第一章 因式分解 单元练习 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学第一章因式分解单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合情境化与数学思想方法，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|因式分解定义、提公因式法、公式法|结合“爆学数美了夯”汉字对应式考查应用（第6题）| |填空题|5|整体代入求值、新定义运算、密码生成|以多项式因式分解生成密码（第16题），体现模型意识| |解答题|14|配方法、换元法、分组分解法、项目式学习|设计“配方法分解因式”项目式任务（第23题），融合几何直观与推理意识|

· 八年级数学第一章练习 · 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．因式分解：（     ） A． B． C． D． 4．运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 5．一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B．C． D． 6．已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 7．若长和宽分别为和的长方形的周长为，面积为，则代数式的值（     ） A． B． C． D． 8．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 9．下列各多项式：①;②;③;④;能直接用公式法分解因式的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 11．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 12．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，，则代数式的值为____________． 14．已知二元一次方程组，则代数式的值为________． 15．对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 16．生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_____________． 17．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 三、解答题 18．因式分解：． (1)； (2) (3)； (4) （5） ； (6)． 19．先化简，再求值：，其中，． 20．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：．解：当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 21．分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 22．将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ① ；②_ ； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 23．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 24．配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： (1)分解因式；原式______． (2)求代数式的最小值：， ∵，∴当即时，有最小值，最小值是______． (3)如图，在四边形中，，，，若;求四边形面积的最大值． 25．“换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 26．如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 《2026年7月1日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A B D C C B A C C D 1．D 【分析】根据“把一个多项式化为几个整式的积的变形叫做因式分解”逐一判断选项即可. 【详解】解：∵选项A中，等式右边不是整式乘积的形式，是和的形式， ∴A不是因式分解； ∵选项B中，左边是单项式，不是多项式，因式分解是对多项式变形， ∴B不是因式分解； ∵选项C中，变形是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，与因式分解变形方向相反， ∴C不是因式分解； ∵选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积形式，符合因式分解的定义， ∴D是因式分解. 2．B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 3．A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：． 4．B 【分析】本题考查公因式的确定方法，公因式是多项式各项共有的因式，确定规则为：取相同字母的最低次幂，乘积即为公因式． 【详解】解：∵ 多项式包含两项 和 ，且两项都含有字母和，其中的最低次幂是次，的最低次幂是次， ∴ 应提取的公因式为 ． 5．D 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 6．C 【分析】先对原式因式分解，再将分解得到的因式对应题目给出的汉字，即可得到结果，解题用到提公因式法和平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 根据题意，对应关系为：对应数，对应学，对应夯，对应爆， ∴结果呈现的信息可能是数学夯爆． 7．C 【分析】根据长方形的周长和面积公式得到和的值，对所求代数式提取公因式因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形的长和宽分别为，，周长为，面积为， ∴，，即， ∴． 8．B 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反; 【详解】解： A. ∵中两项符号相同，不符合平方差公式因式分解的要求，∴A错误； B. ∵，是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，∴B正确； C. ∵是三项多项式，不符合要求，∴C错误； D. ∵，两项符号相同，不符合要求，∴D错误; 9．A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 10．C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 11．C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 12．D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 13． 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 14．36 【分析】用减去得出，然后根据因式分解可进行求解． 【详解】解：∵， ∴得：， ∴． 15． 【分析】首先依据新定义的运算法则把所给式子转化为常规的代数式，然后利用因式分解的步骤和方法分解因式即可． 【详解】解：原式 16． 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入计算各因式的值，将结果按从小到大排列后拼接得到密码． 【详解】对多项式因式分解：， 当时， 计算各因式的值：，，， 将三个因式的值按从小到大排列，拼接得到六位数密码“”． 17． 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 18． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． (5)． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ； （8）解：． （9）解： ； 19．， 【分析】法一：根据完全平方公式与多项式乘以多项式进行计算，合并同类项，再将字母的值代入，法二：提公因式分解因式，再计算单项式乘以多项式，最后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解：法一： 当，时，原式． 法二： 当，时，原式． 20．(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 21． 【分析】根据因式分解及整式的乘法进行求解即可． 【详解】解：∵嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，且， ∴， ∵琪琪看错了b的值，分解的结果是，且， ∴， ∴． 22．(1)①；②； (2) 【分析】（1）①仿照题干中的方法把拆成，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； ②利用分组分解因式的方法，可得：原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （2）利用拆项法可得：，利用完全平方公式分解因式可得，根据平方的非负性可得，，，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ． 23．(1) (2)①；② 【分析】（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 24．(1) (2) (3)9 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）根据不等式的性质求解； （3）设与交于点O，首先表示出，然后利用配方法表示出四边形面积，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设与交于点O ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，四边形面积的最大值为9． 25．(1)设，则原式． 把代入， 得原式 (2) 【分析】（1）根据题意进行因式分解即可； （2）设，再根据题意进行因式分解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则 原式． 把代入，得 原式． 26．(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设，即可得出，再结合、均为整数，为正整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，且， ∴设， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或或或或或， 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 27．(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 答案第1页，共2页 答案第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $