14.3角的平分线(第一课时 角平分线的性质)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦“角平分线的性质”第一课时，核心内容包括角平分线的尺规作图方法和性质定理。课堂导入通过平分角仪器引导学生思考原理，自主预习让学生画图观察比较得出猜想，再通过证明形成从动手操作到抽象定理的学习支架。 资料特色在于引导学生用数学眼光观察（画图猜想）、数学思维推理（规范证明步骤）、数学语言表达（几何语言表述）。典例与变式训练分层设计，覆盖线段相等、距离计算等应用，帮助学生准确识别“点到两边距离”条件，提升推理能力与应用意识。

14.3角的平分线（第一课时 角平分线的性质） 【学习目标】 1. 掌握角平分线的尺规作图方法，能规范表述作图步骤； 2. 理解并掌握角平分线的性质定理，能准确识别定理的三个适用条件； 3. 能运用角平分线的性质解决线段相等、距离计算、几何证明等简单问题。 【学习重点】 1. 角平分线的尺规作图方法； 2. 角平分线性质的探究与应用。 【学习难点】 1. 角平分线尺规作图的原理理解； 2. 角平分线性质中“点到两边的距离”这一条件的准确识别与规范应用； 3. 复杂图形中角平分线辅助线的构造思路。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 如图，是的平分线.点，，，…在上，过点，，，…分别画与的垂线，垂足分别为与、 与、 与…分别比较与、 与、 与……，你有什么发现? 结论： _________________________________________ 猜想：角平分线的性质 ________________________________________________ 你能证明这个猜想结论吗？ 已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为，. 求证：. 角平分线的性质：______________________________________ 几何语言： ∵___________________________________________ ∴___________________________________________ 【课堂探究】 问题导入 如图，在一个平分角的仪器中，，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线，你能说明是这个角的角平分线的道理吗？ 新知探究 探究一、角平分线的作法 问1 .你有哪些方法能画出这个角的平分线吗？(可根据问题导入中的启示，你能利用尺规作图，作一个角的角平分线吗？) 探究二、角平分线的性质 问2 .如图，是的平分线.点，，，…在上，过点，，，…分别画与的垂线，垂足分别为与、 与、 与…分别比较与、 与、 与……，你有什么发现? 你能证明这个猜想结论吗？ 已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为，. 求证：. 归纳总结 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的____________； 2.根据题意，____________，并用____________表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，_____________ 角平分线的性质： ______________________________________________________ 应用具备的条件 _______________________________________________________ 几何语言： ∵______________________________________________________ ∴______________________________________________________ 典例分析 例1.(1)如图,是的平分线,点在上,于,于,,则=___ ___. (2)如图, 是的平分线，点在上,于，点为射线上一动点，若，连，则的取值范围是______ (3)如图, 是的平分线,点在上, 于,于, 的面积为，,则=_____. 例2.如图，中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为． 求证: 例3.如图，已知：平分，在，边上取，，，垂足分别为，. 求证：. 变式训练 1.如图，已知∥，的平分线与的平分线相交于点，作于点，作于点，交于点，若，求两平行线与之间的距离 2.如图，，，于点，于点.求证：. 3.如图，，是的平分线，将三角尺的直角顶点在射线上滑动，两直角边分别与，交于点和点.求证：. 【课堂总结】 【课堂练习】 1．如图，是的平分线上一点，于点，于点，下列结论不正确的是() A. B. C.≌ D. 2.如图，平分,于点，且，，则的度数为_________ 3.如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点.若，则的大小等于_________ 4.如图，是的平分线，于点,于点.若，，的面积是，则的长为_______ 5.如图，, ，垂足分别为，，，相交于点，.求证：. 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3角的平分线（第一课时 角平分线的性质） 【学习目标】 1. 掌握角平分线的尺规作图方法，能规范表述作图步骤； 2. 理解并掌握角平分线的性质定理，能准确识别定理的三个适用条件； 3. 能运用角平分线的性质解决线段相等、距离计算、几何证明等简单问题。 【学习重点】 1. 角平分线的尺规作图方法； 2. 角平分线性质的探究与应用。 【学习难点】 1. 角平分线尺规作图的原理理解； 2. 角平分线性质中“点到两边的距离”这一条件的准确识别与规范应用； 3. 复杂图形中角平分线辅助线的构造思路。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 如图，是的平分线.点，，，…在上，过点，，，…分别画与的垂线，垂足分别为与、 与、 与…分别比较与、 与、 与……，你有什么发现? 结论： ，，， 猜想：角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 你能证明这个猜想结论吗？ 已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为，. 求证：. 证明：∵是B的平分线， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴≌()， ∴. 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何语言： ∵点是平分线上的一点，， ∴ 【课堂探究】 问题导入 如图，在一个平分角的仪器中，，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线，你能说明是这个角的角平分线的道理吗？ 由可得≌推出 新知探究 探究一、角平分线的作法 问1 .你有哪些方法能画出这个角的平分线吗？ 根据问题导入中的启示，你能利用尺规作图，作一个角的角平分线吗？ 作法 如图，已知. (1)以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点. (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点. (3)作射线.射线即为的平分线. 为什么要大于 确保两条弧线有交点 探究二、角平分线的性质 问2 .如图，是的平分线.点，，，…在上，过点，，，…分别画与的垂线，垂足分别为与、 与、 与…分别比较与、 与、 与……，你有什么发现? 结论： 猜想：角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 你能证明这个猜想结论吗？ 已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为，. 求证：. 证明：∵是B的平分线， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴≌()， ∴. 归纳总结 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 应用具备的条件 ①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离. 几何语言： ∵点是平分线上的一点，， ∴ 或∵，， ∴ 归纳总结 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等. 典例分析 例1.(1)如图,是的平分线,点在上,于,于,,则=___ ___. (2)如图, 是的平分线，点在上,于，点为射线上一动点，若，连，则的取值范围是_______ (3)如图, 是的平分线,点在上, 于,于, 的面积为，,则=___ ___. 例2.如图，中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为． 求证: 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴ 例3.如图，已知：平分，在，边上取，，，垂足分别为，. 求证：. 证明：∵平分，∴， 在和中， ∴≌() ∴， 又∵，， ∴ 变式训练 1.如图，已知∥，的平分线与的平分线相交于点，作于点，作于点，交于点，若，求两平行线与之间的距离 解：∵ ∥， ∴，的长即为与之间的距离. ∵平分， ， ， ∴. 同理，. ∴. ∴.即与之间的距离为. 2.如图，，，于点，于点.求证：. 证明：如图，连接. 在和中， ∴≌(). ∴，即平分. ∵，， ∴. 3.如图，，是的平分线，将三角尺的直角顶点在射线上滑动，两直角边分别与，交于点和点.求证：. 证明：如图，过点作于点，于点， ∴. ∵是的平分线， ∴. ∵，， ∴∠ 又∵， ∴. 在和中，∴≌(). ∴. 归纳总结 见角平分线常做辅助线为：过角平分线上一点向两边作垂线段 【课堂总结】 【课堂练习】 1．如图，是的平分线上一点，于点，于点，下列结论不正确的是(D) A. B. C.≌ D. 2.如图，平分,于点，且，，则的度数为__ _______ 3.如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点.若，则的大小等于__ _______ 4.如图，是的平分线，于点,于点.若，，的面积是，则的长为__ ______ 5.如图，, ，垂足分别为，，，相交于点，.求证：. 证明：∵， ∴平分. 又∵，， ∴. 在和中，, ∴≌(), ∴. 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $