精品解析：北京教育学院附属丰台实验学校2027届高三年级上学期数学阶段性测试（一）

北京教育学院附属丰台实验学校 2027届高三数学学科阶段性测试（一） 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为90分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（ ） A. 函数是最小正周期为的奇函数 B. 函数的对称轴为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值不大于2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________． 12. 在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答） 13. 三个数中最小的数是____． 14. 已知函数，当时，函数的最大值为_______；若函数的最大值为，则常数的一个取值为______． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与轴正半轴的交点，点B在第二象限．记且． （Ⅰ）求B点坐标； （Ⅱ）求的值． 17. 已知函数． （1）求f（x）的极值； （2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值． 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 19. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 20. 在中，. （1）求的大小； （2）若，的平分线交于，求的长. 21. 设函数，其中． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （3）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京教育学院附属丰台实验学校 2027届高三数学学科阶段性测试（一） 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为90分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，则. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 3. 下列函数中，是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，是奇函数， 不符合偶函数的要求，A 错误； 函数的定义域为，定义域关于原点对称，且 满足，是偶函数， 当时，函数可化简为，在上单调递减，完全符合两个条件，B正确； 函数是偶函数，但余弦函数是最小正周期为的函数，在上不是单调递减的，C错误； 函数这是指数函数，定义域为，定义域关于原点对称， 但，， 故不满足，也不满足，所以函数是非奇非偶函数，D错误 . 4. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别构造函数，，，利用函数的单调性解逐一判断四个选项即可. 【详解】因为为增函数，所以时，有，A错误； ，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不一定有，B错误； ，在上单调递减，在上单调递减，， 若，同号，则，若，异号，则，所以C错误； 为增函数，， 则，所以，所以，D正确. 故选：D 5. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 7. 在中，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可知， 即，得， 所以是等边三角形，. 故选：C 8. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得的定义域是，是偶函数，则，可得， 即是偶函数能推出，必要性成立； 举反例，取，则，此时， 但是是奇函数，所以推不出是偶函数，充分性不成立； 所以“”是“为偶函数”的必要不充分条件. 9. 设函数，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目中函数方程中含有对数与指数式，不好直接求解零点，须结合函数的图象解决，故先分别画出对数函数和指数函数的图象考虑，利用函数的图象与性质解决． 【详解】令得：，令得：， 分别画出左右两边函数的图象，如图所示． 由指数与对数函数的图象知：， 于是有，得， 故选：． 10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（ ） A. 函数是最小正周期为的奇函数 B. 函数的对称轴为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值不大于2 【答案】D 【解析】 【分析】计算即可求解A，根据与的关系即可求解B，根据特殊值即可求解C，根据三角函数的有界性即可求解D. 【详解】对于A, 故A错误， 对于B，， 故也为的一条对称轴，B错误， ， ，由于，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的具体解析式进行求解定义域即可. 【详解】要使函数有意义， 则且，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 令，即. 的展开式中，常数项是. 13. 三个数中最小的数是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用中间值1和2结合对数函数的单调性即可求解； 【详解】因为对数函数是单调递增函数，且，所以； ，显然小于1； ，显然. 综上可得：，最小的数是. 14. 已知函数，当时，函数的最大值为_______；若函数的最大值为，则常数的一个取值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①代入，由诱导公式和辅助角公式得到，求出的最大值；②化简，得到，由的最大值是1，得到则，则，从而可以给取值，取满足. 【详解】①当时，，因为的最大值是，所以函数的最大值为； ②， 因为的最大值是，所以的最大值为，由的最大值为，得， 所以， 取，则满足，的最大值为，所以常数的一个取值为. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与轴正半轴的交点，点B在第二象限．记且． （Ⅰ）求B点坐标； （Ⅱ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据角的终边与单位圆的交点为，结合同角三角函数关系和，可得B点的坐标； （Ⅱ）根据诱导公式化简题中的式子，结合(Ⅰ)中结论代入即可结果. 【详解】解：（Ⅰ）设B点坐标为， 则， 因为点B在第二象限，所以， 即B点坐标为：； （Ⅱ） 17. 已知函数． （1）求f（x）的极值； （2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值． 【答案】（1）极小值．无极大值． （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间，从而得极值； （2）由（1）得函数在上的单调性，计算出区间端点处的函数值，极值后可得最值． 【小问1详解】 ， 时，，递增，时，，递减， 所以极小值．无极大值． 【小问2详解】 由（1）知在上递减，在上递增， ，，． 所以最大值为，最小值为． 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与和角公式，周期计算公式求解； （2）利用正弦函数的性质解不等式即得递增区间. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期； 【小问2详解】 由，解得， 故的单调递增区间为. 19. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）与相互独立 【解析】 【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值； （2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值； （3）利用两个事件相互独立的定义判断即可. 【小问1详解】 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为． 估计为； 估计为； 估计为； 估计为． 估计的数学期望． 【小问3详解】 估计为； 估计为； 估计为， ，所以与相互独立． 20. 在中，. （1）求的大小； （2）若，的平分线交于，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，二倍角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）利用三角形面积公式与等面积列式求解即得. 【小问1详解】 由和正弦定理，得 因， .可得，即， 因， ，，则，故. 所以. 【小问2详解】 因为， 因为为的平分线，所以， 由可得： ， 即，解得. 21. 设函数，其中． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （3）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，，定义域为 . 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，， 即恒成立，仅时，且两侧符号不变，故函数不存在极值. （3），或 【解析】 【分析】（1）先求导再根据切线斜率和导数的关系代入计算即可； （2）将代入原函数，求导并求出导函数值域分析即可； （3）求导，根据t的取值情况讨论原函数单调性，再结合零点存在定理可求参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 由题意得，所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设函数，． 求导，得. ①当时， 由，得，所以在单调递增． 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意． ②当时， 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 故有且仅有一个零点，符合题意． ③当时， 令，解得． 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，． 因为，，且在上单调递增， 所以. 又因为存在，， 所以存在使得， 所以函数存在两个零点，1，与题意不符. 综上，曲线有一个零点时，的范围是，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $