北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年北京师大附中高三（上)开学数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.(4分)己知集合A={xx>1},B={x2<4},那么AUB=() A.（-2,2) B.（-2,1) C.（-2,+0) D.（1,+0) 2.(4分)复数(i-1)z=1,则2=（) A司 B.2 c.√2 D.2 2 3.(4分)角a的终边经过点M(-3,-2),则3sina-2cosa=（) A.V13 B. 5W13 c是 D.0 13 13 4.(4分)已知函数∫(x)是奇函数，且当x>0时，∫(x)=e,则∫(-1)=（) A.1 B.-1 C.e D.-e e e 5.(4分)已知函数∫(x)=sin(3x+φ)，则“中=兀是y(x)为偶函数"的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(4分)在△BC中，若A=T,cosB=Y5,BC=6,则4C=() A.4W2 B.4 C.2W3 D.4y3 7.(4分)在等差数列{an}中，a1=4,且a,a5,a13成等比数列，则{an}的通项公式为（) A.an=3n+1 B.an=n+3 C.am=3n+1或an=4 D.an=n+3或an=4 8.4分)已知(x)=1081x,则不等式f(x)>号（x-1)的解集为（） 4 A.(-o,]u[,） B.(-o0,4U哈，+oo) c.(0,U2,o) D.(0,}]l,+) 9.(4分)对任意实数x,都有loga(e+3)≥1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是() A(0,3) B.(1,3] C.(1,3) D.[3,to) 第1页（共6页） 10.(4分)已知函数f(x)=4x-141n(2x).设P(x1,f(x1),Q(x2,∫(x2)是函数图象上不同 的两点，且f(x)=-∫(x2),则x1+x2的取值范围是（) A.(2,+0) B.(1,+o) D.(0,1) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.(5分)函数(x)=10g2(1-x)Wx的定义域是 2.(5分)若双曲线x2+y=1的一条渐近线的倾斜角为60，则m m 13.（5分)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a3=-6,S=S5,则公差d= ；Sn的最 小值为 14.(5分)设函数f(x)=e+aex(a为常数).若∫(x)为奇函数，则a=:若f(x)是R 上的增函数，则a的取值范围是 15.(5分)已知函数(x)= x3, x>a, 给出以下四个结论： lxl,x≤a. ①存在实数a,函数∫(x)无最小值： ②对任意实数a,函数∫(x)都有零点： ③当a20时，函数∫(x)在(0，+o)上单调递增： ④对任意aE(0,1),都存在实数m,使方程f(x)=m有3个不同的实根. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 I6.(13分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,PA=AB=BC=1,PC√3」 (I)求证：BC⊥平面PAB: (2)求二面角A-PC-B的大小. 1.（4分》已知函数h(x)=sin(x*否)，g(x)-c0s(x+日).再从条件回、条件②、条件@这 6 第2页（共6页） 三个条件中选择一个作为已知，求： (I)f(x)的单调递增区间： (D了x)在区间[0，空]的取值范围。 条件①：f(x)=h(x)Wg(x): 条件②：∫(x)=h(x)g(x): 条件③：∫(x)=h(x)-g(x), 18.(14分)在△ABC中，∠A为钝角，a=7,sn2B= 7bcosB. (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面 积. 条件①：b=7: 条件@：c0sB= 14 条件国：csinAs=5y 2 19.(14分)某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全 校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6 组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100，并整理得到如下频率分布直方 图： ◆频率/组距 0.032 0.020 0.018 0.010------ 0.006 0 405060708090100成绩（分数） ()若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）： (Ⅱ)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在90,100]中的人 数，求X的分布列及数学期望： (I)在（Ⅱ）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的 大小，（直接写结果） 第3页（共6页） 之0.<15分)已知蒲圆之×之< 之=1(a>b>0)的离心率为3，以椭圆的四个项点为顶点的四边形周 2 长为4W5. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)直线y=+m(an0)与椭圆C交于A,B两点，与y轴交于点P,线段AB的垂直平分线与AB 交于点M,与y轴交于点N,O为坐标原点.如果∠MOP=2LMNP成立，求k的值. 21.(15分)已知函数f(x)=2e2r+3和函数g(x)=4ln(x+2). (I)求曲线y=∫(x)在点(-1，∫(-1)处的切线方程： (ID设函数h(x)=g(x)+号x2-4x,求函数h)的单调区间： (IⅢ)设函数p(x)=∫(x)-g(x),求证：函数p(x)的图像在直线y=4的上方. 第4页（共6页） 2025-2026学年北京师大附中高三（上)开学数学试卷 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.C:2.B:3.D:4.D:5.A6.B:7.D:8.D:9.B:10.B: 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.0,1);12.-3:13.12:-54:14.-1；(-o,0];15.①②④： 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. 一；17.选①时)「-+2k,2k(kEZ):()[0,2.选②时，1) [-5亚k元，k元+匹1kZ))5,马：选®时)间为5匹+2kπ，2k元+7匹1 12 12 4 12 12 kZ:-5,1W3]-:18.A=2T: 2 2 3 22155。：19.①72.6 4 ()分布列见解析，E(X)=1: mDDX)=DY):20.①描圆C的方程为2+ 4+y21. Dk=±V2.：21.①4exyt6e=0: ()h(x)的单调递增区间为(-2,1-√5，(1±W5,+∞)：单调递减区间为(1-√5,1±W5): (I)证明：令m(x)=0(x)-4=f(x)-g(x)-4=2e2x+3-4ln(x+2)-4,x>-2, 则m'(x)=4e2x+3. x+21 令n(x)=4e2x+3- x+21 X>-2, 则n'(x)=8e2x+3+4 ≥0， (x+2)2 所以n(x)在(-2，+o)上单调递增， 又当x趋于-2时，n(x)趋于-o,n(-1)=4e-4=4(e-1)>0, 所以存在x0∈(~2，-1D,使n(x)=0,即4e2x0内=4 x0+22 所以2xo+3=-1n(x0+2), 所以当x∈(-2，xo)时，n(x)<0,即m(x)<0,m(x)单调递减： 当x∈(xo,+∞)时，n(x)>0,即m'(x)>0,m(x)单调递增： 第5页（共6页） 所以m(x)mi=m(x0)=2e2x0杓-4n(x0t2)-4 三2.4(2xt3)-4 x0+2 三2。+8xt1) x0+2 三2.8(xt2)-8, x0+2 因为0≤x0+2≤1， 所以-2+8(xt2)-822, x0+2 228(x0+2):8=0 0+2 当且仅当、2 =8(x+2,即x0=二马时，等号成立， x0+2 2 又因为n(-3)=4-8<0, 一21 压以0之受 所以2+8xt2)-8≥0， x0+2 所以m(x)min之0， 即p(x)-4>0, 所p(x)>4, 即函数p(x)的图像在直线y=4的上方.： 第6页（共6页）