专题19.1平方根与立方根 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

本讲义聚焦算术平方根、平方根、立方根核心知识点，系统梳理定义、性质及运算规律，通过思维导图和知识总结表构建概念联系，形成从概念辨析到性质应用再到规律迁移的学习支架。 资料以思维导图总览知识，典例结合几何图形（如正方形面积）和实际问题（如魔方体积），培养几何直观与模型意识。压轴题融合方程求解，提升推理能力，课中辅助教师精准教学，课后练习针对性强，助力学生查漏补缺。

专题19.1平方根与立方根 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 算术平方根、平方根、立方根的概念，能正确区分平方根与算术平方根。 · 掌握 平方根与立方根的性质，能熟练求非负数的平方根、算术平方根及任意实数的立方根。 · 熟练运用 平方根和立方根的运算规律（小数点的移动规律），进行近似计算。 · 能够 解决与平方根、立方根相关的方程问题，会利用算术平方根的非负性求参数值。 · 体会 数形结合、转化思想、方程思想在根式计算中的应用。 ✨ 核心：概念辨析 · 性质应用 · 规律迁移 · 方程求解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 算术平方根 · 定义： 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根。 的算术平方根记为 ，读作“根号 ”。规定：0的算术平方根是0。 · 性质： 算术平方根具有非负性，即 （）。 · 运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。 · 形如 。 ☆ 平方根 · 定义： 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根。即若 ，则 是 的平方根。记作 。 · 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 · 与算术平方根的关系： 正数 的正的平方根就是它的算术平方根。 · 运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的平方根的小数点相应地向左或向右移动一位（注意正负）。 ☆ 立方根 · 定义： 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根。即若 ，则 是 的立方根。记作 。 · 性质： 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。任意实数都有唯一的立方根。 · 运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。 · 重要结论： 。 ☑ 知识总结表 类别 定义 性质 运算规律 算术平方根 非负数 的非负平方根 ， 小数点移动两位，结果移动一位 平方根 平方等于 的数 正数有两个互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根 小数点移动两位，结果移动一位（正负） 立方根 立方等于 的数 实数都有唯一的立方根，符号相同 小数点移动三位，结果移动一位 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】算术平方根 📌 方法总结： · 算术平方根是非负数，一个正数的算术平方根只有一个。 · 已知算术平方根，原数等于它的平方。 · 小数点移动规律：被开方数小数点每移动两位，结果移动一位。 · 非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 · = |x|，注意化简后取绝对值。 1．（2025秋•青浦区校级期中）下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用算术平方根的性质逐项计算判断即可． 【解答】解：A、，等式成立，符合题意； B、，等式不成立，不符合题意； C、，等式不成立，不符合题意； D、，等式不成立，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 2．（2025秋•奉贤区期中）下列说法正确的是（　　） A．9的算术平方根是±3 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．﹣9的算术平方根是﹣3 【分析】根据算术平方根的定义，一个非负数a的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【解答】解：A、9的算术平方根是3，不是±3，选项说法错误，不符合题意； B、9的算术平方根是3，选项说法正确，符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，选项说法错误，不符合题意； D、﹣9是负数，没有算术平方根，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 3．（2025秋•闵行区校级同步）若一个正数的算术平方根是x，则比这个数小5的数的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：由题意知，比这个数小5的数为x2﹣5， 所以其算术平方根为， 故选：B． 【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 4．（2025秋•长宁区期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为s，则其范围为1＜s＜5， 那么其边长在1到之间， 则其边长为， 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，结合已知条件求得正方形ABCD的面积的范围是解题的关键． 5．（2025秋•闵行区校级期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形ABCD，它的面积是50．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据大正方形面积求出边长，再结合AE的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【解答】解：∵四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，大正方形ABCD的面积是50， ∴大正方形的边长， ∵， ∴长方形的宽为， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的周长为， 故答案为：B． 【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 6．（2025秋•闵行区校级期末）16的算术平方根是　4　 ． 【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，据此即可求得答案． 【解答】解：16的算术平方根是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．（2025秋•奉贤区校级期中）已知：11.12≈3.3352，111.2≈10.5452，那么　1.0545　 ． 【分析】根据算术平方根的性质，即可解答． 【解答】解：∵111.2≈10.5452， ∴10.545， ∴1.0545， 故答案为：1.0545． 【点评】本题考查了算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2025秋•宝山区校级期末）如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　　 ． 【分析】先根据与互为相反数，求出x＝3，y＝﹣2，进而得到x2+y＝32+（﹣2）＝7，即可求出x2+y的算术平方根是． 【解答】解：根据题意可知，， ∴2x﹣6＝0，2+y＝0， 解得：x＝3，y＝﹣2， ∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7， ∴x2+y的算术平方根是． 故答案为：． 【点评】本题考查了算术平方根，相反数，掌握相应的定义是关键． 9．（2025秋•松江区期末）已知，则　1.01　 ． 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【解答】解：∵， ∴1.01； 故答案为：1.01． 【点评】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 10．（2025秋•闵行区期末）已知1.732，5.477，那么　54.77　 ． 【分析】先将原式变形为，进而得出答案． 【解答】解：1010×5.477＝54.77． 故答案为：54.77． 【点评】本题主要考查算术平均数，熟练掌握其知识点是解题的关键． 11．（2025秋•浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足3（x﹣2y）﹣（1）y＝9+3，求x﹣y的算术平方根． 【分析】将原式变形为3x﹣7yy＝9+3，由x，y是有理数得出3x﹣7y＝9，y＝3，即可求出x的值，再计算x﹣y的值，然后根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：3（x﹣2y）﹣（1）y＝9+3， 3x﹣6y﹣yy＝9+3， 3x﹣7yy＝9+3， ∵x，y是有理数， ∴3x﹣7y＝9，y＝3， ∴x＝10， ∴x﹣y＝10﹣3＝7， ∵7的算术平方根是， ∴x﹣y的算术平方根是． 【点评】本题考查了算术平方根，正确求出x、y的值是解题的关键． 12．（2024春•浦东新区校级月考）如果代数式﹣x与的值相等，那么代数式的值为 　1　 ． 【分析】先根据代数式﹣x与的值相等得出x＝0，再将x＝0代入进行计算即可． 【解答】解：∵有意义， ∴3x≥0， 即x≥0， ∵代数式﹣x与的值相等， ∴﹣x， 解得x＝0， ∴1． 故答案为：1． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13．（2025秋•闵行区校级期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为　5　 dm2，边长为　　 dm． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形A1B1C1D1，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为　　 dm． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形A1B1C1D1纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【分析】（1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为3xdm，则宽为2xdm，则得出2x×3x＝4.86，解出x，则可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：这个正方形的面积为5dm2的大正方形，边长为； 故答案为：5；． （2）如图， ∵用10个面积为1dm2的小正方形纸片剪拼成一个面积为10dm2的大正方形， ∴拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为； 故答案为：； （3）欢欢的想法不对， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，且它的长宽之比为3：2，设长为3xdm，则宽为2xdm，则有： 2x×3x＝4.86， 解得，x＝±0.9， ∵3x为长方形的长， ∴x＞0， ∴x＝0.9， 则长为3x＝2.7， ∵要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框， ∴长方形的长应当为2×0.3+2.7＝3.3（dm）， ∵3.32＝10.89＞10， ∴假设错误，不能． 【点评】本题主要考查算术平方根的应用，正确进行计算是解题关键． 14．（2025秋•闵行区校级同步）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为375cm2的长方形区域，且长、宽之比为5：3． （1）求原来正方形区域的边长； （2）求修改后长方形的周长； （3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【分析】（1）求出400的算术平方根即可； （2）设长方形的长为5xcm，宽为3xcm，构建方程求解； （3）求出长方形的周长与原来正方形的周长比较即可． 【解答】解：（1）正方形区域的边长为 ， （2）由修改后的长方形的长、宽之比为5：3， 设长方形的长为5xcm，宽为3xcm， 由其面积为375cm2， 所以5x•3x＝375， 即x2＝25， 解得x＝5（负值舍）， ∴长方形的周长为2×（5x+3x）＝16x＝80（cm）， （3）∵这根铁丝长为20×4＝80（cm），长方形的周长＝80cm， ∴铁丝够用． 【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点2】平方根 📌 方法总结： · 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根。 · 已知两个平方根（可能相等），可列方程求解：两平方根之和为0（互为相反数）或相等。 · 小数点移动规律同算术平方根。 · 利用平方根定义解方程：x² = a ⇒ x = ±。 15．（2025秋•徐汇区校级月考）下列说法正确的是（　　） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是±1 D．0没有平方根 【分析】依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【解答】解：A． ，原说法错误，不符合题意； B．2的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C．1的平方根是±1，说法正确，符合题意； D．0的平方根是0，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2025秋•闵行区校级同步）若a≠0，则a2的两个平方根之积等于（　　） A．0 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4 【分析】利用平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵则a2的两个平方根为a，﹣a， ∴则a2的两个平方根的积为﹣a•a＝﹣a2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 17．（2025秋•闵行区月考）一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，那么这个数是（　　） A．121 B．100 C．3 D．9 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10， ∴3a+2﹣7a+10＝0， 解得a＝3， 当a＝3时，3a+2＝11，﹣7a+10＝﹣11， ∴这个数为（±11）2＝121， 故选：A． 【点评】本题考查平方根，连接平方根的定义是正确解答的关键． 18．（2025秋•松江区校级月考）若2k﹣4与3k﹣1是同一个数的平方根，则k的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0．所以分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数． 【解答】解：分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数： 情况一：2k﹣4＝3k﹣1， 2k﹣3k＝﹣1+4， ﹣k＝3， k＝﹣3， 情况二：2k﹣4+3k﹣1＝0， 5k﹣5＝0， 5k＝5， k＝1， 综上，k的值为﹣3或1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，分两种情况（两个平方根相等或互为相反数）讨论是解题的关键． 19．（2025春•青秀区校级月考）16的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±4 D．4 【分析】依据平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16的平方根是±4． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 20．（2026春•浦东新区校级期中）一个正数a的平方根是2x﹣1与2﹣x，则2﹣a的值是　﹣7　 ． 【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求出x的值，进而求出a的值，再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：根据题意，正数a的平方根为2x﹣1和2﹣x． 由于一个正数的两个平方根互为相反数， 因此有：（2x﹣1）+（2﹣x）＝0， 解得：x＝﹣1， 将x＝﹣1代入2x﹣1， 得：2x﹣1＝2（﹣1）﹣1＝﹣3， ∴a的平方根为﹣3和3，即a＝9． ∴2﹣a＝2﹣9＝﹣7． 【点评】题目考查了平方根，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）一个正数的两个平方根分别是a﹣1和﹣3，则a的值为 　4　 ． 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可． 【解答】解：根据题意得：a﹣1+（﹣3）＝0， 解得：a＝4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 22．（2025秋•崇明区期末）如果，那么x的值是　15.21　 ． 【分析】根据算术平方根的定义以及被开方数的小数点与其算术平方根的小数点的移动规律进行解答即可． 【解答】解：∵0.39×10＝3.9， ∴x＝15.21， 故答案为：15.21． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 23．（2025秋•普陀区校级月考）一个数的平方根等于它本身，则这个数是　0　 ． 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵一个数的平方根等于它的本身，零的平方根是零， ∴这个数是0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键． 24．（2025秋•闵行区校级期中）平方是的数是　　 ． 【分析】先把带分数化为假分数，再根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：， ∵， ∴平方是的数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 25．（2025秋•徐汇区校级月考）求下列方程中x的值：（x+1）2+8＝72． 【分析】先通过移项将常数项移到等号右边，得到（x+1）2的表达式，再利用平方根的定义求出x+1的值，进而求出x． 【解答】解：方程（x+1）2+8＝72 移项得： （x+1）2＝72﹣8＝64， 开平方得： ， 即x+1＝±8， 当x+1＝8时，x＝8﹣1＝7； 当x+1＝﹣8时，x＝﹣8﹣1＝﹣9， 所以方程的解为x＝7或x＝﹣9． 【点评】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 26．（2025秋•浦东新区校级月考）解方程：． 【分析】利用平方根的性质求解方程即可． 【解答】解：， ， ， ， x+1或x+1， ∴或． 【点评】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 27．（2021春•浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数求解． （2）将（1）中结果代入求解． 【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． （2）∵3x+2a＝3×9﹣2＝25， ∴25的平方根为±5． 【点评】本题平方根的知识，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数． 28．（2025秋•宝山区校级月考）求下列各数的平方根： （1）6400； （2）0.000016； （3）a4． 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，； （3）根据题意可知，． 【点评】本题考查了平方根，立方根，掌握平方根，立方根的定义是关键． 【考点3】立方根 📌 方法总结： · 任意实数都有立方根，且立方根与原数符号相同。 · 小数点移动规律：被开方数小数点每移动三位，结果移动一位。 · 若  = x，则 x = 0，1，−1。利用立方根定义解方程：x³ = a ⇒ x = 。 29．（2025秋•松江区月考）下列判断正确的是（　　） A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7 C．的立方根是 D．的平方根是 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：A、﹣64的立方根是﹣4，故此选项符合题意； B、49的算术平方根是7，故此选项不符合题意； C、的立方根是，故此选项不符合题意； D、的平方根是，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 30．（2025秋•松江区期末）下列说法正确的是（　　） A．只有正数才有平方根 B．27的立方根是±3 C．是17的一个平方根 D．的算术平方根是4 【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、只有正数和0才有平方根，故A不符合题意； B、27的立方根是3，故B不符合题意； C、是17的一个平方根，故C符合题意； D、的算术平方根是2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 31．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为72cm3，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的棱长为（　　） A．2cm B． C．3cm D． 【分析】利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵二阶魔方的体积为72cm3， ∴每个方块的体积为：72÷8＝9（cm3）， ∴每个小正方体的棱长为． 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是关键． 32．（2025秋•黄浦区期中）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣1＝±1或x﹣1＝0， 当x﹣1＝1时，x＝2； 当x﹣1＝﹣1时，x＝0； 当x﹣1＝0时，x＝1； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 33．（2025秋•闵行区校级期中）已知，那么（　　） A．0.1a B．10a C．0.1b D．10b 【分析】根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【解答】解：∵2025÷1000＝2.025，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 34．（2025秋•上海校级期中）如果，那么的结果约是（　　） A．0.2872 B．0.02872 C．0.6188 D．0.06188 【分析】如果把一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍，如果把一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【解答】解：如果把一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍，如果把一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍， ∵，且，， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍，如果把一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍，做题的关键是掌握以上规律． 35．（2025秋•浦东新区校级期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【解答】解：根据“最美实数”的定义若是“最美实数”，则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根及立方根，理解“最美实数”是关键． 36．（2025秋•长宁区校级月考）已知，那么 　﹣0.235　 ． 【分析】根据立方根的定义将原式化为即可． 【解答】解：∵2.35， ∴0.235． 故答案为：﹣0.235． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 37．（2026春•闵行区校级期末）等底等高的一个圆柱和一个圆锥，它们的体积之和是24π，高都为8，则它们的底面半径为　　 ． 【分析】利用等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，结合已知的体积和列出关于底面半径的方程，求解方程得到正数解即为所求底面半径． 【解答】解：设底面半径为r，由条件可知： ， ∴， ∵底面半径为正数， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平方根、立方根、圆锥的体积、圆柱的体积，熟练掌握以上知识点是关键． 38．（2026春•浦东新区校级期中）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　2　 ． 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出x，y的值，进而求出xy的立方根即可． 【解答】解：根据题意，得， ∵，， ∴1﹣2x＝0，y﹣16＝0， ，解得， ∴xy8， ∵8的立方根是2， ∴xy的立方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，正确计算是解题的关键． 39．（2025秋•浦东新区校级期末）已知，如果，则x≈　5230000　 ． 【分析】通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【解答】解：已知． 所以x≈1003×5.23＝1000000×5.23＝5230000． 故答案为：5230000． 【点评】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 40．（2025秋•虹口区期中）观察表格规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律解答，若1.333，2.872，则　0.2872　 ． 【分析】根据立方根的小数点的移动规律解答即可． 【解答】解：∵2.872， ∴0.2872． 故答案为：0.2872． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 41．（2026春•浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 【分析】（1）根据算术平方根的定义，绝对值以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据a＜c＜b，确定a、b、c的值，再求出5a+2b﹣c的值，由立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2， ∴a＝±4，b3，3c﹣2＝﹣8， 即a＝±4，b＝3，c＝﹣2； （2）∵a＜c＜b， ∴a＝﹣4，b＝3，c＝﹣2， ∴5a+2b﹣c＝﹣20+6﹣（﹣2）＝﹣20+6+2＝﹣12， ∴5a+2b﹣c的立方根为． 【点评】本题考查算术平方根、立方根以及绝对值，掌握算术平方根、立方根以及绝对值的定义是正确解答的关键． 42．（2025秋•浦东新区校级月考）已知2x﹣1的算术平方根是3，2y+3的立方根是﹣1，求x﹣y的平方根． 【分析】根据定义计算即可． 【解答】解：由条件可知2x﹣1＝9， 解得：x＝5， 由条件可知2y+3＝﹣1， 解得：y＝﹣2， ∴x﹣y＝5﹣（﹣2）＝7， ∴x﹣y的平方根是． 【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握以上知识点是关键． 43．（2025秋•黄浦区校级月考）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ （1）【发现与思考】因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以是两位数．因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是　9　 ．因为303＝27000，403＝64000，所以的十位数字是　3　 ，所以　39　 ． （2）【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出185193的立方根． 【分析】（1）根据推导过程即可完成填空； （2）结合（1）中的推导过程即可求解． 【解答】解：（1）∵59319的个位数字是9， ∴的个位数字是9， ∵303＝27000，403＝64000， ∴的十位数字是3， ∴． 故答案为：9；3；39； （2）∵103＝1000，1003＝1000000， 又∵1000＜185193＜1000000， ∴是两位数， ∵185193的个位数字是3， ∴的个位数字是7， ∵503＝125000，603＝216000， ∴的十位数字是5， ∴． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是关键． 44．（2025秋•闵行区校级月考）观察下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：　被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位　 ； （2）根据你发现的规律填空：已知． 则　0.2284　 ，　﹣228.4　 ； 若，则x≈　0.0005217　 ； （3）拓展提升： ①已知，则　﹣7.697　 ； ②已知，则　14.42　 ． 【分析】（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【解答】解：（1）由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位， 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）∵． ∴，； 若，则x≈0.0005217， 故答案为：0.2284，﹣228.4，0.0005217； （3）①∵知， ∴， 故答案为：﹣7.697； ②∵， ∴， 故答案为：14.42． 【点评】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 立方根性质判断 作业2 立方根求参数 作业3 概念辨析 作业4 平方根与立方根性质 作业5 算术平方根概念 作业6 算术平方根移动规律 作业7 圆锥体积与半径 作业8 平方根参数求解 作业9 立方根移动与符号 作业10 平方根移动规律 作业11 平方根与算术平方根 作业12 平方根与立方根综合 作业13 面积与周长应用 作业14 绝对值与立方根 作业15 自由落体与动能 作业16 面积与不等式应用 ❤ 复习建议 平方根与立方根是实数运算的基础，务必准确区分平方根与算术平方根，熟练掌握小数点移动规律，理解非负性的应用。新定义问题要抓住定义本质转化方程，压轴题往往结合面积、几何图形，要善于建模。 【作业1】（2025秋•上海校级期中）以下关于平方根与立方根说法正确的是（　　） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的概念与性质逐项判断即可得． 【解答】解：A．任何实数都有1个立方根，正确，此选项符合题意； B．一个正实数的算术平方根只有1个，平方根有2个，不正确，此选项不符合题意； C．0和正数有算术平方根，不正确，此选项不符合题意； D．正数负的平方根小于其立方根，不正确，此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． 【作业2】（2025秋•金山区期中）已知，则a的值为（　　） A．9 B．±9 C．±3 D．3 【分析】根据立方根的定义得出1﹣a＝﹣8，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣a＝（﹣2）3，即1﹣a＝﹣8， ∴a＝9， 故选：A． 【点评】本题主要考查立方根，熟记立方根的定义是解题的关键． 【作业3】（2025秋•上海校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数。其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【解答】解：①非负数有平方根，原说法“任何数都有平方根”错误； ②8，2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④（﹣4）3的立方根是﹣4，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C． 【点评】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 【作业4】（2025秋•宝山区校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．平方根与立方根相等的数只有0 B．立方根等于它本身的数只有0和±1 C．7是49的算术平方根 D．0.01是0.1的一个平方根 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、平方根与立方根相等的数只有0，说法正确，选项不符合题意； B、立方根等于它本身的数只有0和±1，说法正确，选项不符合题意； C、7是49的算术平方根，说法正确，选项不符合题意； D、0.1是0.01的一个平方根，说法错误，选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是关键． 【作业5】（2025秋•闵行区校级同步）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有算术平方根 B．16的算术平方根是4 C．的算术平方根是4﹣π D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0 【分析】判断各选项关于算术平方根的说法是否正确，需依据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）逐一分析． 【解答】解：对于A，负数没有算术平方根，故A错误； 对于B，4，16的算术平方根是4，故B正确； 对于C，（因为π≈3.14＜4）．再求4﹣π的算术平方根，即，而不是4﹣π本身，因此该说法错误； 对于D，设这个数为x，若其算术平方根等于它本身，则，解方程得x＝0或x＝1（因为，），所以“这个数是0”说法错误． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟练运用算术平方根的定义解答． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级月考）已知，则　0.388　 。 【分析】把0.114写成11.4×0.01的形式，再根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：0.10.1×3.88＝0.388， 故答案为：0.388． 【点评】本题考查的是算术平方根，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【作业7】（2026春•杨浦区期末）已知一个圆锥形零件的体积是24π cm3，高为8cm，那么这个圆锥形零件的底面半径为　3　 cm。 【分析】先根据圆锥体积公式求出底面积，再根据圆的面积公式计算底面半径即可． 【解答】解：设圆锥形零件的底面积为Scm2，底面半径为rcm，则： 得， 解得S＝9π， 又∵圆的面积公式为S＝πr2， ∴πr2＝9π， 化简得r2＝9， ∴r＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是关键． 【作业8】（2025秋•黄浦区期末）已知3x+1和x﹣1是一个正数的不同平方根，则这个正数是　1　 。 【分析】一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，据此解答即可． 【解答】解：由题意得：（3x+1）+（x﹣1）＝0， 解得x＝0， ∴3x+1＝0+1＝1，x﹣1＝0﹣1＝﹣1， ∴这个正数是（±1）2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业9】（2025秋•宝山区校级期中）已知4.098，且40.98，则x≈　68800　 。 【分析】根据立方根中小数点的移动规律，判定被开方数的移动规律，进而得到结论即可． 【解答】解：∵立方根的小数点向右移动了1位， ∴被开方数的小数点要向右移动3位，为68.8×1000＝68800，即x≈﹣68800． 故答案为：﹣68800． 【点评】此题考查立方根与被开方数平移的规律：立方根的小数点每向右或向左平移1位，被开方数的小数点将向右或向左平移3位． 【作业10】（2025秋•虹口区校级期中）已知，，则 　449.9　 。 【分析】被开方数的小数点向右移动4位，其算术平方根的小数点就相应的向右移动2位，由此计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：449.9． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 【作业11】（2025秋•徐汇区校级月考）若﹣4是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为　　 。 【分析】根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算a+b的算术平方根即可． 【解答】解：根据平方根和算术平方根的定义可得：a＝16， ∵，且9的算术平方根是b， ∴b＝3， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键． 【作业12】（2026春•越秀区校级期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣10。 （1）求x与a的值； （2）求a﹣9的立方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可； （2）根据立方根的定义求a﹣9的立方根即可． 【解答】解：（1）由题意得（x+5）+（4x﹣10）＝0， 解得x＝1， x+5＝1+5＝6， ∴a＝62＝36， 即x的值为1，a的值为36； （2）a﹣9＝36﹣9＝27， ∴a﹣9的立方根为3． 【点评】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业13】（2026春•思明区校级期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为400m2的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为285m2的长方形，且长与宽之比为5：3。 （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求边长，然后求正方形的周长即可； （2）根据调整后的长方形的面积求其周长，然后比较大小作出判断即可． 【解答】解：（1）由正方形的面积公式得： 正方形的边长为20（m）， ∴正方形的周长为20×4＝80（m）， 答：“混天绫”的总长度是80米； （2）哪吒的“混天绫”长度足够完成新阵法， 理由如下： 设长方形的长为5xm，宽为3xm， 由题意得：5x•3x＝285， 解得x， ∴长方形的长为m，宽为 m， ∴长方形的周长为（m）， ∵80， ∴哪吒的“混天绫”长度足够完成新阵法． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【作业14】（2025秋•浦东新区校级月考）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2。 （1）求a，b，c的值； （2）若a＞b＞c，求5a+b﹣c的平方根． 【分析】（1）根据绝对值，算术平方根，立方根的意义可得a＝±4，b＝3，3c﹣2＝﹣8，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论和已知易得a＝4，b＝3，c＝﹣2，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）因为|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2， 所以 a＝±4，b＝3，3c﹣2＝﹣8， 解得：a＝±4，b＝3，c＝﹣2； （2）因为a＞b＞c，a＝±4，b＝3，c＝﹣2， 所以a＝4，b＝3，c＝﹣2， 所以5a+b﹣c＝5×4+3﹣（﹣2）＝25， 因为25的平方根是±5， 所以5a+b﹣c 的平方根是±5． 【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业15】（2025秋•杨浦区校级月考）据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）。 （1）某物体自45m高空下落，所需时间为　3　 s； （2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 【分析】（1）把h＝45m代入公式即可； （2）求出h，代入动能计算公式即可求出． 【解答】解：（1）由题意知h＝45m， ∴t3（s）， 故从45m高空抛物到落地时间为3s； 故答案为：3； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由： 当t＝4s时，4， ∴h＝80m， 这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，通过具体情境考查了算术平方根，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 【作业16】（2025秋•松江区期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形ABCD），建造一个长方形健身区域（长方形EFGH）和两个边长均为米的正方形休息亭。健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合。 （1）若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的x的取值范围； （2）在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【解答】解：（1）， 解得； （2）， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 【点评】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1平方根与立方根 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 算术平方根、平方根、立方根的概念，能正确区分平方根与算术平方根。 · 掌握 平方根与立方根的性质，能熟练求非负数的平方根、算术平方根及任意实数的立方根。 · 熟练运用 平方根和立方根的运算规律（小数点的移动规律），进行近似计算。 · 能够 解决与平方根、立方根相关的方程问题，会利用算术平方根的非负性求参数值。 · 体会 数形结合、转化思想、方程思想在根式计算中的应用。 ✨ 核心：概念辨析 · 性质应用 · 规律迁移 · 方程求解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 算术平方根 · 定义： 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根。 的算术平方根记为 ，读作“根号 ”。规定：0的算术平方根是0。 · 性质： 算术平方根具有非负性，即 （）。 · 运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。 · 形如 。 ☆ 平方根 · 定义： 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根。即若 ，则 是 的平方根。记作 。 · 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 · 与算术平方根的关系： 正数 的正的平方根就是它的算术平方根。 · 运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的平方根的小数点相应地向左或向右移动一位（注意正负）。 ☆ 立方根 · 定义： 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根。即若 ，则 是 的立方根。记作 。 · 性质： 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。任意实数都有唯一的立方根。 · 运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。 · 重要结论： 。 ☑ 知识总结表 类别 定义 性质 运算规律 算术平方根 非负数 的非负平方根 ， 小数点移动两位，结果移动一位 平方根 平方等于 的数 正数有两个互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根 小数点移动两位，结果移动一位（正负） 立方根 立方等于 的数 实数都有唯一的立方根，符号相同 小数点移动三位，结果移动一位 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】算术平方根 📌 方法总结： · 算术平方根是非负数，一个正数的算术平方根只有一个。 · 已知算术平方根，原数等于它的平方。 · 小数点移动规律：被开方数小数点每移动两位，结果移动一位。 · 非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 · = |x|，注意化简后取绝对值。 1．（2025秋•青浦区校级期中）下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•奉贤区期中）下列说法正确的是（　　） A．9的算术平方根是±3 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．﹣9的算术平方根是﹣3 3．（2025秋•闵行区校级同步）若一个正数的算术平方根是x，则比这个数小5的数的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•长宁区期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　） A．1 B． C． D．3 5．（2025秋•闵行区校级期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形ABCD，它的面积是50．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•闵行区校级期末）16的算术平方根是　 　 ． 7．（2025秋•奉贤区校级期中）已知：11.12≈3.3352，111.2≈10.5452，那么　 　 ． 8．（2025秋•宝山区校级期末）如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　 　 ． 9．（2025秋•松江区期末）已知，则　 　 ． 10．（2025秋•闵行区期末）已知1.732，5.477，那么　 　 ． 11．（2025秋•浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足3（x﹣2y）﹣（1）y＝9+3，求x﹣y的算术平方根． 12．（2024春•浦东新区校级月考）如果代数式﹣x与的值相等，那么代数式的值为 　 　 ． 13．（2025秋•闵行区校级期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为　 　 dm2，边长为　 　 dm． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形A1B1C1D1，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为　 　 dm． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形A1B1C1D1纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 14．（2025秋•闵行区校级同步）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为375cm2的长方形区域，且长、宽之比为5：3． （1）求原来正方形区域的边长； （2）求修改后长方形的周长； （3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【考点2】平方根 📌 方法总结： · 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根。 · 已知两个平方根（可能相等），可列方程求解：两平方根之和为0（互为相反数）或相等。 · 小数点移动规律同算术平方根。 · 利用平方根定义解方程：x² = a ⇒ x = ±。 15．（2025秋•徐汇区校级月考）下列说法正确的是（　　） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是±1 D．0没有平方根 16．（2025秋•闵行区校级同步）若a≠0，则a2的两个平方根之积等于（　　） A．0 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4 17．（2025秋•闵行区月考）一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，那么这个数是（　　） A．121 B．100 C．3 D．9 18．（2025秋•松江区校级月考）若2k﹣4与3k﹣1是同一个数的平方根，则k的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 19．（2025春•青秀区校级月考）16的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±4 D．4 20．（2026春•浦东新区校级期中）一个正数a的平方根是2x﹣1与2﹣x，则2﹣a的值是　 　 ． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）一个正数的两个平方根分别是a﹣1和﹣3，则a的值为 　 　 ． 22．（2025秋•崇明区期末）如果，那么x的值是　 　 ． 23．（2025秋•普陀区校级月考）一个数的平方根等于它本身，则这个数是　 　 ． 24．（2025秋•闵行区校级期中）平方是的数是　 　 ． 25．（2025秋•徐汇区校级月考）求下列方程中x的值：（x+1）2+8＝72． 26．（2025秋•浦东新区校级月考）解方程：． 27．（2021春•浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 28．（2025秋•宝山区校级月考）求下列各数的平方根： （1）6400； （2）0.000016； （3）a4． 【考点3】立方根 📌 方法总结： · 任意实数都有立方根，且立方根与原数符号相同。 · 小数点移动规律：被开方数小数点每移动三位，结果移动一位。 · 若  = x，则 x = 0，1，−1。利用立方根定义解方程：x³ = a ⇒ x = 。 29．（2025秋•松江区月考）下列判断正确的是（　　） A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7 C．的立方根是 D．的平方根是 30．（2025秋•松江区期末）下列说法正确的是（　　） A．只有正数才有平方根 B．27的立方根是±3 C．是17的一个平方根 D．的算术平方根是4 31．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为72cm3，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的棱长为（　　） A．2cm B． C．3cm D． 32．（2025秋•黄浦区期中）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 33．（2025秋•闵行区校级期中）已知，那么（　　） A．0.1a B．10a C．0.1b D．10b 34．（2025秋•上海校级期中）如果，那么的结果约是（　　） A．0.2872 B．0.02872 C．0.6188 D．0.06188 35．（2025秋•浦东新区校级期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　） A． B． C．或 D．或 36．（2025秋•长宁区校级月考）已知，那么 　 　 ． 37．（2026春•闵行区校级期末）等底等高的一个圆柱和一个圆锥，它们的体积之和是24π，高都为8，则它们的底面半径为　 　 ． 38．（2026春•浦东新区校级期中）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　 　 ． 39．（2025秋•浦东新区校级期末）已知，如果，则x≈　 　 ． 40．（2025秋•虹口区期中）观察表格规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律解答，若1.333，2.872，则　 　 ． 41．（2026春•浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 42．（2025秋•浦东新区校级月考）已知2x﹣1的算术平方根是3，2y+3的立方根是﹣1，求x﹣y的平方根． 43．（2025秋•黄浦区校级月考）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ （1）【发现与思考】因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以是两位数．因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是　 　 ．因为303＝27000，403＝64000，所以的十位数字是　 　 ，所以　 　 ． （2）【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出185193的立方根． 44．（2025秋•闵行区校级月考）观察下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：　 　 ； （2）根据你发现的规律填空：已知． 则　 　 ，　 　 ； 若，则x≈　 　 ； （3）拓展提升： ①已知，则　 　 ； ②已知，则　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 立方根性质判断 作业2 立方根求参数 作业3 概念辨析 作业4 平方根与立方根性质 作业5 算术平方根概念 作业6 算术平方根移动规律 作业7 圆锥体积与半径 作业8 平方根参数求解 作业9 立方根移动与符号 作业10 平方根移动规律 作业11 平方根与算术平方根 作业12 平方根与立方根综合 作业13 面积与周长应用 作业14 绝对值与立方根 作业15 自由落体与动能 作业16 面积与不等式应用 ❤ 复习建议 平方根与立方根是实数运算的基础，务必准确区分平方根与算术平方根，熟练掌握小数点移动规律，理解非负性的应用。新定义问题要抓住定义本质转化方程，压轴题往往结合面积、几何图形，要善于建模。 【作业1】（2025秋•上海校级期中）以下关于平方根与立方根说法正确的是（　　） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【作业2】（2025秋•金山区期中）已知，则a的值为（　　） A．9 B．±9 C．±3 D．3 【作业3】（2025秋•上海校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业4】（2025秋•宝山区校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．平方根与立方根相等的数只有0 B．立方根等于它本身的数只有0和±1 C．7是49的算术平方根 D．0.01是0.1的一个平方根 【作业5】（2025秋•闵行区校级同步）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有算术平方根 B．16的算术平方根是4 C．的算术平方根是4﹣π D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0 【作业6】（2025秋•浦东新区校级月考）已知，则　 　 ． 【作业7】（2026春•杨浦区期末）已知一个圆锥形零件的体积是24π cm3，高为8cm，那么这个圆锥形零件的底面半径为　 　 cm． 【作业8】（2025秋•黄浦区期末）已知3x+1和x﹣1是一个正数的不同平方根，则这个正数是　 　 ． 【作业9】（2025秋•宝山区校级期中）已知4.098，且40.98，则x≈　 　 ． 【作业10】（2025秋•虹口区校级期中）已知，，则 　 　 ． 【作业11】（2025秋•徐汇区校级月考）若﹣4是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为　 　 ． 【作业12】（2026春•越秀区校级期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣10． （1）求x与a的值； （2）求a﹣9的立方根． 【作业13】（2026春•思明区校级期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为400m2的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为285m2的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【作业14】（2025秋•浦东新区校级月考）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＞b＞c，求5a+b﹣c的平方根． 【作业15】（2025秋•杨浦区校级月考）据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）某物体自45m高空下落，所需时间为　 　 s； （2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 【作业16】（2025秋•松江区期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形ABCD），建造一个长方形健身区域（长方形EFGH）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． （1）若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的x的取值范围； （2）在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $