19.2 实数 暑期预习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 课题：19.2实数 知识点一： 1.有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无限循环小数化成分数方法一：（通用解方程法适用于解答题） 例题讲解： 例1：（选学） 解： 例3：将化成分数（选学） 【课堂反馈】 （1）将无限循环小数化成分数． （2）将无限循环化成分数 无限循环小数化成分数方法二：（直接法：适用填空题和选择题） 纯循环纯小数（整数部分为0+循环小数）：纯循环纯小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子． 纯循环带小数（整数 + 循环小数） 整数部分保留，只把小数循环部分化成分数； 循环节有几位，分母写几个 9，循环节作分子，最后合并 混循环带小数（整数 + 不循环 + 循环） 分子 = 小数点后全部数字 − 不循环部分数字；分母 = 循环位数写 9，不循环位数后面补 0整数部分直接加到分数前面，再通分合并 例题讲解： 将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二： 无限不循环小数又叫作无理数.例如，、、2等都是无理数，π也是无理数. 例题讲解： 实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 例题讲解： 在四个实数，0，，3.14 中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 知识点三： 1.实数与数轴上的点— —对应 任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示.这样，除任意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯 一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点.反之，数轴上任意 给定的一点可对应一个有理数或一个无理数.所以，实数与数轴上的点— —对应. 2.实数的绝对值 ①实数的绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|. ②实数绝对值的特点：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. ③一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,一个负实数的绝对值是它的相反数.设a表示一个实数，则 3.实数的分类 例题讲解： 下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 例题讲解： 如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【课堂反馈】 如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 知识点四： 实数混合运算的顺序实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减. 例题讲解： 计算： (1)； (2)． 【课堂反馈】 计算： (1)； (2) 知识点五： 实数的绝对值和大小比较 ①数轴法：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示实数时，这些点从左到右的顺序，就是实数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. ②法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法： 1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法； 2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法； 3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法． 4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法． 5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则． 例题讲解： 比较下列各数的大小： （1）； （2）． 【课堂反馈】 （1）大于的整数是______________； （2）的整数部分是a，小数部分为b，则=_____________ 知识点六： 科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 科学计数法 春季来临，人民公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓．某品种郁金香花粉直径约为米，数据用科学记数法表示为 ． 【课堂反馈】 1.是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000 ． 2. 用科学记数法表示下列各数 （1）0.00076 （2）10200000 沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义（参考答案） 课题：19.2实数 知识点一： 1.有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无限循环小数化成分数方法一：（通用解方程法适用于解答题） 例题讲解： 例1：（选学） 解： 例3：将化成分数（选学） 【课堂反馈】 （1）将无限循环小数化成分数． 分析：设，根据题中方法把化为分数即可． 解：设，即， 则， 所以， 解方程得：． 故答案为：． （2）将无限循环化成分数 分析：本题主要考查的是一元一次方程的运用，即通过方程形式，把无限循环小数化成分数形式．设，根据题中方法把y化为分数即可． 解：设这个分数是， 则， 则， 则， 解得：， 故答案为：． 无限循环小数化成分数（直接法：适用填空题和选择题） 纯循环纯小数（整数部分为0+循环小数）：纯循环纯小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子． 纯循环带小数（整数 + 循环小数） 整数部分保留，只把小数循环部分化成分数； 循环节有几位，分母写几个 9，循环节作分子，最后合并 混循环带小数（整数 + 不循环 + 循环） 分子 = 小数点后全部数字 − 不循环部分数字；分母 = 循环位数写 9，不循环位数后面补 0整数部分直接加到分数前面，再通分合并 例题讲解： 将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 解析： （2） （3） （4） 知识点二： 无限不循环小数又叫作无理数.例如，、、2等都是无理数，π也是无理数. 例题讲解： 实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 分析：本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 解：， 无理数为：，， 故选：D． 例题讲解： 在四个实数，0，，3.14 中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 分析：本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 解：A、是分数，可表示为两个整数的比，属于有理数，故不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故不符合题意； C、是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，故符合题意； D、3.14 是有限小数，可化为分数，属于有理数，故不符合题意； 知识点三： 1.实数与数轴上的点— —对应 任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示.这样，除任意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯 一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点.反之，数轴上任意 给定的一点可对应一个有理数或一个无理数.所以，实数与数轴上的点— —对应. 2.实数的绝对值 ①实数的绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|. ②实数绝对值的特点：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. ③一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,一个负实数的绝对值是它的相反数.设a表示一个实数，则 3.实数的分类 例题讲解： 下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 分析：无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可． 解：、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确； 、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误； 、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误； 、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误； 故选：． 例题讲解： 如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 分析：本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【课堂反馈】 如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 分析：本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出在3和4之间，再结合数轴即可得出结果． 解：∵， ∴， ∴在3和4之间， ∴与表示数的点最接近的是点是点P． 故选：D． 知识点四： 实数混合运算的顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减. 例题讲解： 计算： (1)； (2)． 分析：本题主要考查了求平方根和立方根，绝对值，二次根式的加减法， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），根据二次根式的加减法法则计算即可． （1）解：原式； （2）解：原式 ． 【课堂反馈】 计算： (1)； (2) 分析：（1）先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）解： ； （2）解： ． 知识点五： 实数的绝对值和大小比较 ①数轴法：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示实数时，这些点从左到右的顺序，就是实数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. ②法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 两个实数的大小比较 两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样． 负数小于零；零小于正数． 两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小． 从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大． 比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法： 1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法； 2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法； 3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法． 4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法． 5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则． 例题讲解： 比较下列各数的大小： （1）； （2）． 答案：（1）；（2）． 解：（1），由，可知； （2） ，，，即 【课堂反馈】 （1）大于的整数是______________； （2）的整数部分是a，小数部分为b，则=_____________． 【答案】（1）2；（2）． 解：（1）∵， ∴满足条件的整数只有2； （2）∵，， ∴． 知识点六： 科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000= - 106 . 科学计数法 春季来临，人民公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓．某品种郁金香花粉直径约为米，数据用科学记数法表示为 ． 答案： 分析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【课堂反馈】 1.是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000 ． 答案： 分析：本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：73300000用科学记数法表示为，故答案为：． 3. 用科学记数法表示下列各数 （1）0.00076 （2）10200000 分析：本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式 （1） 答案： （2）答案： 解析： 1 学科网（北京）股份有限公司 $