14.3角的平分线(第二课时 角平分线的判定)（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以角平分线判定为核心，通过A组巩固、B组进阶、C组拔高及中考链接的四层设计，构建从概念应用到综合创新的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|判定定理直接应用、角度计算、内心与面积、基础证明|以选择填空为主，如“到三边距离相等的点”强化概念，培养几何直观| |B组|判定条件辨析、内外角平分线综合、面积角度综合应用|结合实际情境（如公路中转站），通过解答题发展推理能力| |C组+拓展|多结论问题、等积思想、手拉手模型、中考真题|以综合证明和中考题为例，如“等腰直角三角形手拉手”培养模型意识与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 14.3角的平分线（第二课时角平分线的判定) 参考答案 A组 巩固过关 颗型nM 利用角平分线的判定定理解决问题 1.B 2.D 题型 利用角平分线判定求角度 3.B 4.90° 5.115° 题型n3 内心与三角形面积问题 6.B 7.3:2:2 8.30 题型04 利用角平分线判定证明 9.证明：，AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD .DF⊥AC,DE⊥AB, .∠DEB=∠DFC=90°， 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BDE和Rt△CDF中， b, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF|HL, ∴.DE=DF, .'DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF, .点D在∠BAC的平分线上， 即AD平分∠BAC, 10..'BD⊥AC,CE⊥AB ∴.∠CDH=∠BEH=90°， ∴.∠C+∠DHC=∠B+∠EHB, ,∠DHC=∠EHB .∠C=∠B 在△BEH和△CDH中， L, .△BEH≌△CDH(AAS), ∴.HE=HD, ,BD⊥AC,CE⊥AB,BD与CE相交于点H, ∴.AH平分∠BAC. 11.证明：，PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C,PB=PC .AP平分∠BPC ∴.∠APB=∠APC. 在△PBD与△PCD中，，U,.△PBD≌△PCD(SAS), .∴.∠BDP=∠CDP B组 能力进阶 1.D 2.D 3.A 4.12 5.25° 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(1)解：，BD⊥AE,DC⊥AF,且DB=DC=2, ∴.AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD=克∠BAC=20 (2)解：由(1)可得∠CAD=20°， DC⊥AF, ∴.∠ADC=90°-20°=70°， .∠ADG=115° .∠CDG=∠ADG-∠ADC=45°， ∴.∠DGC=45° ..DC=CG=2, ·△CDG的面积=2DC·CG=2, 7.证明：如图所示，过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N, ,△DCE的面积与△DBF的面积相等 BF·DM_CE·DN 2 2 CE=BF, ∴.DM=DN, 又.'DM⊥AB,DN⊥AC. .AD平分∠BAC. 8.(1)解：EF⊥AB,∠AEF=50°， ∠FAE=90°-50°=40°， .∠BAD=100°， .∠CAD=180°-100°-40°=40° (2)证明：过点E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H, 3/5 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B DH :∠FAE=∠DAE=40°，EF⊥BF,EG⊥AD, ∴，EF=EG, :BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, .EF=EH, .'EG=EH, ∴.DE平分∠ADC: (3)解：S△AcD=12 .S+Sacw-ADEG+CD-EH-12. 时x4xG 1×8×EG=12, 2 解得EG=EH=2, EF=2, S,版号ABF分×6×2=6， 2 C组 思维拔高 1.B 2.B 3.(1)证明：，两个等腰直角三角形ADC与EDG, ∴.AD=CD,GD=ED,∠ADC=∠GDE=90°， ∴.∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG, 即∠ADG=∠CDE, 在△ADG和△CDE中， b, △ADG≌△CDE|SAS, ..AG=CE 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：如图，设CE,DG的交点为K, ,△ADG≌△CDE, ∴.∠AGD=∠CED, :∠HKG=∠DKE,∠EDG=90, .∠EHG=∠EDG=90°： (3)解：作DN⊥AG于N,DJ⊥CE于J,如图所示： .△ADG≌△CDE, .SAADG=SACDE:AG=CE, ×AG×DN=吃CExD1. .DN=DJ, ∴，HD平分∠AHE. 拓展 链接中考 1.B 2.C 515 分层作业 14.3角的平分线（第二课时 角平分线的判定） 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用角平分线的判定定理解决问题 题型02利用角平分线判定求角度 题型03 内心与三角形面积问题 题型04 利用角平分线判定证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )利用角平分线的判定定理解决问题 1．到的三条边距离相等的点是的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对 2．如图，在上求一点，使它到、的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的平分线的交点 ( 题型 0 2 )利用角平分线判定求角度 3.如图，于点，于点．若，则的度数为（   ） A．30° B．35° C．40° D．45° 4.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P=__________ 5.如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则_____    ( 题型 0 3 )内心与三角形面积问题 6.如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于_______________ 8.如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，则的面积为___________________． ( 题型 0 4 )利用角平分线判定证明 9.如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 10.如图，点，分别在线段，上，，，，相交于点，，连接．求证：平分． 11.如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点． 求证：∠BDP＝∠CDP.    1.如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 2．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（   ） A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 4.如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为____________ 5.如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于_______ 6.如图，已知于点B，于点C，且，；    (1)求的度数； (2)若，求的面积． 7.如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分．    8.如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 1．【多结论问题】如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 2．【等积思想】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（    ） A．1，1，1 B．2，2，2 C．1，2，1 D．，， 3．【手拉手模型】如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 1．（2018·黑龙江大庆·中考真题）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 2.如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 14.3角的平分线（第二课时 角平分线的判定） 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用角平分线的判定定理解决问题 题型02利用角平分线判定求角度 题型03 内心与三角形面积问题 题型04 利用角平分线判定证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )利用角平分线的判定定理解决问题 1．到的三条边距离相等的点是的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【详解】在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形的三条角平分线的交点． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 2．如图，在上求一点，使它到、的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的平分线的交点 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：因为点，到、的距离相等， 所以点在平分线上， 所以点是与的平分线的交点． 故选D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质；掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ( 题型 0 2 )利用角平分线判定求角度 3.如图，于点，于点．若，则的度数为（   ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定， 先根据角平分线的判定得平分，再根据角平分线的定义解答即可. 【详解】解：∵， ∴平分. ∵， ∴. 故选：B. 4.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P=__________ 【答案】90° 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理 【详解】试题分析:根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可． 解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等， ∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠BCD， ∴∠CBP+∠BCP=（∠ABC+∠BCD）， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠CBP+∠BCP=×180°=90°， ∴∠P=180°﹣（∠CBP+∠BCP）=180°﹣90°=90°． 考点：角平分线的性质；平行线的性质． 5.如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则_____    【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵点O到三边距离相等， ∴点O为的三条角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． ( 题型 0 3 )内心与三角形面积问题 6.如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点O作，，，根据角平分线的性质得，再根据，即可判断． 【详解】解：过点O作，，，如图所示， ∵点是的三条角平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 7.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于_______________ 【答案】3：2：2 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答． 【详解】∵P为三边角平分线的交点， ∴点P到△ABC三边的距离相等， ∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm， ∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比＝6：4：4＝3：2：2． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键． 8.如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，则的面积为___________________． 【答案】30 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．于于，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和 进行计算即可． 【详解】解：作于于，连接，如图， 点是角平分线的交点， 即， . ( 题型 0 4 )利用角平分线判定证明 9.如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 【答案】 证明：是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ,且， 点在的平分线上， 即平分． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的判定，解题的关键是证明，由角平分线的判定定理得证．先利用中线和垂直条件，通过证明，得出． 【详解】略 10.如图，点，分别在线段，上，，，，相交于点，，连接．求证：平分． 【答案】 ，， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ，，与相交于点， 平分． 【难度】0.55 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先由题中条件得到相关角度相等，进而由两个三角形全等的判定定理证得，最后由角平分线的判定定理即可得证． 【详解】略 11.如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点． 求证：∠BDP＝∠CDP.    【答案】 证明：∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，PB＝PC ∴AP平分∠BPC ∴∠APB=∠APC． 在△PBD与△PCD中，∵，∴△PBD≌△PCD（SAS）， ∴∠BDP=∠CDP． 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】根据条件，利用“HL”证明Rt△ABP≌Rt△ACP，可知∠APB=∠APC，再利用“SAS”证明△PBD≌△PCD即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定与性质．关键是明确图形中相等线段，相等角及全等三角形． 1.如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由： 两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 2．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故选：D． 3.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（   ） A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【详解】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，PA＝PB，∠CPA=∠DPB， ∴△CPA≌△∠DPB(AAS)， ∴PC=PD， ∴∠1＝∠2， 故选A. 点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质；主要先利用全等三角形证明CP＝DP，再由角平分线的逆定理可知OP是角AOB的平分线，由判定可知∠1＝∠2． 4.如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为____________ 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质、连接，过点作于，，交的延长线于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式分别求出、，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，，交的延长线于， 和的外角平分线、交于点，，于，， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的周长． 5.如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于_______ 【答案】25° 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】：由角分线的性质有：∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO； 根据∠DAC=30°，∠BAC=60°，∠ECA=35°，∠ACB=70°可以求出∠ABC的度数，那么 ∠ABO即为∠ABC的一半，据此求解. 【详解】∵AD、CE为∠BAC和∠ACB的角分线， ∴∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO. ∵∠DAC=30°，∠BAC=60°，∠ECA=35°，∠ACB=70°， ∴∠ABC=50°. ∵BO为∠ABC的平分线， ∴∠ABO=25°. 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理以及角分线的性质的知识，掌握角平分线的性质是解题的关键. 6.如图，已知于点B，于点C，且，；    (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据题意可得平分，即可进行解答； （2）先求出，再求出，则，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴平分， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了交平分线是判定和性质，直角三角形两个锐角互余，解题的关键是掌握角平分线的判定方法和直角三角形两个锐角互余． 7.如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分．    【答案】 证明：如图所示，过点作于点，于点，    ∵的面积与的面积相等 ． ， ， 又， 平分． 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】过点作于点，于点，根据的面积与的面积相等得，根据得，根据，即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理． 8.如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； (3)6 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 1．【多结论问题】如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点P在的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 很明显， ∴错误， 故②错误； ∵点M、N分别为点P在上的作垂线的垂足，的平分线交于点平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故④正确； ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 故③题正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 2．【等积思想】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（    ） A．1，1，1 B．2，2，2 C．1，2，1 D．，， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用HL证全等（HL）、证明四边形是正方形、角平分线的性质定理 【分析】由角平分线的性质易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，所以6-x+8-x=10，解答即可． 【详解】解：连接OB， ∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足， ∴OE=OF=OD， 又∵OB是公共边， ∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL）， ∴BD=BF， 同理，AE=AF，CE=CD， ∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE， ∴OECD是正方形， 设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x， ∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10， 解得x=2． 则OE=OF=OD=2． 故选：B． 【点睛】此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键． 3．【手拉手模型】如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.5 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）设的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：作于于J，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 1．（2018·黑龙江大庆·中考真题）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的判定定理 【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可． 【详解】作MN⊥AD于N， ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN=MC， ∵M是BC的中点， ∴MC=MB， ∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB=∠DAB=35°， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键. 2．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理 【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定． 【详解】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确；    分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误；    ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $