第19章 实数（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第19章 实数 教学目标 1. 算术平方根与平方根； 2. 立方根； 3. 有理数的小数形式、无理数； 4. 实数与数轴、实数的绝对值与大小比较； 5. 实数的运算，科学计数法。 教学重难点 1.重点 （1）理解从有理数到无理数，数的范围扩充； （2）认识并理解实数的有关概念，如平方根、立方根； （3）会进行实数的运算。 2.难点 （1）概念辨析； （2）性质应用； （3）实数的综合应用。 知识点1 算术平方根与平方根 1.算术平方根 ①算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根. ②a的算术平方根记为“ ”，读作“根号a”.a叫作被开方数. ③因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0； 可简记为算术平方根的“双重非负性”。 2.算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 3.平方根 ①平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. ②开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.例如，求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数. 开平方与平方互为逆运算. 4.平方根的特点 ①正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； ②0的平方根是0; ③负数没有平方根. 5.平方根的表示 正数a的两个平方根可以用符号“±” 表示.其中，“+ ” 表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“-” 表示a的负的平方根，读作“负根号a”. 0的平方根记为“ ”, =0 . 【即学即练】 1．下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的性质逐项判断即可． 【详解】A．4是16的一个平方根，说法正确，不符合题意； B．81的平方根是，说法正确，不符合题意； C．是25的一个平方根，说法正确，不符合题意； D．25的平方根是，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案． 【详解】解：∵实数a的一个平方根是2， ∴它的另一个平方根是， 故选：A． 3．的算术平方根是（    ） A． B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算．首先根据算术平方根的定义求出的值，然后利用算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：, 的算术平方根是， 故选：D． 知识点2 立方根 1.立方根 ①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a, 即x³=a, 那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a 叫作被开方数. ②开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数. 开立方和立方互为逆运算. ③立方根的表示：类似平方根，一个数a的立方根用符号“”表示. 2.立方根的特点 ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0; ③负数的立方根是负数. ④任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 3.立方根的性质 立方根等于它本身的数是0或±1. 4.立方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（   ） A．的立方根是 B．8的立方根是 C．立方根是6的数是216 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查立方根，根据方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．的立方根是，原说法正确，不符合题意； B．的立方根是，原说法错误，符合题意； C．立方根是6的数是216，原说法正确，不符合题意； D．的立方根是，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．下列各数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，要熟悉相反数的定义和立方根的定义、求一个数的算术平方根． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，且一对相反数的和为0即可解答． 【详解】解：A.,故A不符合题意， B. ，，与互为相反数,故B符合题意， C. ,故C不符合题意， D. ,故D不符合题意． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．任何数的立方根都只有一个 B．如果一个数有立方根，那么这个数一定有平方根 C．一个数的立方根比这个数的平方根小 D．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 【答案】A 【分析】本题考查的是立方根的含义，考查一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，同时考查负数没有平方根，熟悉以上基础知识是解本题的关键． 利用立方根的意义对每个选项的说法进行逐一判断即可． 【详解】解：∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0， ∴A选项说法正确；D选项说法不正确． ∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，∴B选项说法不正确； 一个数的立方根不一定比这个数的平方根小，例如0的平方根和立方根相等， ∴C选项说法不正确； 综上，说法正确的是A选项， 故选：A． 知识点3 有理数的小数形式 无理数 1.有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无限循环小数化成分数 ①循环节为1位数 ②循环节为2位数 ③循环节为3位数 3.无理数 无限不循环小数又叫作无理数.例如，、、2等都是无理数，π也是无理数. 【即学即练】 1．实数，，，，（相连两个3之间依次多一个0），其中无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，熟练掌握无理数就是无限不循环小数是解题的关键． 【详解】解：，，，是有理数， ，（相连两个3之间依次多一个0）是无理数，共有2个． 故选：B 2．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 3．我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得． 请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【分析】设，根据题中方法把化为分数即可． 【详解】解：设，即， 则， 所以， 解方程得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的运用，关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限循环小数化成分数形式． 知识点4 实数与数轴 实数的运算 1.实数与数轴上的点— —对应 任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示.这样，除任意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯 一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点.反之，数轴上任意 给定的一点可对应一个有理数或一个无理数.所以，实数与数轴上的点— —对应. 2.实数的绝对值 ①实数的绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|. ②实数绝对值的特点：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. ③一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,一个负实数的绝对值是它的相反数.设a表示一个实数，则 3.实数混合运算的顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减. 4.实数的绝对值和大小比较 ①数轴法：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示实数时，这些点从左到右的顺序，就是实数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. ②法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 5.科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 【即学即练】 1．比较大小： （填“，或”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键．由正实数零负实数及两个正实数比较大小，被开方数大的数就大，据此即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 2．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值． 利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案． 【详解】解： 即 故选：D． 3．的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了实数的性质，绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义可得出的绝对值，根据相反数的定义可得出的相反数． 【详解】解：的绝对值是：， ∴的相反数是：， 故答案为：，． 4．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，无理数的估算，实数的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意； B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、，故的整数部分是3，原说法错误，符合题意； 故选：D． 5．分子的直径约为，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 6．计算∶． 【答案】 【分析】根据零指数幂，完全平方公式和平方差公式进行化简，求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了零指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算性质． 题型01 判断无理数 【典例1】．实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数为：，， 故选：D． 【变式1】．在四个实数，0，，3.14 中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是分数，可表示为两个整数的比，属于有理数，故不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故不符合题意； C、是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，故符合题意； D、3.14 是有限小数，可化为分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 题型02 平方根、立方根概念辨析、计算 【典例1】．下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是5的一个平方根 D．8的立方根是 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义及运算顺序逐一分析选项． 本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的平方根是，错误，本选项，不符合题意；     B. ，没有平方根，错误，本选项，不符合题意； C. 是5的一个平方根，正确，本选项，符合题意；     D. 8的立方根是２，错误，本选项，不符合题意； 故选：C． 【变式1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，据此求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、没有意义，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根，掌握平方根、算术平方根及立方根的定义是银题的关键． 根据平方根、算术平方根及立方根的定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A． ，原计算错误，故此选项不符合题意． B． ，正确，故此选项符合题意． C． ，算术平方根非负，原计算错误，故此选项不符合题意． D． ，因，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】．一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根的性质，正确得出a的值是解题关键．直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是：与， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故答案为：． 题型03 实数概念辨析 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【答案】A 【分析】无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可． 【详解】、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确； 、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误； 、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误； 、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，无理数，实数的定义，解题的关键在于正确区分各名词的含义． 【变式1】．学习了无理数之后，对于说法正确的是（   ） Ⅰ：表示的意义是26的算术平方根； Ⅱ：面积是26的正方形的边长是； Ⅲ：的大小界于两个连续整数4与5之间； A．三个都正确 B．只有Ⅰ与Ⅱ正确 C．只有Ⅱ与Ⅲ正确 D．只有Ⅱ不正确 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的意义，算术平方根以及无理数的估算，解题的关键是充分理解相应概念，掌握估算无理数的方法． 根据算术平方根的定义、正方形面积与边长的关系以及无理数的估算方法，逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：Ⅰ：表示26的算术平方根，因此Ⅰ正确． Ⅱ：正方形的面积等于边长的平方，因此面积是26的正方形的边长为，故Ⅱ正确． Ⅲ：比较的大小，因为，，而，所以，故Ⅲ错误． 综上，Ⅰ和Ⅱ正确，Ⅲ错误， 故选：B． 题型04 实数与数轴 【典例1】．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式1】．如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出在3和4之间，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴在3和4之间， ∴与表示数的点最接近的是点是点P． 故选：D． 【变式2】．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义，实数与数轴，求得是解题的关键． 根据正方形的面积得出正方形的边长为，从而可得，进而得到点E所表示的数． 【详解】J解：正方形的面积为3， 正方形的边长为， ∴， E点所表示的数为． 故选：C． 【变式3】．数轴上的点A、B依次表示两个实数． （1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置； （2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数． 【答案】（1）见解析；（2）或﹣3 【分析】（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置． （2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算． 【详解】解：（1）如图： （2）设点C表示的数是x，则： |x+|＝2． ∴x＝或﹣3． ∴点C表示的数是或﹣3． 【点睛】本题考查数轴上的点与实数的对应关系即数轴上两点间的距离公式，正确使用距离公式是求解本题关键． 题型05 无理数的估算 【典例1】．估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 【变式1】．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 题型06 算术平方根、立方根的性质 【典例1】．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性以及立方根的定义，根据绝对值和算术平方根的非负性求出，再求解立方根即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ， 的立方根是， 故答案为：． 【变式1】．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出且，得出，再进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 得， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及非负性，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：①的平方根是，故①错误； ②与相反数，故②正确； ③，则且，解得，，即，故③正确； 0.1的算术平方根是，故④错误； 综上分析可知，正确的是②③，有个， 故选：B． 题型07 无理数的小数部分、整数部分 【典例1】．若的整数部分为，小数部分为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【变式1】．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 【变式2】．已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根和立方根定义，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算即可． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为3， 的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分， ，，， 解得：，，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ． 题型08 实数的运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和立方根，绝对值，二次根式的加减法， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式1】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，无理数，先算出，结合8是有理数，得，又因为2是有理数，则是无理数， 【详解】解：依题意，当输入的x值为64时，则 ∵8是有理数， 则 ∵2是有理数， 则是无理数， ∴输出的y值是 故选：B 题型09 实数的几何应用+实际应用 【典例1】．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，涉及无理数范围的估算，根据题意，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，根据勾股定理得到长度为，结合无理数范围的估算方法即可得到该正方形的边长最接近整数． 【详解】解：根据题意可知，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，则边长为， ∵， ∴， 又∵， ∴，即与最接近的整数是， ∴该正方形的边长最接近整数是． 故选：C． 【变式1】．图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 【变式3】．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可． 【详解】解：∵正方体蓄水池容积为， ∴正方体蓄水池的棱长为． 故答案为：5． 题型10 科学计数法 【典例1】．春季来临，郑州人民公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓．某品种郁金香花粉直径约为米，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式1】．是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】73300000用科学记数法表示为， 故答案为：． 题型11 无限循环小数写为分数 【典例1】．我们知道分数写为小数的形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即，事实上，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，例如将无限循环小数化成分数时，可设，由可知，，所以，解得，即，仿此方法，将化成分数是 ．（写成最简分数） 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的运用，即通过方程形式，把无限循环小数化成分数形式．设，根据题中方法把y化为分数即可． 【详解】解：设这个分数是， 则， 则， 则， 解得：， 故答案为：． 【变式1】．将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （3）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可； （4）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查循环小数化为分数的方法．纯循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子． 题型12 小数点移动问题 【典例1】．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：6.69． 【变式1】．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 题型13 反证法证明无理数 【典例1】．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互素的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互素的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互素的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互素的整数矛盾， 是无理数． 【变式1】．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【答案】(1)①表示的代数式；②表示的代数式 (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互素的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 一、单选题 1．在，，，，，（每两个3之间依次多一个零）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴在，，，，，（每两个3之间依次多一个零）中，无理数有，（每两个3之间依次多一个零），共2个． 故选：A． 【点睛】本题考查无理数的识别，理解无理数的定义：无限不循环小数，是解题关键． 2．下列说法正确的是（    ） A．是25的算术平方根 B．6是的算术平方根 C．49的平方根是 D．64的立方根是 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可判断． 【详解】解：A： 25的算术平方根是，故A错误； B：，负数没有算数平方根，故B错误； C：49的平方根是，故C正确； D：64的立方根是，故D错误 故选：C 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的求解．熟记相关计算法则即可． 3．下列说法正确的个数是（    ） ①最大的负整数是；       ②所有实数和数轴上的点一一对应； ③没有平方根；           ④任何实数的立方根有且只有一个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平方根与立方根的性质，实数与数轴的性质进行分析即可． 【详解】解：①最大的负整数是，正确，符合题意； ②所有实数和数轴上的点一一对应，正确，符合题意； ③没有平方根，错误，不符合题意； ④任何实数的立方根有且只有一个，正确，符合题意； 故①②④符合题意，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴，立方根和平方根，熟练掌握实数与数轴的特点，立方根和平方根的定义和性质是解题的关键． 4．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴与互为相反数，符合题意； B、∵，∴与不互为相反数，不符合题意； C、∵，∴与不互为相反数，不符合题意； D、∵，，∴与不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方和立方根的定义，以及只有符号不同的数是相反数． 5．数轴上的两点A、B分别表示实数和，则A、B两点之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】两个数的差的绝对值即是数轴上两点的距离，据此作答即可． 【详解】根据题意，可得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求解数轴上两点的距离，掌握两个数的差的绝对值即是数轴上两点的距离，是解答本题的关键． 6．根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 【答案】B 【分析】确定的范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由表格数据可知：在之间 故选：B 【点睛】本题考查算术平方根的估值．确定被开方数的范围是解题关键． 二、填空题 7．比较大小： ； ． （填“＞”或“＜”） 【答案】 < < 【分析】和可直接比较，和可通过比较（）6和（）6来实现，由此即可解决问题． 【详解】解：＜； ∵（）6＜（）6， 即100＜125， 故＜． 故填空答案：＜，＜． 【点睛】本题考查实数的大小的比较，解题的关键是知道如果还有根号，首先通过乘方化为根指数相同的根式，然后比较． 8．的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 9．把无理数，，﹣表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．    【答案】 【分析】由数轴先判断出被覆盖的无理数的范围，再确定出，，–的范围即可得出结论． 【详解】解：由数轴知，被墨迹覆盖住的无理数在3到4之间， ∵9<11<16， ∴3<<4， ∵4<5<9， ∴2<<3， ∵1<3<4， ∴1<<2， ∴–2<–<–1， ∴被墨迹覆盖住的无理数是， 故答案为． 【点睛】此题主要实数与数轴，算术平方根的范围，确定出，，–的范围是解本题的关键． 10．已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据，可得出的值，继而得出的值，、的值代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ，， 则，而9的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，估算出的大小是解题的关键． 11．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对400只需进行 次操作后变为1． 【答案】4 【分析】根据新定义逐次计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ∴400只需进行4次操作后变为1， 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义的运算规则． 三、解答题 12．把下列各数分别填在相应的横线上：，，，，0，，21，，． 整数：_______________． 分数：_______________． 无理数：_____________． 【答案】见解析 【分析】根据整数、分数、无理数的定义即可求解． 【详解】解：，，因此分类如下： 整数：，0，21，； 分数：，，； 无理数：，． 【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义． 13．（1）计算：； （2）求下列各式的x值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）先计算立方根，算术平方根，有理数的乘方和化简绝对值，再进行加减运算即可； （2）①直接利用平方根的定义计算，即得出答案； ②直接利用立方根的定义计算，即得出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①∵ ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查实数的混合运算，利用平方根和立方根的定义解方程，正确掌握相关运算法则和定义是解题关键． 14．在数轴上表示下列各数，并用“”连接．，，，． 【答案】见解析， 【分析】根据实数在数轴上的表示方法和数轴上的数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：如图， 故． 【点睛】此题考查了实数在数轴上的表示方法，比较数轴上数的大小，解题的关键是熟练掌握实数在数轴上的表示方法，比较数轴上数的大小的方法． 15．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．    (1)这个魔方的棱长为__________． (2)图1的侧面有一个正方形ABCD，求这个正方形的面积和边长． (3)将正方形ABCD放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则D在数轴上表示的数为__________． 【答案】(1)6 (2)面积是，边长是 (3) 【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方，再利用立方根的含义求解即可； （2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度，利用勾股定理求解即可； （3）由，把A往左边平移个单位即可得到D点表示的数． 【详解】（1）解：解：设魔方的棱长为， 根据题意得， ∴， 故答案为6． （2）设小正方体的棱长为， 根据题意得 ， ∴ ∴所以根据勾股定理得 ， ∴，正方形的面积为18， 答：这个正方形的面积是，边长是． （3）由（2）知，， ∵点A对应的数是2， ∴把A往左边平移个单位长度可得点D对应的数是． 【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理，二次根式的化简，正方体的体积=棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示． 16．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分．请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是______________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4； (2) (3) 【分析】（1）先估算出在那两个整数之间，然后表示出其小数部分和整数部分即可； （2）先根据的小数部分为的整数部分为，求出a、b的值，然后求出的平方根即可； （3）根据，其中是整数，且，得出为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4；． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：， ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴， ∴的平方根为． （3）解：∵，其中是整数，且， ∴为的整数部分，y为的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 【点睛】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数 教学目标 1. 算术平方根与平方根； 2. 立方根； 3. 有理数的小数形式、无理数； 4. 实数与数轴、实数的绝对值与大小比较； 5. 实数的运算，科学计数法。 教学重难点 1.重点 （1）理解从有理数到无理数，数的范围扩充； （2）认识并理解实数的有关概念，如平方根、立方根； （3）会进行实数的运算。 2.难点 （1）概念辨析； （2）性质应用； （3）实数的综合应用。 知识点1 算术平方根与平方根 1.算术平方根 ①算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根. ②a的算术平方根记为“ ”，读作“根号a”.a叫作被开方数. ③因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0； 可简记为算术平方根的“双重非负性”。 2.算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 3.平方根 ①平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. ②开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.例如，求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数. 开平方与平方互为逆运算. 4.平方根的特点 ①正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； ②0的平方根是0; ③负数没有平方根. 5.平方根的表示 正数a的两个平方根可以用符号“±” 表示.其中，“+ ” 表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“-” 表示a的负的平方根，读作“负根号a”. 0的平方根记为“ ”, =0 . 【即学即练】 1．下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 2．已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（   ） A． B． C． D． 3．的算术平方根是（    ） A． B．4 C．8 D．2 知识点2 立方根 1.立方根 ①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a, 即x³=a, 那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a 叫作被开方数. ②开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数. 开立方和立方互为逆运算. ③立方根的表示：类似平方根，一个数a的立方根用符号“”表示. 2.立方根的特点 ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0; ③负数的立方根是负数. ④任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 3.立方根的性质 立方根等于它本身的数是0或±1. 4.立方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（   ） A．的立方根是 B．8的立方根是 C．立方根是6的数是216 D．的立方根是 2．下列各数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列说法正确的是（   ） A．任何数的立方根都只有一个 B．如果一个数有立方根，那么这个数一定有平方根 C．一个数的立方根比这个数的平方根小 D．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 知识点3 有理数的小数形式 无理数 1.有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无限循环小数化成分数 ①循环节为1位数 ②循环节为2位数 ③循环节为3位数 3.无理数 无限不循环小数又叫作无理数.例如，、、2等都是无理数，π也是无理数. 【即学即练】 1．实数，，，，（相连两个3之间依次多一个0），其中无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得． 请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为 ． 知识点4 实数与数轴 实数的运算 1.实数与数轴上的点— —对应 任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示.这样，除任意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯 一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点.反之，数轴上任意 给定的一点可对应一个有理数或一个无理数.所以，实数与数轴上的点— —对应. 2.实数的绝对值 ①实数的绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|. ②实数绝对值的特点：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. ③一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,一个负实数的绝对值是它的相反数.设a表示一个实数，则 3.实数混合运算的顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减. 4.实数的绝对值和大小比较 ①数轴法：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示实数时，这些点从左到右的顺序，就是实数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. ②法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 5.科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 【即学即练】 1．比较大小： （填“，或”）． 2．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．的绝对值是 ，的相反数是 ． 4．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 5．分子的直径约为，数据用科学记数法表示为 ． 6．计算∶． 题型01 判断无理数 【典例1】．实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】．在四个实数，0，，3.14 中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 题型02 平方根、立方根概念辨析、计算 【典例1】．下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是5的一个平方根 D．8的立方根是 【变式1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 题型03 实数概念辨析 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【变式1】．学习了无理数之后，对于说法正确的是（   ） Ⅰ：表示的意义是26的算术平方根； Ⅱ：面积是26的正方形的边长是； Ⅲ：的大小界于两个连续整数4与5之间； A．三个都正确 B．只有Ⅰ与Ⅱ正确 C．只有Ⅱ与Ⅲ正确 D．只有Ⅱ不正确 题型04 实数与数轴 【典例1】．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】0．如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．数轴上的点A、B依次表示两个实数． （1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置； （2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数． 题型05 无理数的估算 【典例1】．估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式1】．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型06 算术平方根、立方根的性质 【典例1】．若，则的立方根是 ． 【变式1】．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 无理数的小数部分、整数部分 【典例1】．若的整数部分为，小数部分为，则 ． 【变式1】．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】．已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的值． 题型08 实数的运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算： (1)； (2) 【变式2】．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B． C． D． 题型09 实数的几何应用+实际应用 【典例1】．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【变式2】．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 题型10 科学计数法 【典例1】．春季来临，郑州人民公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓．某品种郁金香花粉直径约为米，数据用科学记数法表示为 ． 【变式1】．是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000 ． 题型11 无限循环小数写为分数 【典例1】．我们知道分数写为小数的形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即，事实上，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，例如将无限循环小数化成分数时，可设，由可知，，所以，解得，即，仿此方法，将化成分数是 ．（写成最简分数） 【变式1】．将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型12 小数点移动问题 【典例1】．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【变式1】．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 题型13 反证法证明无理数 【典例1】．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互素的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【变式1】．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 一、单选题 1．在，，，，，（每两个3之间依次多一个零）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法正确的是（    ） A．是25的算术平方根 B．6是的算术平方根 C．49的平方根是 D．64的立方根是 3．下列说法正确的个数是（    ） ①最大的负整数是；       ②所有实数和数轴上的点一一对应； ③没有平方根；           ④任何实数的立方根有且只有一个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．数轴上的两点A、B分别表示实数和，则A、B两点之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 6．根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 二、填空题 7．比较大小： ； ． （填“＞”或“＜”） 8．的算术平方根为 ． 9．把无理数，，﹣表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．    10．已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为 ． 11．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对400只需进行 次操作后变为1． 三、解答题 12．把下列各数分别填在相应的横线上：，，，，0，，21，，． 整数：_______________． 分数：_______________． 无理数：_____________． 13．（1）计算：； （2）求下列各式的x值： ①； ②． 14．在数轴上表示下列各数，并用“”连接．，，，． 15．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．    (1)这个魔方的棱长为__________． (2)图1的侧面有一个正方形ABCD，求这个正方形的面积和边长． (3)将正方形ABCD放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则D在数轴上表示的数为__________． 16．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分．请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是______________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$