专题20.1二次根式及其性质 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，构建“定义（形如√a，a≥0）→有意义条件（被开方数非负）→性质（√a²=|a|等）→化简（结合数轴、分母有理化）→最简二次根式→创新应用（复合根式、穿墙规律）”的递进式学习支架。 资料以思维导图总览知识体系，通过典例结合数轴化简培养几何直观（数学眼光），压轴题中复合二次根式配方法提升推理能力（数学思维），知识结构表与分层练习助力精准教学，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题20.1二次根式及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式（被开方数非负）。 · 掌握 二次根式有意义的条件（被开方数≥0），能根据条件求字母取值范围。 · 熟练运用 二次根式的性质进行化简（、等），并能结合数轴、绝对值化简。 · 掌握 最简二次根式的概念，能将一般二次根式化为最简二次根式。 · 学会 运用“穿墙”规律、复合二次根式化简（）等技巧解决创新题型。 · 体会 数形结合、分类讨论思想在二次根式化简与求值中的应用。 ✨ 核心：二次根式定义 → 有意义的条件 → 性质与化简 → 最简二次根式 → 创新应用。 知识梳理 · 核心知识点 二次根式的定义 · 定义：一般地，形如 （）的式子叫做二次根式。其中 叫做被开方数。 · 判断要点：① 根指数为2（通常省略）；② 被开方数必须是非负数。 · 注意： 不是二次根式（根指数为3）； 不一定有意义，需保证 。 二次根式有意义的条件 · 被开方数必须大于等于0，即 。 · 若二次根式位于分母或与其他式子结合，还需满足其他限制（如分母≠0）。 · 利用非负性可求参数的值（如 推出 ）。 二次根式的性质与化简 📐 几何特征：，表示数轴上点 到原点的距离。 · 基本性质： ； （）； （）。 · 化简原则：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 · 结合数轴化简：先判断绝对值内部的正负，再根据 去绝对值。 · 分母有理化：利用 化去分母中的根号。 最简二次根式 · 定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 · 判断标准：① 被开方数是整数或整式；② 被开方数中每个因式的指数都小于根指数2。 · 化简步骤：① 分解质因数；② 开方开得尽的部分移到根号外；③ 分母有理化。 复合二次根式化简（创新题型） · 对于 ，若存在 使 ，，则可化为 。 · “穿墙”规律：（）。 二次根式知识结构表 类别 核心内容 注意事项 二次根式定义 （） 根指数为2，被开方数非负 有意义条件 被开方数≥0 与分母、零次幂等结合时额外限制 性质 注意 a,b 非负 最简二次根式 被开方数不含分母、不含开得尽方的因式 分母有理化，提取平方因子 复合二次根式 的化简 构造完全平方，拆分为两数平方和 核心考点 ·5大典型考点精讲 考点一：二次根式的定义  ※ 方法总结 · 识别二次根式：根指数为2，被开方数≥0。 · 注意 （三次根式）不是二次根式； 当 为任意实数时都有意义，因为 。 · 根据数列规律求第 项时，观察根号下的被开方数变化规律。 1．（2025秋•静安区校级月考）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：A、∵中的﹣4＜0，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，是三次根式，不符合题意； D、是分式不是二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了主要考查了二次根式的定义，熟知我们把形如其中a≥0的式子叫二次根式，是解题的关键． 2．（2025秋•徐汇区校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【解答】解：A.是二次根式，故选项A符合题意； B.不一定是二次根式，故选项B不符合题意； C.是三次根式，故选项C不符合题意； D.，二次根式无意义，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．（2024•徐汇区三模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误； B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确； C．x+y的指数为2，所以此选项错误； D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键． 4．（2025秋•杨浦区校级月考）对于，当是整数时，最小的正整数a＝　15　 ． 【分析】由540＝22×33×5即可求解． 【解答】解：∵540＝22×33×5，是整数， ∴540a是完全平方数， ∴最小的正整数a＝3×5＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了二次根式，理解题意是解题的关键． 5．（2025秋•上海校级月考）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是　2　 ． 【分析】根据题意可知，是一个整数，则由二次根式的定义即可得出答案． 【解答】解：∵是一个整数， ∴a的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 考点二：二次根式有意义的条件  ※ 方法总结 · 被开方数≥0 列出不等式（组）求解。 · 若出现两个根式且被开方数互为相反数（如 和 ），则被开方数只能为0，可求 。 · 当根式在分母位置时，还需保证分母≠0。 · 注意结合“算术平方根的非负性”和“偶次幂的非负性”求值。 6．（2025春•宝山区校级期末）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2 【分析】二次根式的被开方数是非负数． 【解答】解：依题意，得 a﹣2≥0， 解得，a≥2． 故选：D． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 7．（2025秋•虹口区校级期末）如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x+2≥0， ∴x≥﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 8．（2025秋•黄浦区校级月考）若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（　　） A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0 【分析】根据二次根式有意义的条件得到﹣xy＞0且x﹣y≥0，则﹣xy＞0得到x、y异号，然后根据x≥y得到x、y的取值范围． 【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0， 解得x＞0，y＜0． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 9．（2025秋•浦东新区校级月考）已知a，b为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a＝8，继而求得b＝25，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意知：a﹣8≥0且8﹣a≥0， 解得a＝8． 所以b＝25． 所以2+5＝7． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，立方根和实数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（2025秋•宝山区校级月考）若，则xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入xy计算． 【解答】解：∵，有意义， ∴2x﹣1≥0，1﹣2x≥0， ∴2x﹣1＝1﹣2x＝0， 解得x， 又∵， ∴y＝4， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件，是解答本题的关键． 11．（2026春•浦东新区校级月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴2x+4≥0， ∴x≥﹣2， 故答案为：x≥﹣2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义是解题的关键． 12．（2025秋•浦东新区校级期中）已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 　2026　 ． 【分析】根据二次根式的意义求出a的取值范围，再去绝对值，最后进行计算即可． 【解答】解：由题可知， a﹣2026≥0， 解得a≥2026， ∵， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026， 故选：2026． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件、实数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13．（2025秋•黄浦区校级月考）代数式有意义，则x的取值范围是x＞2　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣2＞0， 解得：x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 14．（2024秋•长宁区校级期末）当实数x　＜﹣1　 时，有意义． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：0， ∵0， ∴0， 则x+1＜0， 解得：x＜﹣1， 故答案为：＜﹣1． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 15．（2025秋•宝山区校级期末）若，则xy的值为　81　 ． 【分析】根据二次根式有意义求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得x＝3， ∴y＝4， ∴xy＝34＝81， 故答案为：81． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求出x、y的值是解题的关键． 16．（2026•浦东新区校级模拟）已知，则a2026﹣b2026的值是　0　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出a，进而求出b，再根据有理数的乘方计算即可． 【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，1﹣a≥0， 则a＝1， ∴b＝﹣1， ∴a2026﹣b2026＝12026﹣（﹣1）2026＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 17．（2025秋•普陀区期末）已知实数x、y满足，求的立方根． 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定x的值，进而求得y的值，代入代数式，求得代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0， ∴x2＝16， 解得x＝±4， 又∵分母中x+4≠0， ∴x≠﹣4， ∴x＝4， ∴， ∴， ∴的立方根为． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的立方根． 18．（2025秋•青浦区校级月考）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 【分析】已知等式右边成立，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0；由等式左边成立可知a＝0，已知等式可变为，移项、开平方得x＝﹣y，利用代入法求式子的值即可． 【解答】解：由题意得，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0，x﹣a≤0， ∵a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0， ∴a＝0，原等式可变为， ∴x＝﹣y， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义得到a的值是解题的关键． 19．（2024春•浦东新区校级期中）已知实数a满足，求a﹣20062的值． 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值好然后平方求出a的值，代入进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，a﹣2007≥0， 解得a≥2007， ∴a﹣2006a， ∴2006， 两边平方得，a＝20062+2007， 所以，a﹣20062＝20062+2007﹣20062＝2007． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围是解题的关键． 20．（2024秋•嘉定区月考）若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x，将其代入已知等式即可求得y的值，将x、y的值代入所求的代数式进行求值即可． 【解答】解：依题意得：1＝4x， 解得x， 所以y， 所以（x）﹣（） ＝（）﹣（） ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 考点三：二次根式的性质与化简 ※ 方法总结 · 化简含字母的二次根式，注意字母的取值范围（由被开方数非负决定）。 · 核心公式：，先判断a的正负再脱绝对值。 · 结合数轴时，先根据数轴判断各代数式的符号，再利用 化简。 · 分母有理化：分子分母同乘适当因式，化去分母中的根号。 · “穿墙”规律与复合二次根式化简：构造完全平方，拆分为两个根式的和或差。 21．（2026•长宁区二模）下列实数中，比3小的无理数是（　　） A． B． C．π D． 【分析】先根据平方根定义和二次根式的性质计算A，D选项中的式子，再估算的大小，从而进行判断即可． 【解答】解：，，π＞3， ∵，即， ∴比3小的无理数是， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握平方根定义和二次根式的性质． 22．（2025秋•普陀区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质、绝对值的定义逐个选项判断即可． 【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意； B、±a，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、a+b，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，注意区分和是解题的关键． 23．（2025秋•金山区期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A．2b﹣a B．b﹣2a C．a D．﹣a 【分析】由数轴可知，a＜b＜0，进而可得b﹣a＞0，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知，a＜b＜0， ∴，b﹣a＞0， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确进行计算是解题关键． 24．（2025秋•徐汇区校级期中）二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＜0，进而可得结果． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知： x＜0， ∴原式． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式的性质． 25．（2025秋•长宁区校级期中）若a+|a|＝0，则的值是（　　） A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a 【分析】先根据a+|a|＝0，得|a|＝﹣a，整理得a≤0，再化简，然后进行分类讨论，化简绝对值，即可作答． 【解答】解：∵a+|a|＝0， ∴|a|＝﹣a， ∵|a|≥0， ∴a≤0， 则 ＝|a+1|+|a﹣1| ＝|a+1|+1﹣a， 当a＜﹣1时，则|a+1|+1﹣a＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a； 当﹣1≤a≤0时，则|a+1|+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值的非负性，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．（2025秋•普陀区校级期中）当0＜a＜1时，化简（　　） A．a B．﹣a C．a D．a 【分析】首先根据已知确定a，再利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴a， ∴|a|a， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式与绝对值的性质，正确化简二次根式是解题关键． 27．（2025秋•浦东新区校级期中）实数a，b，c在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A．﹣2b B．﹣2b+2c C．2a﹣2b D．2a﹣2c 【分析】观察数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，|a|＞|b|＞|c|，根据有理数的加减法则判断a﹣b，b﹣c，c﹣a的正负，然后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＞0，b﹣c＜0，c﹣a＜0， ∴ ＝a﹣b+c﹣b﹣（a﹣c） ＝a﹣b+c﹣b﹣a+c ＝a﹣a+c+c﹣b﹣b ＝﹣2b+2c， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 28．（2025秋•杨浦区期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 即： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数a都等于它的相反数﹣a”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（　　） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【分析】 要求 a≥0 且 b≥0．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和﹣a的非负性，导致错误． 【解答】解：根据二次根式的性质可知：，而非简单等于a或﹣a． 甲的过程：（正确），但 仅当 a≥0 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当﹣a≥0（即 a≤0）时成立． ∴两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保a或﹣a非负． ∴首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2025秋•宝山区校级月考）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【解答】解： ， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 30．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　　 ． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵a＜0， ∴﹣4a3＞0， ∴b＞0， ∴原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和化简的方法是关键． 31．（2025秋•闵行区校级期末）如果的化简结果与x无关，那么x的取值范围是　1≤x≤3　 ． 【分析】先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， 分情况讨论， ①当x＜1时，， ②当1≤x≤3时，， ③当x＞3时，， ∵的化简结果与x无关， ∴x的取值范围为：1≤x≤3． 故答案为：1≤x≤3． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 32．（2025秋•青浦区校级期末）已知，，那么的值约为　﹣0.2236　 ． 【分析】可先将变形为与已知相关的形式，再利用算术平方根的性质和已知近似值进行计算． 【解答】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：﹣0.2236． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是关键． 33．（2025•上海自主招生）已知，则x3﹣x的值为　1　 ． 【分析】根据题意得到x≥1，将原等式化为，进一步变形得到2x6﹣x5﹣x+2，利用换元法变形可得t﹣21＝0，再利用配方法得到t＝1，即x6﹣x5﹣x+1＝1，通过化简得到x5﹣x4＝1，再令m＝x3﹣x，则x3＝m+x，则x4＝x（m+x）＝x2+mx；x5＝x（x2+mx）＝mx2+x+m；利用x5﹣x4＝1得到（mx2+x+m）﹣（x2+mx）＝1，整理得到（m﹣1）（x2﹣x+1）＝0，利用最值排除x2﹣x+1≠0，继而得到m﹣1＝0，从而得到m＝1． 【解答】解：由题意得， ∴x≥1． ∵， ∴x2， ∴x2， ∴， 两边同时平方得： x5﹣1+2x﹣1＝x6， 移项整理得：2x6﹣x5﹣x+2， 左边根号内相乘可得： （x5﹣1）（x﹣1）＝x6﹣x5﹣x+1， 令t＝x6﹣x5﹣x+1，则等式为： 2t+1， 整理得t﹣21＝0， （t﹣1）2＝0， 解得t＝1， ∴x6﹣x5﹣x+1＝1， ∴x6﹣x5﹣x＝0， ∵x≠0， ∴x5﹣x4﹣1＝0，即x5﹣x4＝1， 设m＝x3﹣x，则x3＝m+x，则x4＝x（m+x）＝x2+mx；x5＝x（x2+mx）＝mx2+x+m； ∴（mx2+x+m）﹣（x2+mx）＝1， 整理得（m﹣1）（x2﹣x+1）＝0， 分析x2﹣x+1＝（x）2， ∵（x）2， ∴x2﹣x+1≠0， 故m﹣1＝0， ∴m＝1． ∴x3﹣x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了根据已知等式，求另外代数式的值，考查了因式分解、乘法公式、等式性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 34．（2025秋•松江区校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示， 化简：． 【分析】根据题意可得：a＜﹣1，b＞1，从而可得a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后利用绝对值的意义和二次根式的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： a＜﹣1，b＞1， ∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝﹣（a+1）+2（b﹣1）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣1+2b﹣2﹣b+a ＝b﹣3． 【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质是解题的关键． 35．（2025秋•黄浦区校级月考）当3＜x＜5时，化简：． 【分析】根据3＜x＜5，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【解答】解：∵3＜x＜5， ∴原式 ＝x﹣2+|x﹣5| ＝x﹣2+5﹣x ＝3． 【点评】本题主要考查了二次根式性质与化简，掌握二次根式性质与化简的方法是关键． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （2）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （3）由，可得，可得，结合a，x，y为正整数，从而可得答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∵a，x，y为正整数， ∴或， 当时，a＝x2+3y2＝12+3×52＝76， 当时，a＝x2+3y2＝52+3×12＝28， 综上：a的值为：76或28． 【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，理解题意，掌握化简的方法是解本题的关键． 37．（2025秋•闵行区校级期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； （1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是　②④　 （填序号）： （2）已知，求代数式的值； （3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【分析】（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出x≥﹣2，再将变形为根据（一）结论得到2+1＝3，即可求出当且仅当，即x＝﹣2时，有最小值，最小值为3． 【解答】解：（1）在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④． 故答案为：②④； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴． （3）由条件可知x≥﹣2． 原式 ＝2+1＝3． 当且仅当，即x＝﹣2时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 【点评】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． 38．（2025秋•徐汇区校级月考）小明在解决化简的过程中发现，通过完全平方公式可以将这个代数式化简． 例如：． （1）请你仿照小明的方法化简：． （2）计算：． 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）先化简每个根式，再合并即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝1． 【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． 考点四：最简二次根式  ※ 方法总结 · 最简二次根式必须满足：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 · 判断时，先将根式化简，再检查是否满足上述条件。 · 若被开方数含有字母，需考虑字母的取值（如 需根据 的符号开方）。 · 利用最简二次根式的定义可求参数（如指数关系列方程）。 39．（2026春•闵行区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【解答】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故A不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故B不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故C不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 40．（2024秋•浦东新区校级月考）化简成最简二次根式后等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件，最简二次根式解答即可． 【解答】解：∵， 解得：x≤0且x≠1， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式定义，二次根式有意义的条件是解题的关键． 41．（2026•静安区校级模拟）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【解答】解：根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式逐项分析判断如下： A．，被开方数含能开得尽方的因式a2，不是最简二次根式； B．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式． 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握该知识点是关键． 42．（2025秋•浦东新区校级期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【分析】先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【解答】解：原式 ， 故为型无理数． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键． 43．（2025秋•徐汇区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　﹣2　 ，b＝　1　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义，得b+1＝2，a+3b＝2a﹣b+6，解答即可． 【解答】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：﹣2，1． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 44．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　　 ； ②　　 ． 【分析】①根据二次根式的性质化简即可； ②根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：①． 故答案为：； ②． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键． 45．（2025春•青山湖区期中）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据1≤x≤2，计算求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． ； （2）原式 ． ＝9； （3）原式 ＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 二次根式识别作业2 有意义的条件作业3 含字母化简作业4 最简二次根式 作业5 最简二次根式判断作业6 有意义的条件作业7 有意义的条件作业8 有意义的条件 作业9 有意义的条件作业10 有意义的条件作业11 数轴化简作业12 二次根式化简 作业13 相邻整数规律作业14 双重根式化简作业15 双重根式化简 💡 复习建议 概念辨析：准确区分 与 ( )²，注意取值范围的不同。 有意义的条件：被开方数非负是核心，含分母时需额外注意。 化简技巧：去绝对值前先判断符号，双重根式用配方法。 最简二次根式：先化简再判断，注意分母有理化。 数形结合：利用数轴判断符号，简化绝对值运算。 【作业1】（2025•崇明区三模）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可． 【解答】解：A、是二次根式，不符合题意； B、因为a2+1＞0，所以是二次根式，不符合题意； C、因为3﹣π＜0，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 【作业2】（2025秋•徐汇区校级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥﹣2 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【解答】解：根据题意得：x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的意义和性质．关键是熟悉概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【作业3】（2025秋•松江区期中）化简二次根式，结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，由二次根式的性质可得：﹣（a+1）≥0，从而有a+1≤0，即a≤﹣1，再化简得出结果． 【解答】解：∵a2＞0，， ∴﹣（a+1）≥0， ∴a≤﹣1， ∴原式 ． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【作业4】（2025秋•长宁区校级期中）已知a＞0，那么可化简为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，则b＜0，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【解答】解：由题意可得：b＜0， ∴原式． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 【作业5】（2025秋•上海校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简． 【解答】解：A、，不是最简二次根式； B、，被开方数21a中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的性质是解题的关键． 【作业6】（2025秋•虹口区校级期末）若有意义，则x的取值范围为x≥﹣7且x≠3　 ． 【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数以及分母不为0，由此计算即可． 【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣7且x≠3． 故答案为：x≥﹣7且x≠3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【作业7】（2025秋•黄浦区期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x　 ． 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【解答】解：依题意有2x﹣3≥0， 即x时，二次根式有意义． 故若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x． 【点评】主要考查了二次根式的概念． 二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式． 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【作业8】（2026•岚山区二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x且x≠3　 ． 【分析】根据二次根是有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：∵2x﹣1≥0且x﹣3≠0， ∴x且x≠3， 故答案为x且x≠3． 【点评】本题考查了二次根是有意义的条件，掌握二次根是有意义的条件：被开方数大于等于0是解题的关键． 【作业9】（2025秋•普陀区期末）若式子有意义，则x的取值范围是 　0＜x≤1　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴或， 解得0＜x≤1． 故答案为：0＜x≤1． 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 【作业10】（2025秋•静安区校级期中）已知x，y是实数，且y，求5x+6y的值． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，， 解得x＝3， 所以，y， 所以，5x+6y＝5×3+6×（）＝15﹣2＝13． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【作业11】（2025秋•浦东新区校级月考）已知a，b，c的位置如图所示，求的值． 【分析】根据数轴可知b＜a＜0＜c，|b|＞|c|，求出b﹣c＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意，得b＜a＜0＜c，|b|＞|c|， ∴b﹣c＜0，c﹣a＞0，b+c＜0， ∴原式＝|a|﹣|b﹣c|+|c﹣a|+|b+c| ＝﹣a+（b﹣c）+（c﹣a）﹣（b+c） ＝﹣a+b﹣c+c﹣a﹣b﹣c ＝﹣2a﹣c． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据数轴确定出各式子的取值范围． 【作业12】（2025秋•闵行区校级同步）化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）先化绝对值符号，再根据二次根式的性质化简即可； （6）根据二次根式的性质化简即可； （7）根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）∵64的算术平方根是8，即； （2）； （3）； （4）； （5）1.3； （6）； （7）． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握公式|a|是解答本题的关键． 【作业13】（2025秋•闵行区校级期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为两个相邻的整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为两个相邻的整数，16﹣9＝7＝2×3+1；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝21．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得　　 ＝b． 整理得b﹣a＝21． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式，补全小明的证明过程． （2）若和为两个相邻整数，则m的值是　25　 ． （3）若和为相差4的两个整数，求n的值． 【分析】（1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出m的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【解答】解：（1）， ， ． 故答案为：； （2）∵若和为两个相邻整数， ∴， ∴，即m＝25． 故答案为：25； （3）根据题意，得， ， 整理得： ∴， ∴， 解得：n＝625． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 【作业14】（2025秋•宝山区校级月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 【分析】（1）根据题意得到，即可到答案； （2）把化为，即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题考查了二次根式的化简．熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 【作业15】（2025秋•浦东新区校级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如． （1）填空：　　 ； （2）化简，并写出化简过程． 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）仿照阅读材料解答即可． 【解答】解：（1）原式 ； 故答案为：； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1二次根式及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式（被开方数非负）。 · 掌握 二次根式有意义的条件（被开方数≥0），能根据条件求字母取值范围。 · 熟练运用 二次根式的性质进行化简（、等），并能结合数轴、绝对值化简。 · 掌握 最简二次根式的概念，能将一般二次根式化为最简二次根式。 · 学会 运用“穿墙”规律、复合二次根式化简（）等技巧解决创新题型。 · 体会 数形结合、分类讨论思想在二次根式化简与求值中的应用。 ✨ 核心：二次根式定义 → 有意义的条件 → 性质与化简 → 最简二次根式 → 创新应用。 知识梳理 · 核心知识点 二次根式的定义 · 定义：一般地，形如 （）的式子叫做二次根式。其中 叫做被开方数。 · 判断要点：① 根指数为2（通常省略）；② 被开方数必须是非负数。 · 注意： 不是二次根式（根指数为3）； 不一定有意义，需保证 。 二次根式有意义的条件 · 被开方数必须大于等于0，即 。 · 若二次根式位于分母或与其他式子结合，还需满足其他限制（如分母≠0）。 · 利用非负性可求参数的值（如 推出 ）。 二次根式的性质与化简 📐 几何特征：，表示数轴上点 到原点的距离。 · 基本性质： ； （）； （）。 · 化简原则：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 · 结合数轴化简：先判断绝对值内部的正负，再根据 去绝对值。 · 分母有理化：利用 化去分母中的根号。 最简二次根式 · 定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 · 判断标准：① 被开方数是整数或整式；② 被开方数中每个因式的指数都小于根指数2。 · 化简步骤：① 分解质因数；② 开方开得尽的部分移到根号外；③ 分母有理化。 复合二次根式化简（创新题型） · 对于 ，若存在 使 ，，则可化为 。 · “穿墙”规律：（）。 二次根式知识结构表 类别 核心内容 注意事项 二次根式定义 （） 根指数为2，被开方数非负 有意义条件 被开方数≥0 与分母、零次幂等结合时额外限制 性质 注意 a,b 非负 最简二次根式 被开方数不含分母、不含开得尽方的因式 分母有理化，提取平方因子 复合二次根式 的化简 构造完全平方，拆分为两数平方和 核心考点 ·5大典型考点精讲 考点一：二次根式的定义  ※ 方法总结 · 识别二次根式：根指数为2，被开方数≥0。 · 注意 （三次根式）不是二次根式； 当 为任意实数时都有意义，因为 。 · 根据数列规律求第 项时，观察根号下的被开方数变化规律。 1．（2025秋•静安区校级月考）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•徐汇区校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•徐汇区三模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•杨浦区校级月考）对于，当是整数时，最小的正整数a＝　 　 ． 5．（2025秋•上海校级月考）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是　 　 ． 考点二：二次根式有意义的条件  ※ 方法总结 · 被开方数≥0 列出不等式（组）求解。 · 若出现两个根式且被开方数互为相反数（如 和 ），则被开方数只能为0，可求 。 · 当根式在分母位置时，还需保证分母≠0。 · 注意结合“算术平方根的非负性”和“偶次幂的非负性”求值。 6．（2025春•宝山区校级期末）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2 7．（2025秋•虹口区校级期末）如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2 8．（2025秋•黄浦区校级月考）若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（　　） A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0 9．（2025秋•浦东新区校级月考）已知a，b为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 10．（2025秋•宝山区校级月考）若，则xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定 11．（2026春•浦东新区校级月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 12．（2025秋•浦东新区校级期中）已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 　 　 ． 13．（2025秋•黄浦区校级月考）代数式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 14．（2024秋•长宁区校级期末）当实数x　 　 时，有意义． 15．（2025秋•宝山区校级期末）若，则xy的值为　 　 ． 16．（2026•浦东新区校级模拟）已知，则a2026﹣b2026的值是　 　 ． 17．（2025秋•普陀区期末）已知实数x、y满足，求的立方根． 18．（2025秋•青浦区校级月考）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 19．（2024春•浦东新区校级期中）已知实数a满足，求a﹣20062的值． 20．（2024秋•嘉定区月考）若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值． 考点三：二次根式的性质与化简 ※ 方法总结 · 化简含字母的二次根式，注意字母的取值范围（由被开方数非负决定）。 · 核心公式：，先判断a的正负再脱绝对值。 · 结合数轴时，先根据数轴判断各代数式的符号，再利用 化简。 · 分母有理化：分子分母同乘适当因式，化去分母中的根号。 · “穿墙”规律与复合二次根式化简：构造完全平方，拆分为两个根式的和或差。 21．（2026•长宁区二模）下列实数中，比3小的无理数是（　　） A． B． C．π D． 22．（2025秋•普陀区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2025秋•金山区期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A．2b﹣a B．b﹣2a C．a D．﹣a 24．（2025秋•徐汇区校级期中）二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 25．（2025秋•长宁区校级期中）若a+|a|＝0，则的值是（　　） A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a 26．（2025秋•普陀区校级期中）当0＜a＜1时，化简（　　） A．a B．﹣a C．a D．a 27．（2025秋•浦东新区校级期中）实数a，b，c在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A．﹣2b B．﹣2b+2c C．2a﹣2b D．2a﹣2c 28．（2025秋•杨浦区期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 即： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数a都等于它的相反数﹣a”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（　　） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 29．（2025秋•宝山区校级月考）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 30．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ． 31．（2025秋•闵行区校级期末）如果的化简结果与x无关，那么x的取值范围是　 　 ． 32．（2025秋•青浦区校级期末）已知，，那么的值约为　 　 ． 33．（2025•上海自主招生）已知，则x3﹣x的值为　 　 ． 34．（2025秋•松江区校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示， 化简：． 35．（2025秋•黄浦区校级月考）当3＜x＜5时，化简：． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 37．（2025秋•闵行区校级期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； （1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是　 　 （填序号）： （2）已知，求代数式的值； （3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 38．（2025秋•徐汇区校级月考）小明在解决化简的过程中发现，通过完全平方公式可以将这个代数式化简． 例如：． （1）请你仿照小明的方法化简：． （2）计算：． 考点四：最简二次根式  ※ 方法总结 · 最简二次根式必须满足：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 · 判断时，先将根式化简，再检查是否满足上述条件。 · 若被开方数含有字母，需考虑字母的取值（如 需根据 的符号开方）。 · 利用最简二次根式的定义可求参数（如指数关系列方程）。 39．（2026春•闵行区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 40．（2024秋•浦东新区校级月考）化简成最简二次根式后等于（　　） A． B． C． D． 41．（2026•静安区校级模拟）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 42．（2025秋•浦东新区校级期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 43．（2025秋•徐汇区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 44．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　 　 ； ②　 　 ． 45．（2025春•青山湖区期中）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 二次根式识别作业2 有意义的条件作业3 含字母化简作业4 最简二次根式 作业5 最简二次根式判断作业6 有意义的条件作业7 有意义的条件作业8 有意义的条件 作业9 有意义的条件作业10 有意义的条件作业11 数轴化简作业12 二次根式化简 作业13 相邻整数规律作业14 双重根式化简作业15 双重根式化简 💡 复习建议 概念辨析：准确区分 与 ( )²，注意取值范围的不同。 有意义的条件：被开方数非负是核心，含分母时需额外注意。 化简技巧：去绝对值前先判断符号，双重根式用配方法。 最简二次根式：先化简再判断，注意分母有理化。 数形结合：利用数轴判断符号，简化绝对值运算。 【作业1】（2025•崇明区三模）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2025秋•徐汇区校级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥﹣2 【作业3】（2025秋•松江区期中）化简二次根式，结果是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•长宁区校级期中）已知a＞0，那么可化简为（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2025秋•上海校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2025秋•虹口区校级期末）若有意义，则x的取值范围为　 　 ． 【作业7】（2025秋•黄浦区期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 【作业8】（2026•岚山区二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 【作业9】（2025秋•普陀区期末）若式子有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 【作业10】（2025秋•静安区校级期中）已知x，y是实数，且y，求5x+6y的值． 【作业11】（2025秋•浦东新区校级月考）已知a，b，c的位置如图所示，求的值． 【作业12】（2025秋•闵行区校级同步）化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【作业13】（2025秋•闵行区校级期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为两个相邻的整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为两个相邻的整数，16﹣9＝7＝2×3+1；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝21．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得　 　 ＝b． 整理得b﹣a＝21． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式，补全小明的证明过程． （2）若和为两个相邻整数，则m的值是　 　 ． （3）若和为相差4的两个整数，求n的值． 【作业14】（2025秋•宝山区校级月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 【作业15】（2025秋•浦东新区校级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如． （1）填空：　 　 ； （2）化简，并写出化简过程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $