14.3 角的平分线-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

14.3j 角的平分线 新知解读 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等， 来证明线段相等或角相等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线 上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上· 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的.我们先来看角的 平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系· Q探究 如图14.3-1，OC是∠AOB的平分线，P是OC A 上的任意一点，M,N分别是OA,OB上的点，我们 M 研究PM与PN的关系」 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的 一些特殊情况.在图14.3-1中，当OM与ON满足 图14.3-1 什么关系时，PM=PN? OM-ON. 在图14.3-1中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP=OP,∠POM= ∠PON.如果OM=ON,那么△OPM≌△OPW(SAS),就有PM=PN. 反过来，如图14.3-2，M,N分别是∠AOB的 边OA,OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内 M 部，PM=PN.连接OP,可以证明△OPM≌△OPW -p (SSS),所以∠POM=∠PON,即点P在∠AOB的平 B 分线上. 图14.3-2 曾思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点， 再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射 48教材笔记数学八年级上册RJ 线，就能得到角的平分线了.下面是具体作法. 作法：如图143-3，已知∠A0B)以作图方便为宜，不能太长也不能太短 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于点M,交OB于点N;QM=ON (2)分别以点M,N为圆心，大于}MW的长为 半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB的内部相交 于点C; 以小于号MN的长为半径作出的两孤不能 >MC-NC 相交，以等于号MN的长为半径作张不易操作 图14.3-3 (3作射线0C,则射线OC为∠A0B的平分线，角的平分数是冬 射线，不是线段 下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关 系，我们仍研究其中的特殊情形. 用尺规作一个角的平分线，实质是运用“SSS”构造全等三角形， 根据全等三角形的对应角相等作出角的平分线： Q探究 如图14.3-4，OC是∠AOB的平分线.点P, 4 P2,P,…在OC上，过点P,P2,P3,…分别 画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与 E2、D3与E3….分别比较PD1与PE1、PD2与 E1 E2 E3 B P2E2、PD3与PE3…,你有什么发现？ 图14.3-4 可以发现，PD1=PE1,PD2=PE2,PD,=PE3,·,由此我们猜想角的平 分线有以下性质： 指点到角的两边 注意：角的平分线的性质可直接使用 ?的垂线段的长度不需要再通过证明三角形全等得到线 角的平分线上的点到角两边的距离相等.段相等 下面，我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”.显然， 已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的 距离相等”，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并 用符号表示已知和求证. A 如图14.3-5，OC是∠AOB的平分线，点P在 D OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证 PD=PE. E 分析：如果能证明△OPD≌△OPE,就可以得到 图14.3-5 PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 第十四章全等三角形 证明：：OC是∠AOB的平分线， .∠AOC=∠BOC 利用角的平分线的性质解决问题的核心思路 (1)若已知条件存在两条垂线段，则考虑垂线 .PD⊥OA,PE⊥OB, 段相等， ∴.∠PDO=∠PEO=90° (2)若已知条件存在一条垂线段，则考虑通过 作辅助线补出另一条垂线段： 在△OPD和△OPE中， (3)若已知条件不存在垂线段，则考虑通过作 ∠AOC=∠BOC, 辅助线补出两条垂线段· ∠PDO=∠PEO, OP=OP, .△OPD≌△OPE(AAS). ∴.PD=PE 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 命题中的题设部分( 1.明确命题中的已知和求证；命题中的结论部分 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程 注意考虑是否存在不同情形，若存在，应分别画出图形，再逐一进行证明 练习0 1.如图，在直线MN上求作一点P,使，点P在∠AOB的内部，且，点P到射 线OA和OB的距离相等.1.如图所示，点P即为所求.提示：作∠AOB的 平分线，它与直线N的交点就是点P A P E G B (第1题) (第2题) PD-PE- 2.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E.点F,G分别在OA,OB上，DF=EG,连接PF,PG. 求证PF=PG.2.略.提示：先证明PD=PE,再证明△PDF≌△PEG(SAS)」 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质 的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在 角的平分线上吗？ 50 教材笔记数学八年级上册BJ 角的平分线的性质和判定的 通过判定两个三角形全等，可以得到：条件和结论是互逆的 @ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上， 按照证明命题的步 从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到 骤，自己证明这个结论 角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边距离 相等的点在角的平分线上，所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成 到角两边距离相等的所有点的集合. 例如图14.3-6，△ABC的角平分线BM, CN相交于点P.求证： (1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； (2)△ABC的三条角平分线交于一点. 分析：(1)由已知可得点P到边AB,BC的距 图14.3-6 离相等，点P到边BC,CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等；(2)要 证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上， 证明：(1)过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为D,E,F. .·BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， 拓展：(1)当题目中出现南角 .PD=PE 的内部一点到角两边的距离 相等时，考虑应用角的平分 同理PE=PF. 线的判定： (2)三角形的三条角平分线 ∴.PD=PE=PF 交于三角形内一点，且该点 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等 到三角形三边的距离相等，反 之，在三角形内部到三边距 (2)由(1)得，点P到边AB,CA的距离相等， 离相等的点是该三角形三条 角平分线的交点· “.点P在∠A的平分线上 ·.△ABC的三条角平分线交于一点. 练习 1.如图，AB⊥CD,CE⊥AD,垂足分别为B,E, AB=CE,AB,CE相交于，点F,连接DF.求证：FD 1.路，提示：先证明△ABD≌△CED(AAS) 平分∠BFE.得DB=DE,再由角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上，得出FD平分∠BFE. 2.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平 分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF,CG (第1题) 第十四章全等三角形 相交于点P.求证： (1),点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等； E 2.(1)路.提示：如图，过点P作PM⊥AB 夕 PN⊥BC,PH⊥CA,垂足分别为M,N,H.由 角的平分线上的点到角两边的距离相等，可得 P PM-PN-PH. N G (2)点P在∠A的平分线上 BM D (2)由(1)得，点P到边AB,AC所在直线 （第2题) 的距离相等，所以点P在∠A的平分线上 习题14.30 复习巩固 1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别为E,F.求证EB=FC ->DE=DF←- 1.略.提示：先证明DE-DF,再证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)·4 (第1题) ->FE=FD (第2题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,BD,CE 相交于点F.求证：FA平分∠DFE.2.略 3.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB= OC.求证∠1=∠2.3.证明：CD1AB,BE1AC,BD0=2CD0-90,在△OBD I∠BDO=∠CEO 和△OCE中 ∠BOD=∠COE,.∴.△OBD≌△OCE(AAS). OB=OC .OD=OE..·OD⊥AB,OE⊥AC,∴.∠1=∠2 F 隐含条件 ∠BOD=∠COE B (第3题) (第4题) 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在边AC上求作一点P,使点P到边BC和 边B的距离相等色南或家作乙BC的令度 52教材笔记数学八年级上册RJ 综合运用 ->∠BAD=∠CAD ∠EPD=∠BAD← 5.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB,交BC 于点E,PF∥AC,交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等. 、->∠FPD=∠CAD 5.路.提示：证明∠EPD=∠FPD. D F C B (第5题) (第6题) >PD=PE←- 6.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别为D,E.F是OC上的另一点，连接DF,EF.求证DF=EF 6.略.提示：先证明∠DPF=∠EPF,再证明△DPF≌△EPF(SAS). 拓广探索 7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F, 连接EF,EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗？证明你的结论. 7.AD⊥EF.证明路，提示：先证明DE=DF,∠EDG=∠FDG,D 再证明△DEG≌△DFG（SAS). D B (第7题) (第8题)》 8.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分∠DAB (提示：过点E作EF⊥AD,垂足为F.) 8.略，提示：按照题中提示作辅助线，证明EF=EB 第十四章全等三角形 53 图说数学史 公理化方法 公理化方法，就是从尽可能少的基 本概念和尽可能少的一组不加证明的原 EUCLIDS ELEMENTS 始命题（公理或公设）出发，应用严格 Geometry. 的逻辑推理，推导出其余的命题，使某 W79mo Euclid's DATA: 一数学分支成为演绎系统的一种方法. A时Mnh 借助这种方法，就可以将知识整 理在一个严密的系统中，建成一座“大 厦”，《原本》（Elements)就是从5个 公理、5个公设和一些基本定义出发， 古希腊数学家欧几里得(Euclid,活 建立了一座由400多个定理组成的“几 动于公元前300年前后)运用公理化 何大厦”，这是历史上的第一个数学公 方法，系统整理已有的几何知识，写 成了《原本》 理化体系，也称欧氏几何.此后，它成 为数学乃至科学发展的公理化典范. 煮第 無分 自说理其诗 不 府中 界就三十六 是 欢 美何原本第一 中不 何家 府 是書之用 知先生之學可信不談大 易信便人 五藝者不以度劇從事 為功周官六藝 唐雲之世 程工雲典樂五宫 所用名 義 何原本 光啓 鸡口 徐光書 用略具英 大天地开 共想英意 和治歷 之 非 最早的《原本》（前六卷）汉译本 是1607年由徐光启（1562一1633) 方 和利玛窦(Matteo Ricci,1552 1610)合译的，翻译时使用了“几 何原本”这个名称 54 教材笔记数学八年级上册RJ 在欧氏几何中，第五公设为：同一平面内一条直线和另外两条直线相交， 如果在某一侧的两个内角的和小于180°，那么这两条直线无限延长后在这一 侧相交，第五公设不像其他几个公设那样，看上去简单明了，所以自古希腊时 代，数学家们就想方设法地要“证明”它，但都未成功.19世纪初，罗巴切夫斯 基(Lobachevsky,1792一1856)波尔约(Bolyai,,1802一1860入、高斯(Gauss,. 1777一1855)等数学家从“证明”转向“替代”，于是，当定义不相交的直线为平 行线，在新系统中，使用新的平行公设时，新的公理系统一非欧几何就诞生了· 过给定直线外一点，可以并 欧氏几何中，三角形的内 不同几何体系中的 且只能作一条直线与已知直 角和等于180°. 线平行.（等价于第五公设.) 替代公设：过给定直线外一 双曲几何中，三角形的内 「三角形的内角和 点，至少可以作两条直线与 角和小于180°. 已知直线平行. 替代公设：过给定直线外一 球面几何中，三角形的内 点，不能作任何一条直线与 角和大于180°. 已知直线平行 面对新出现的几何，数学家们开始探索它们之间的本质联系，德国数学家希 尔伯特（Hilbert,1862一1943)在《几何基础》（1899年)一书中建立了一个完 备的几何公理系统。 《原本》启示人们，在众多事物中，可以找出最基本的那些，并把它们作为 起点，以推导出各种各样的结论，形成公理体系， 第十四章全等三角形 55