专题20.2 二次根式的运算（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦二次根式的运算核心知识点，系统梳理同类二次根式的辨识与合并方法，二次根式乘除运算法则及分母有理化技巧，混合运算顺序与乘法公式应用。以“概念理解-法则掌握-易错警示-即时练习”为学习支架，构建从基础到综合的递进式知识脉络。 该资料亮点在于分层题型设计，通过典例与变式题结合，强化运算能力与推理意识。易错点睛环节明确规范步骤，培养数学语言表达。课中助力教师实施分层教学，提升课堂效率，课后学生可自主练习巩固，有效查漏补缺，发展应用意识。

专题20.2 二次根式的运算 教学目标 1. 理解同类二次根式定义，能先化简再判断、合并同类二次根式。2. 熟记二次根式乘、除运算法则，能熟练完成乘除、化简。 3. 掌握分母有理化，会找有理化因式，处理分式型根式。 4. 掌握混合运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号；整式乘法公式（平方差、完全平方）可直接用于根式运算。 教学重难点 1.重点 二次根式的加减、乘除运算； 2.难点 二次根式的混合运算。 知识点01 二次根式的加法与减法 1. 同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。 2. 合并同类二次根式 与合并同类项一样，几个同类二次根式化可以进行合并，合并时把系数相加减，被开方数不变。 3二次根式的加法与减法运算 二次根式加减法运算的步骤： ①化简二次根式； ②利用分配律合并被开方数相同的二次根式。 【易错点睛】 ①必须先化简成二次根式才能辨别是否为同类二次根式； ②不是同类二次根式不能合并。 【即学即练】 1.计算： 知识点02 二次根式的乘法与除法 1. 二次根式的乘法 乘法法则：=(a) 2. 二次根式的除法 除法法则：=(a) 3. 分母有理化 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，分母有理化的方法，一般式把分子和分母同时乘以分母的有理化因式。 ① 的有理化因式是它本身； ② + 的有理化因式是- ; + 的有理化因式是- ; 【易错点睛】 二次根式运算的结果必须化成最简二次根式， ①被开放数中不含可开方的因数和分母； ②分母中不含根号。 4. 二次根式的混合运算 ①二次根式混合运算顺序类似于整式的混合运算，先乘方、再乘除、最后加减； ②有括号的先算括号里的； ③可以用运算律的、乘法公式简便计算的尽可能简便计算. 【即学即练】 1.计算 2.计算：； 题型01 同类二次根式的辨识 【典例1】下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型02 根据同类二次根式概念求参数 【典例1】与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【变式1】若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【变式2】如果最简二次根式与能合并，则______ 【变式3】与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【变式4】若与最简二次根式能合并，则的值为______． 题型03 二次根式的加减法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算：_______________． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式4】计算下列各式： (1)； (2)． 题型04 二次根式的乘法 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1)； (2)； 【变式3】计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型05 利用乘法公式计算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【变式2】计算：； 【变式3】计算：． 【变式4】 计算： (1) (2) 题型06 分母有理化 【典例1】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【变式1】的有理化因式是_______________． 【变式2】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（   ） A． B． C． D． 【变式4】化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 题型07 二次根式的乘除运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)． (2)（）． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 题型08 二次根式的混合运算 【典例1】计算： (1)． (2)． (3)． 【变式1】小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式4】计算： (1)． (2)（其中）． (3)． 题型09 二次根式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【典例2】已知，，求的值． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简，后求值：，其中，． 【变式4】实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 题型10 已知字母值求对称式的值 【典例1】已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【变式1】已知，则的值为________． 【变式2】已知，，求的值． 【变式3】已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式4】已知：，，求：的值． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 二、填空题 6．分母有理化：（1）______；（2）_______ 7．计算的结果是______． 8．已知，，则代数式的值等于____________． 三、解答题 9．计算： (1) (2) 10．计算： (1) (2) 11．先化简，再求值：，其中． 12．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算：①，②，③，④，其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 5．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 6．计算的结果是________． 7．（1）计算：_________________； （2）计算：________________； （3）计算：____________________； （4）计算：__________________． 8．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 9．计算 (1)计算：； (2)计算：． 10．计算： (1) (2) (3) 11．化简求值： (1)，其中； (2)已知，，求的值； 12．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 二次根式的运算 教学目标 1. 理解同类二次根式定义，能先化简再判断、合并同类二次根式。2. 熟记二次根式乘、除运算法则，能熟练完成乘除、化简。 3. 掌握分母有理化，会找有理化因式，处理分式型根式。 4. 掌握混合运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号；整式乘法公式（平方差、完全平方）可直接用于根式运算。 教学重难点 1.重点 二次根式的加减、乘除运算； 2.难点 二次根式的混合运算。 知识点01 二次根式的加法与减法 1. 同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。 2. 合并同类二次根式 与合并同类项一样，几个同类二次根式化可以进行合并，合并时把系数相加减，被开方数不变。 3二次根式的加法与减法运算 二次根式加减法运算的步骤： ①化简二次根式； ②利用分配律合并被开方数相同的二次根式。 【易错点睛】 ①必须先化简成二次根式才能辨别是否为同类二次根式； ②不是同类二次根式不能合并。 【即学即练】 1.计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 先化简二次根式，再运用分配律进行加减法运算即可． 【详解】解：原式 ． 知识点02 二次根式的乘法与除法 1. 二次根式的乘法 乘法法则：=(a) 2. 二次根式的除法 除法法则：=(a) 3. 分母有理化 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，分母有理化的方法，一般式把分子和分母同时乘以分母的有理化因式。 ① 的有理化因式是它本身； ② + 的有理化因式是- ; + 的有理化因式是- ; 【易错点睛】 二次根式运算的结果必须化成最简二次根式， ①被开放数中不含可开方的因数和分母； ②分母中不含根号。 4. 二次根式的混合运算 ①二次根式混合运算顺序类似于整式的混合运算，先乘方、再乘除、最后加减； ②有括号的先算括号里的； ③可以用运算律的、乘法公式简便计算的尽可能简便计算. 【即学即练】 1.计算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式． 先化简二次根式，计算括号内二次根式的减法，再进行乘除运算，最后进行加减计算． 解： ． 2.计算：； 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 题型01 同类二次根式的辨识 【典例1】下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和的被开方数相同，即可得到答案． 【详解】解：同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式． ∵ 选项A：是最简二次根式，被开方数为，与是同类二次根式． 选项B：，被开方数为，与是同类二次根式． 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式． 选项D：是最简二次根式，被开方数为，与是同类二次根式． 【变式1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 【变式2】下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数与的被开方数相同，因此将各选项化为最简二次根式后判断即可． 【详解】解：选项A中是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项B中，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式，可以合并； 选项C中，化简后被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项D中，不含被开方数为的二次根式，故不能合并． 【变式3】下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 题型02 根据同类二次根式概念求参数 【典例1】与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 【变式1】若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式，据此列式解答即可．　 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 【变式2】如果最简二次根式与能合并，则______ 【答案】0 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 【变式3】与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 【变式4】若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 两个二次根式为同类二次根式，被开方数相等， 即，解得． 题型03 二次根式的加减法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式1】计算：_______________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式4】计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并； （1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型04 二次根式的乘法 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； 【答案】 (1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【变式3】计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 题型05 利用乘法公式计算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键； （1）先利用完全平方差，平方差公式展开，然后利用二次根式的性质化解，进而求解即可； （2）整理后，利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行计算求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用完全平方公式和平方差公式求解等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式2】计算：； 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 【变式3】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式4】 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型06 分母有理化 【典例1】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【答案】B 【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】的有理化因式是_______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为． 故答案为：． 【变式2】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【变式3】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，把分子、分母都乘以化简即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式4】化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 题型07 二次根式的乘除运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型08 二次根式的混合运算 【典例1】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，掌握各运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化，利用多项式乘多项式法则展开，然后合并即可； （2）先把括号内各二次根式化简为最简二次根式，然后合并，利用乘方法则计算，然后计算除法，最后算减法即可； （3）先把二次根式化简为最简二次根式，利用二次根式的乘除法法则进行计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确的解答见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 除法没有分配律，所以小明的解法错误；把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算． 【详解】解：他的解法不正确，正确解答过程为： 原式 ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先分母有理化，再运用二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：解： ； （4）解： ． 【变式4】计算： (1)． (2)（其中）． (3)． 【答案】(1) (2)4 (3)2025 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算； （2）利用完全平方公式展开，再进行加减运算； （3）先对第一个括号内的每一项进行分母有理化，再进行裂项相消，最后利用平方差公式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是活用乘法公式，掌握分母有理化与裂项相消． 题型09 二次根式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据二次根式的性质，进行化简，再进行合并，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 【典例2】已知，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，首先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先根据二次根式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，代数求值等，解题的关键是掌握二次根式的各运算法则． 先进行二次根式的混合运算，再代数求值． 【详解】解：原式． 将代入，得原式． 【变式3】先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先结合因式分解对二次根式进行化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式4】实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 题型10 已知字母值求对称式的值 【典例1】已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 【变式1】已知，则的值为________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，利用平方差公式和完全平方公式求解，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化． 先进行二次根式的分母有理化，再整理分式，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：18． 【变式2】已知，，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及完全平方公式等知识．根据已知条件，先求得，，然后将整理为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式3】已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 【变式4】已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误； 选项B：，∴，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，，∴，D错误． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则、合并规则、算术平方根的性质逐一判断选项即可． 【详解】选项A： ， 故A正确； 选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 选项D：，故D错误． 3．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值． 【详解】解：最简二次根式与能够合并 与是同类二次根式， 解得：． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 5．已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行分母有理化化简，再将化简结果与比较，即可得到和的关系． 【详解】解： ， 又∵， ∴． 二、填空题 6．分母有理化：（1）______；（2）_______ 【答案】 【详解】解：（1）； （2）． 7．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 8．已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 【详解】解：． 三、解答题 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 12．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用分母有理化计算； (2)先分母有理化，然后合并即可； (3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解： ； （3）， ， ∴，即． ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 2．下列运算：①，②，③，④，其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：① 化简得，，①错误； ② 根据二次根式乘法法则计算：，②错误； ③ 根据二次根式除法法则计算：，③正确； ④ 根据完全平方公式展开计算：，④错误； 综上，错误的运算共3个. 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 4．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 5．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 6．计算的结果是________． 【答案】 【分析】先根据无理数比较大小的原则判断与的大小，由此化简绝对值，再由二次根式的乘法以及加减法运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，则， ∴ ． 7．（1）计算：_________________； （2）计算：________________； （3）计算：____________________； （4）计算：__________________． 【答案】 【详解】解：（1）． （2） ． （3）． （4） ． 8．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 9．计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）使用完全平方公式和二次根式的除法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解：               ． 10．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 11．化简求值： (1)，其中； (2)已知，，求的值； 【答案】(1)化简结果为，值为 (2) 【分析】（1）先对分式进行化简，然后再代值求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而代入进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； ∵， ∴原式； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 12．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分母有理化，即可求解； （2）先求得的值，进而可得，整体代入，降次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）， ， ， ， ， 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $