19.2 实数（讲义，6知识4拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦“实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与辨别、实数的分类、实数与数轴的一一对应关系，以及实数的运算和科学记数法，构建从有理数到实数的数系扩充脉络，为后续数学学习提供基础支架。 该资料通过分层设计（基础知识点+拓展+题型），结合随学随练与易错提醒，培养学生抽象能力（数学眼光）和运算推理能力（数学思维），科学记数法应用提升数据意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第19章 实数 19.2 实数 课标要点 1.了解有理数可以化为有限小数或者无限循环小数；理解无理数是无限不循环小数，有理数和无理数统称实数，会对实数分类。 2.掌握实数和数轴上的点一一对应；实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内完全一致。 3.会用夹逼法估算无理数取值范围，能比较实数大小；有理数运算法则、运算律在实数范围内仍然成立，熟练进行实数混合运算。 4.了解近似数、精确度，会科学记数法表示大数、小数；体会数系扩充思想、数形结合思想，提升数感与运算素养。 学习重难点 重点：无理数辨别、实数分类、实数与数轴一一对应、实数绝对值。 难点：循环小数化分数；无理数小数部分求解；数轴上无理数构造；实数综合化简（培优破疑难点） 知识点无理数 1. 有理数均可写成________小数或________小数；有限小数、无限循环小数都是________。 2. 无理数定义：________________________的小数叫作无理数。 3. 无理数三种常见形式： ① 开方开不尽的数：如、； 核心特例：、是________数，带根号的数不一定是无理数。 ② 特殊常数：； ③ 构造型无限不循环小数：如（相邻两个1之间依次多1个0，人为构造的不循环小数）。 易错提醒 ① 无限小数≠无理数（无限循环小数属于有理数）；② 无理数一定是无限小数；③ 无理数不一定带根号（如、构造小数）。 随学随练 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2.将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 知识点实数的定义与分类 1. 实数定义：________和________统称为实数。 2. 按定义分类 3. 按正负性分类 易错提醒 0是实数，既不是正数，也不是负数 随学随练 3.把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{                 …}； (2)分数集合{                 …}； (3)无理数集合{                …}． 知识点 实数范围内的相关概念 设实数为： 1. 相反数：的相反数是____；若，则________；___的相反数是0。 2. 绝对值：正数的绝对值：________；0的绝对值：________；负数的绝对值：________ 公式： 几何意义：表示数轴上对应点到________的距离；绝对值具有________性，即。 化简：________。 3. 倒数：时，的倒数为________；若，则________；____没有倒数。 随学随练 4．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 知识点 实数与数轴（重难点） 1. 核心结论：实数和数轴上的点________________。 2. 大小比较：数轴上右边的数________左边的数；正实数___0，负实数___0，正数____负数；两个负数比较，绝对值越大，数值越____。 3. 夹逼法估算：，________； 若，则整数部分为____，小数部分=________，小数部分取值范围：________。 随学随练 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 知识点 实数的运算 1. 有理数的运算律、乘法公式在实数范围内________。 2. 运算顺序：先________、________，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 3. 核心公式：① （算术平方根非负性）；② ；③ 。 随学随练 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 知识点 科学记数法（实数高频应用考点） 1. 科学记数法形式：________（其中，为整数）。 2. 大数（＞10）：为____整数，整数位数。 3. 小数（＜1）：为____整数，等于第一个非0数前0的个数。 易错提醒 ① 的范围严格限定：1≤||＜10，不能大于等于10、不能小于1； ② 负数用科学记数法时，负号写在最前方，； ③ 还原科学记数法：正指数小数点右移，负指数小数点左移。 随学随练 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）数据用科学记数法表示为__________． 8．（25-26七年级上·上海·阶段检测）按四舍五入精确到万位是______（用科学记数法表示）． 拓展 精准区分有理数与无理数（必考选择题） 核心判定口诀：有限、循环皆有理，无限不循环才无理。 避坑关键：带根号≠无理数，能开尽方是有理数（如）；不含根号的也可能是无理数（如）。 活学活用 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 拓展 无理数绝对值化简高频误区 通用解题逻辑：先比较根号数与常数大小，判断式子正负，再去绝对值。 固定规则：若被化简式子为负数，去掉绝对值后前后颠倒、符号变反；正数直接去绝对值不变号。 活学活用 3.________． 拓展无理数整数、小数部分求解难点 核心原理：任何数的小数部分恒≥0且＜1。 万能公式：若（为整数），则整数部分，小数部分，考试直接套用，无需反复推导。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 拓展实数与数轴对应关系 突破点：有理数无法铺满数轴，实数与数轴上的点一一对应是唯一正确结论，填空、判断高频考查。 活学活用 5．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 题型 数的分类判断题 ▌例1 （25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列说法中正确的有（    ）个． ①无理数与无理数的积一定是无理数  ②无理数与无理数的和可能是有理数． ③无理数一定带根号  ④是无理数  ⑤无理数包括正无理数、0和负无理数 A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）．解题贴士 1. 看到分数、有限小数、无限循环小数→直接判定有理数； 2. 看到、开不尽方的根式、规律不循环小数→直接判定无理数； 3. 0是特殊有理数，既非正数也非负数。 （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 无理数整数部分、小数部分求解（重难点压轴） 解题贴士 1. 夹逼找范围：找到相邻完全平方数，确定； 2. 定部分：整数部分，小数部分； 3. 代入代数式化简计算。 ▌例2-1已知的整数部分为a，小数部分为b，则______，______． ▌例2-2（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． ▌例2-3（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． ▌对点练2-1 （24-25八年级上·上海·期中）已知的小数部分是b，那么的值为____________． ▌对点练2-2已知的整数部分为x，小数部分为y，求代数式的值． ▌对点练2-3已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型 无理数估算与求值题 解题贴士 步骤1：找相邻完全平方数，用夹逼法确定取值范围； 步骤2：锁定整数部分，套公式求小数部分； 步骤3：代入代数式化简计算，注意去括号变号。 ▌例3-1（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． ▌例3-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果，那么整数___________． ▌对点练3-1（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知、是两个连续的整数，且，则_____． ▌对点练3-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知．若为整数且，则的值为___________． ▌对点练3-3（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 题型 实数大小比较题 解题贴士 1. 数轴法：右大左小（通用所有实数）； 2. 正负法：正数＞0＞负数； 3. 同负比较法：绝对值越大，数值越小； 4. 根式比较法：根号外数移入根号内，比较被开方数大小。 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接：________． ▌例4-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． ▌例4-3 （25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小：_____． ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． ▌对点练4-3 （25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 题型 科学记数法应用题型（计算填空必考） 解题贴士 1. 大数表示（＞10）：指数为正，位数减一； 2. 小数表示（＜1）：指数为负，数前零的个数定指数。 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期中）珠穆朗玛峰的最新雪面高度为米，将数据用科学记数法表示为______． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期末）一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成，已知氢原子（H）的原子半径约为，氧原子（O）的原子半径约为，已知，那么用科学记数法表示一个水分子中氧原子（O）的原子半径为__________m． ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海宝山·期中）我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为________________． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径_________m ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海松江·期中）水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有_____个0． 题型 实数与数轴综合解题 ▌例6-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是___________． ▌例6-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图（）将一个由个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．图（）是一个数轴，把图（）中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，点在点右侧，点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为_________． ▌对点练6-1（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． ▌对点练6-2（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． ▌对点练6-3（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海·期末）铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 4．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为______．（1亿） 6．（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 8．（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有______个整数位． 9．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 10.已知的一个平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小：________． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）某品牌喷墨打印机的耗材数据显示：每打印1页文档，平均消耗墨量约升，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____升墨．（结果用科学记数法表示） 8．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 9．（25-26八年级上·上海·期末）在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 11．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． (1)在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； (2)分别求A与B、A与C两点间的距离． 迁移创新 1．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数． (1)下面是他们的探究过程，请完成填空． 先假设是_____，则可设（，且、是_____的整数）． 则有，即_____． 整理得：，所以是_____． 所以设，则，即_____m3． 所以也是_____． 这与假设中的是 的整数矛盾，所以不是 ，是无理数． (2)说明是无理数的理由． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 实数 19.2 实数 课标要点 1.了解有理数可以化为有限小数或者无限循环小数；理解无理数是无限不循环小数，有理数和无理数统称实数，会对实数分类。 2.掌握实数和数轴上的点一一对应；实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内完全一致。 3.会用夹逼法估算无理数取值范围，能比较实数大小；有理数运算法则、运算律在实数范围内仍然成立，熟练进行实数混合运算。 4.了解近似数、精确度，会科学记数法表示大数、小数；体会数系扩充思想、数形结合思想，提升数感与运算素养。 学习重难点 重点：无理数辨别、实数分类、实数与数轴一一对应、实数绝对值。 难点：循环小数化分数；无理数小数部分求解；数轴上无理数构造；实数综合化简（培优破疑难点） 知识点无理数 1. 有理数的小数本质：所有有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数；反之，有限小数、无限循环小数都是有理数，且均可化为分数形式。 2. 无理数定义：无限不循环小数叫作无理数。 3. 无理数三大常见类型： 开方开不尽的数：如、、、。 核心特例：、为有理数，带根号的数不一定是无理数。 特殊无限不循环常数：。 构造型无限不循环小数：如（相邻两个1之间依次多1个0，人为构造的不循环小数）。 易错提醒 ① 无限小数≠无理数（无限循环小数属于有理数）；② 无理数一定是无限小数；③ 无理数不一定带根号（如、构造小数）。 随学随练 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵无理数的定义为无限不循环小数，有理数包括整数与分数； A、是无限不循环小数，属于无理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 故选：A． 2.将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点实数的定义与分类 1. 实数定义：有理数和无理数统称为实数，实数覆盖数轴上所有点对应的数值，是初中数系最终拓展范围。 2. 分类一：按定义分类（教材核心考点） 3. 分类二：按正负性分类（解题高频）（易错点：0是实数，既不是正数，也不是负数） 易错提醒 0是实数，既不是正数，也不是负数 随学随练 3.把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴负实数集合{，，，，，…}； （2）解：依题意，，不是分数， ∴分数集合{，3.14，…}； （3）解：依题意， ∴，不是无理数， ∴无理数集合{，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），…} 知识点 实数范围内的相关概念 实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义、性质与有理数范围完全一致，任意实数均满足以下规则： 1. 相反数：实数的相反数为；互为相反数等价条件：；的相反数是。 2. 绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数 公式： 几何意义：数轴上表示实数的点到原点的距离；核心性质：绝对值具有非负性，即。 化简示例：（判断，负数的绝对值等于其相反数）。 3. 倒数：非零实数的倒数为；互为倒数等价条件：；0没有倒数（核心考点）。 随学随练 4．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 知识点 实数与数轴（重难点） 1. 核心定理：实数与数轴上的点一一对应（唯一对应关系），彻底弥补有理数无法铺满数轴的缺陷。 2. 大小比较法则：数轴上右大左小；正实数＞0＞负实数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值越大，数值越小。 3. 夹逼法估算无理数（重难点）：对非完全平方数，若整数满足，则整数部分为，小数部分为，小数部分范围：。 估算示例：，，整数部分为2，小数部分为。 随学随练 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点与点关于点对称， ， 设点表示的数是， ， ， 故选：A． 知识点 实数的运算 1. 运算通性：有理数的所有运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、乘法公式（平方差、完全平方），在实数范围内全部成立。 2. 运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有括号优先计算括号内式子。 3. 核心常用公式： ① （算术平方根非负性）；② ；③ 。 随学随练 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 【答案】606 【详解】解：当且仅当（为整数）， 当时，，，共3个，和为； 当时，，，共5个，和为； 当时，，，共7个，和为； 当时，，，共9个，和为； 当时，，，共11个，和为； 当时，，，共13个，和为； 当时，，，共15个，和为； 当时，，，共17个，和为； 当时，，，共18个，和为； ∴， 故答案为：606． 知识点 科学记数法（实数高频应用考点） 1. 定义：把一个绝对值较大或较小的实数，表示成 （，为整数）的形式，叫作科学记数法。 2. 两种核心分类（必考） （1）绝对值大于10的数 规则：为正整数，整数位数 示例： （2）绝对值小于1的小数 规则：为负整数，左边第一个非0数字前所有0的个数（含小数点前的0） 示例： 易错提醒 ① 的范围严格限定：1≤||＜10，不能大于等于10、不能小于1； ② 负数用科学记数法时，负号写在最前方，； ③ 还原科学记数法：正指数小数点右移，负指数小数点左移。 随学随练 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·阶段检测）按四舍五入精确到万位是______（用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：，精确到万位，要看千位上的数字， 千位上的数字是，， 所以将千位及以后的数字舍去， 得到近似数． 故答案为：． 拓展 精准区分有理数与无理数（必考选择题） 核心判定口诀：有限、循环皆有理，无限不循环才无理。 避坑关键：带根号≠无理数，能开尽方是有理数（如）；不含根号的也可能是无理数（如）。 活学活用 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：4是整数，属于有理数；，是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，而是无理数，是无理数． 所以无理数是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵为有理数， ∴为有理数， A、∵是无理数， ∴是无理数； B、 ∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； C、∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； D、∵，是有理数， ∴是有理数． 故选：D． 拓展 无理数绝对值化简高频误区 通用解题逻辑：先比较根号数与常数大小，判断式子正负，再去绝对值。 固定规则：若被化简式子为负数，去掉绝对值后前后颠倒、符号变反；正数直接去绝对值不变号。 活学活用 3.________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 拓展无理数整数、小数部分求解难点 核心原理：任何数的小数部分恒≥0且＜1。 万能公式：若（为整数），则整数部分，小数部分，考试直接套用，无需反复推导。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 拓展实数与数轴对应关系 突破点：有理数无法铺满数轴，实数与数轴上的点一一对应是唯一正确结论，填空、判断高频考查。 活学活用 5．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【答案】A 【详解】解：A、有限小数一定是有理数，故本选项说法正确，符合题意； B、无限不循环小数一定是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、实数可以分为正实数和负实数和0，原说法错误，故本选项不符合题意； D、数轴上的所有点都对应实数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型 数的分类判断题 ▌例1 （25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列说法中正确的有（    ）个． ①无理数与无理数的积一定是无理数  ②无理数与无理数的和可能是有理数． ③无理数一定带根号  ④是无理数  ⑤无理数包括正无理数、0和负无理数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①无理数与无理数的积可能是有理数，例如，而2是有理数，原说法错误，不符合题意； ②无理数与无理数的和可能是有理数，例如，说法正确，符合题意； ③无理数可能不带根号，例如，原说法错误，不符合题意； ④是无理数，正确，符合题意； ⑤无理数包括正无理数和负无理数，而0是有理数，原说法错误，不符合题意； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：B． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）．解题贴士 1. 看到分数、有限小数、无限循环小数→直接判定有理数； 2. 看到、开不尽方的根式、规律不循环小数→直接判定无理数； 3. 0是特殊有理数，既非正数也非负数。 （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①若有理数为，则除以无理数运算结果为（有理数），原说法错误，故①符合题意； ②带根号的数不一定都是无理数，原说法错误，故②符合题意； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类，正确，故③不符合题意； ④无理数是无限小数，正确，故④不符合题意； ⑤0.101001000100001是有理数，原说法错误，故⑤符合题意； 故选：C． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵实数分为有理数和无理数， ∴如果不是有理数，则一定是无理数，①正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点， ∴②错误； ∵无理数是无限不循环小数， ∴都是无限小数，③正确； ∵带根号的数可能是有理数（如）， ∴④错误； ∵两个有理数的和是有理数， ∴如果和为无理数，则至少有一个是无理数，⑤正确． ∴错误的有②和④，共2个． 故选B． 题型 无理数整数部分、小数部分求解（重难点压轴） 解题贴士 1. 夹逼找范围：找到相邻完全平方数，确定； 2. 定部分：整数部分，小数部分； 3. 代入代数式化简计算。 ▌例2-1已知的整数部分为a，小数部分为b，则______，______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. ▌例2-2（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． ▌例2-3（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． ▌对点练2-1 （24-25八年级上·上海·期中）已知的小数部分是b，那么的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分为3， ∴， ∵两边平方得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． ▌对点练2-2已知的整数部分为x，小数部分为y，求代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴ 答：代数式的值为． ▌对点练2-3已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 题型 无理数估算与求值题 解题贴士 步骤1：找相邻完全平方数，用夹逼法确定取值范围； 步骤2：锁定整数部分，套公式求小数部分； 步骤3：代入代数式化简计算，注意去括号变号。 ▌例3-1（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． ▌例3-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果，那么整数___________． 【答案】3 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． ▌对点练3-1（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知、是两个连续的整数，且，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、是两个连续的整数，且， ∴， ∴， 故答案为：． ▌对点练3-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知．若为整数且，则的值为___________． 【答案】45 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，n为整数， ∴． 故答案为：45． ▌对点练3-3（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 题型 实数大小比较题 解题贴士 1. 数轴法：右大左小（通用所有实数）； 2. 正负法：正数＞0＞负数； 3. 同负比较法：绝对值越大，数值越小； 4. 根式比较法：根号外数移入根号内，比较被开方数大小。 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接：________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： ▌例4-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． ▌例4-3 （25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小：_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： ▌对点练4-3 （25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 题型 科学记数法应用题型（计算填空必考） 解题贴士 1. 大数表示（＞10）：指数为正，位数减一； 2. 小数表示（＜1）：指数为负，数前零的个数定指数。 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期中）珠穆朗玛峰的最新雪面高度为米，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： ． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期末）一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成，已知氢原子（H）的原子半径约为，氧原子（O）的原子半径约为，已知，那么用科学记数法表示一个水分子中氧原子（O）的原子半径为__________m． 【答案】 【详解】解：氧原子半径为，已知，因此， 故答案为： ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海宝山·期中）我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径_________m 【答案】 【详解】解：氧原子的原子半径为，已知，因此，将写成科学记数法形式为， 所以 故答案为：． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海松江·期中）水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有_____个0． 【答案】25 【详解】解：∵，， ∴小数点与左起第一个非零数字之间有个零． 故答案为：25． 题型 实数与数轴综合解题 ▌例6-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是___________． 【答案】 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故答案为：． ▌例6-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图（）将一个由个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．图（）是一个数轴，把图（）中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，点在点右侧，点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为_________． 【答案】 【详解】解：大正方形旋转后如图所示． 设拼成的正方形边长为， 根据题意可知长方形的面积为， 长方形与拼成的正方形面积相同， ，则， 点与重合， 点在数轴上表示的数为， 点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点表示的数为， ， ， 解得， 故点所表示的数为． 故答案为：． ▌对点练6-1（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． ▌对点练6-2（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵m是64的算术平方根， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：①当点B与F重合时，则， 解得； 当点与点重合时，则， 解得， ∴t的取值范围为； ②∵， ∴， ∴， ∴ 解得． ▌对点练6-3（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海·期末）铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 【答案】 【详解】解：因为，且， 所以，即 ； 故答案为． 4．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为______．（1亿） 【答案】 【详解】解：11亿， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 8．（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有______个整数位． 【答案】7 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 9．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：近似数表示的数的取值范围是． 故答案为：． 10.已知的一个平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是5， ，解得：． ∵的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，小数点后第一个非零数字为1，之间有一个0，不符合； B、，左起第一个非零数字为9，小数点与9之间有两个0，不符合； C、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为5，之间有两个0，不符合； D、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为6，之间有三个0，符合； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【答案】D 【详解】解：选项A，有理数0与无理数的积为0，是有理数，不符合题意； 选项B，若，则，有平方根，不符合题意； 选项C，数轴上存在无理数点，不与有理数对应，不符合题意； 选项D，若，平方根有两个值，立方根只有一个值，不可能相等；若，平方根不存在，立方根存在；只有时，平方根和立方根均为0，符合题意； 故选D． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 4．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 是无理数，但是有理数， 是有理数，是有理数， ．，因和5为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和1为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，是有理数，是有理数，故选项正确； 故选：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小：________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）某品牌喷墨打印机的耗材数据显示：每打印1页文档，平均消耗墨量约升，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____升墨．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解：每页消耗墨量为升，即升；周打印页数为500页，即页． 总消耗墨量为升． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【答案】3 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·上海·期末）在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 【答案】或 【详解】解：当点B在点A的右侧时，点B对应的数是； 当点B在点A的左侧时，点B对应的数是； 综上，点所对应的实数是或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【答案】或 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【详解】解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． (1)在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； (2)分别求A与B、A与C两点间的距离． 【详解】（1）解：数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图： （2）解：A与B两点间的距离：， A与C两点间的距离：． 迁移创新 1．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 【详解】（1）解：由题意知和互为相反数， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：； （2）解：， ， 的整数部分， ， 的平方根为． 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数． (1)下面是他们的探究过程，请完成填空． 先假设是_____，则可设（，且、是_____的整数）． 则有，即_____． 整理得：，所以是_____． 所以设，则，即_____m3． 所以也是_____． 这与假设中的是 的整数矛盾，所以不是 ，是无理数． (2)说明是无理数的理由． 【详解】（1）解：先假设是有理数，则可设（，且、是互质的整数）． 则有，即． 整理得：，所以是偶数． 所以设，则，即． 所以也是偶数． 这与假设中的是互质的整数矛盾，所以不是有理数，是无理数． （2）证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）． ∴． ， ∴． 是的倍数， 也是的倍数． 设（k是正整数）， ， ， 是的倍数． ∴p是的倍数． ∴p和q均为的倍数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【详解】（1）解：、B分别表示数和， 故答案为：； （2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合， 点C表示的数是 故答案为：； （3）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $