77，0.，0，1.73205080…中，有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2025秋•浦东新区期中），，，这四个数中，能化成有限小数的共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025秋•闵行区校级期中）定义：用（a，b）表示一个数对，其中a为任意数，b≥0．记，将数对（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对“开方对称数对”．例如：数对（8，25）的开方对称数对为（2，﹣5）和（﹣5，2）．若数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5），则a+b的值是　 　 ． 5．（2025秋•崇明区期中）要使是真分数，是假分数，x应该是 　 　 ． 6．（2025秋•平利县期末）若使等式mn＝m2﹣2n﹣2成立的一对有理数m、n称为“理想有理数对”，记为数对【m，n】，如：，所以数对是“理想有理数对”．判断数对是否为“理想有理数对”，并说明理由． 7．（2025秋•海城市期末）先阅读下面材料，再完成任务： 【材料】 下列等式：，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：，都是“共生有理数对”． 【任务】 （1）在两个数对（﹣2，1）、中，“共生有理数对”是　 　 ； （2）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值． 8．（2025秋•苏州期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为0.，反之，无限循环小数0.可以转化成分数形式．方法如下：设x＝0.，因为0.0.333⋯，所以10x＝3.333⋯， 则10x＝3+x，解方程可得，所以0.． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数0.写成分数形式为　 　 ； 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数0.写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知．，请利用这个结论将2.写成分数形式，并写出求解过程． 9．（2025秋•同步）将下列无限循环小数化成分数： （1）4.0； （2）0.3． 【考点2】无理数 （第10—19题） 📌 方法总结： · 无理数的常见形式：√2、π、0.1010010001… · 带根号的数不一定是无理数，需判断是否开得尽。 · 有理数+无理数=无理数，有理数×无理数（非0）=无理数。 · 利用计算器观察小数点的移动规律。 10．（2026•上海）下列选项中是无理数的是（　　） A． B．4 C． D． 11．（2026春•长宁区校级月考）在下列各数中：3.、、、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2025秋•松江区期末）实数，3.14，，0.1010010001，﹣0.0272727…（“27”依次不断出现）中，其中无理数是　 　 ． 13．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 　 　 ． 14．（2020秋•虹口区校级期末）写出一个比4大的无理数为 　 　 ． 15．（2024秋•长宁区校级月考）对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”． （1）求的“友好无理数”； （2）请你再写出一组符号不同的“友好无理数”，并说明理由． 16．（2025秋•虹口区月考）满足的有序有理数对（x，y）＝　 　 ． 17．（2026春•锡林郭勒盟月考）阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴a﹣3，b+2也是有理数．由于是无理数，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求x+y的值． 18．（2025秋•奉贤区校级期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1﹣1和图1﹣2所示，那么a和b的数量关系是（　　） A．a＝10b B．a＝100b C． D． 19．（2025秋•松江区月考）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，则（　　） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【考点3】实数与数轴 （第20—32题） 📌 方法总结： · 实数与数轴上的点一一对应。 · 利用勾股定理构造无理数在数轴上的位置。 · 中点坐标公式：若C是AB中点，则xC=(xA+xB)/2。 · 对称点：若点C关于点B对称得到A，则B是AC中点。 20．（2025秋•上海校级期中）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•崇明区校级期中）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•上海校级期末）在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，对应的点为C，那么以下表述正确的是（　　） A．点C位于点B的右侧 B．点C位于点A的左侧 C．点C位于A、B两点之间且更靠近点A D．点C位于A、B两点之间且更靠近点B 23．（2025秋•静安区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 24．（2025秋•浦东新区期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为　 　 ． 25．（2026•奉贤区三模）化简：|2|＝　 　 ． 26．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝2，点A恰好落在数轴上表示﹣3的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点C，使点C落在点A的左侧，则点C所表示的数是　 　 ． 27．（2025秋•青浦区校级期中）如图所示，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数是 　 　 ． 28．（2025秋•浦东新区校级月考）的倒数是　 　 ． 29．（2025秋•闵行区校级期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是　 　 ． 30．（2025秋•浦东新区期末）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． （1）求线段AB的长； （2）点C表示的数； （3）对于数轴上三点，点A、点B关于点D对称，求点D对应的实数． 31．（2025秋•浦东新区校级期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形ABCD． （1）则大正方形ABCD的边长为　 　 ； （2）将图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为﹣1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点C翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P时，点P表示的数为　 　 ； （3）是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A、B、C、D中某个点与数轴上的2025重合？答：　 　 （填“存在”或“不存在”）； （4）在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数　 　 对应的点重合． 32．（2025秋•松江区月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，M． （1）化简M； （2）当a＝3时，求M的值． 【考点4】实数的绝对值和大小比较 （第33—43题） 📌 方法总结： · 绝对值化简：先判断绝对值内符号，再取绝对值。 · 比较大小：平方法（正数）、作差法、倒数法、数轴法。 · 含绝对值的不等式问题，注意分类讨论。 · 多个绝对值相加的最值问题，可用数轴分析。 33．（2025秋•普陀区校级期末）根据如图，下列判断正确的是（　　） ①a+c＜b；②b﹣a＞0+c；③|﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|；④c＜﹣b＜a． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 34．（2025秋•虹口区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．具有相反意义的两个量互为相反数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值不大于100的整数有200个 35．（2025秋•闵行区校级期中）将自然数1、2、3、4、5、6记在6个形状大小相同的卡片上，随机打乱之后一一翻出，并将摸出的卡片上的数字先后记为a1，a2，a3，a4，a5，a6．记A＝|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|，以下说法中正确的是（　　） ①A的最小值为3； ②A的值一定是奇数． A．① B．② C．①② D．①②都不正确 36．（2025秋•宝山区校级月考）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 37．（2025秋•闵行区校级期末）比较两数大小：　 　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 38．（2024春•青浦区校级月考）比较大小　 　 ．（填“＞”或“＜”＝） 39．（2025秋•闵行区校级月考）比较大小：　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 40．（2024秋•闵行区校级期中）有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　 　 ． 41．（2025秋•杨浦区校级月考）比较大小． （1）　 　 ； （2）　 　 ． 42．（2025秋•上海校级期中）课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数： 因为，所以，则有． 请你设计一种方法比较与的大小． 43．（2025秋•松江区月考）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为4，所以2 　 　 2，所以 　 　 （填“＞”或“＜”）； 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，所以4 　 　 0，所以 　 　 0，所以 　 　 （填“＞”或“＜”）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【考点5】实数运算 （第44—53题） 📌 方法总结： · 先算乘方、开方，再乘除，后加减。 · 化简绝对值时注意符号。 · 有理数与无理数相等⇒有理数部分相等，无理数部分系数相等。 · 新定义运算：理解规则，代入计算。 44．（2025秋•浦东新区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．的平方根是±4 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 45．（2023春•宽城区期末）　 　 ． 46．（2026春•虹口区校级月考）方程的解为　 　 ． 47．（2025秋•闵行区校级期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算　 　 ．（直接写出计算结果） 48．（2025秋•浦东新区校级期中）计算的值　 　 ． 49．（2026春•浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足． （1）求x，y的值； （2）求x+2y的平方根． 50．（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）． 51．（2025秋•金山区期末）计算：． 52．（2025秋•浦东新区期中）我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）　 　 ． 53．（2025秋•宝山区校级月考）计算：． 【考点6】近似数和科学计数法 （第54—60题） 📌 方法总结： · 近似数的精确度看最后一位数字所在位。 · 科学计数法：a×10ⁿ（1≤a<10）。 · 有效数字：从左边第一个非零数字起。 · 四舍五入时注意进位的处理。 54．（2023春•杨浦区期末）下列近似数，精确到0.001且有三个有效数字的是（　　） A．8.010 B．8.01 C．0.801 D．0.081 55．（2025秋•普陀区校级月考）近似数1.50所表示的准确数x的取值范围是　 　 ． 56．（2025秋•徐汇区校级月考）用科学记数法将4298207292保留三个有效数字　 　 ． 57．（2024春•闵行区期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为h＝4.9t2（不计空气阻力）．一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有 　 　 秒（精确到1秒）． 58．（2026春•松江区校级月考）随着经济的飞速发展，碳排放与能源问题日益凸显，资料显示，2025年全国太阳能发电量约为1.4万亿kWh，约占全国发电总量的10%．那么2025年全国发电总量约为　 　 kW•h．（用科学记数法表示） 59．（2025秋•浦东新区校级期中）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约0.0000000004米，其中0.0000000004用科学记数法表示为 　 　 ． 60．（2026春•浦东新区校级月考）据2026年航天相关报告，某科技公司的“星链”星座在轨规模已扩展至9399颗，将9399用科学记数法表示为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 无理数判定作业2 无理数计数作业3 科学计数法作业4 算术平方根规律 作业5 数轴与勾股作业6 近似数范围作业7 数轴与圆弧作业8 实数比较 作业9 根式化简作业10 实数比较作业11 绝对值化简作业12 含参比较 作业13 二次根式比较作业14 无理方程作业15 科学计数法作业16 实数混合运算 作业17 整数指数幂作业18 实际应用作业19 小数部分与整数部分作业20 正方形翻滚 ❤ 复习建议  实数章节概念多，注意区分有理数与无理数，掌握绝对值化简和大小比较的技巧。运算时注意符号和根式的化简。科学记数法和近似数是常考基础，务必熟练。建议结合数轴理解实数与点的对应关系，多做综合题提升应用能力。 【作业1】（2025秋•鹿城区期末）在3.14，﹣4，0，这四个数中，属于无理数的是（　　） A．3.14 B．﹣4 C．0 D． 【作业2】（2026春•陆良县期中）在3.14、、、、π、0.1010010001…（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业3】（2026春•海州区校级期中）在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为0.00009dm．数据0.00009用科学记数法表示为（　　） A．9×10﹣6 B．9×10﹣5 C．9×10﹣4 D．9×10﹣3 【作业4】（2026春•滨州期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若1.30，4.11，，则（　　） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【作业5】（2026春•邹城市期末）如图，已知OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝1，以原点为圆心，以OB的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2026•达州校级开学）一个三位小数保留两位小数的近似值是8.70，这个小数在“四舍五入”前最大是　 　 ，最小是　 　 ． 【作业7】（2025秋•金水区校级期末）如图，长方形OABC放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为　 　 ． 【作业8】（2026春•弋阳县期末）比较大小：　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【作业9】（2026春•安丘市校级期末）已知b＜a＜0，则的值是　 　 ． 【作业10】（2025秋•杨浦区校级期中）比较大小： 　 　 ． 【作业11】（2025秋•闵行区期中）若a+b+c＞0，abc＜0，则 　 　 ． 【作业12】（2025秋•杨浦区校级月考）比较大小：　 　 ．（用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”填空） 【作业13】（2025秋•闵行区校级月考）比较大小：　 　 （填不等号）． 【作业14】（2026春•虹口区校级月考）方程的解为　 　 ． 【作业15】（2025秋•徐汇区校级月考）用科学记数法将4298207292保留三个有效数字　 　 ． 【作业16】（2026春•浦东新区校级期中）计算：． 【作业17】（2025秋•黄浦区校级期末）计算：． 【作业18】（2025秋•浦东新区校级期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2，8dm2和18dm2的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板C的边长为 　 　 dm； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【作业19】（2025秋•溧阳市校级月考）【阅读理解】【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：如果，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝1，． 【材料二】例题：已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴x﹣2y＝﹣4且﹣x＝2，解得：x＝﹣2，y＝1． （1）如果，其中m是整数，且0＜n＜1，那么m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求x+y的值． 【作业20】（2025秋•浦东新区校级期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形ABCD． （1）则大正方形ABCD的边长为　 　 ； （2）将图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为﹣1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点C翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P时，点P表示的数为　 　 ； （3）是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A、B、C、D中某个点与数轴上的2025重合？答：　 　 （填“存在”或“不存在”）； （4）在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数　 　 对应的点重合． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $