5.1 认识二元一次方程组 课时练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级数学（上）§5.1同步练，新授课使用，通过基础巩固、进阶应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的知识深化，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程解的判断、概念辨析|单选1-3、填空6-7、9-10，直接应用定义，强化基础认知| |进阶层|列方程组、简单实际问题|单选4-5、填空8，结合《九章算术》等情境，培养建模能力| |综合层|方案设计、新定义应用|解答题11-15，租车/租船方案等综合问题，发展应用意识|

【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §5.1 认识二元一次方程组 一、单选题（共30分） 1．（本题6分）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题6分）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，现决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅，且生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题6分）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？假设大、小容器的容量分别是x、y斛，根据题意，以下方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（本题6分）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 5．（本题6分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 二、填空题（共30分） 6．（本题6分）已知是方程的解，则代数式 ． 7．（本题6分）若是二元一次方程的一组解，则代数式的值为 ． 8．（本题6分）定义：对任意一个两位数m，如果m满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．对于“互异数”26，直接写出 ；若“互异数”b满足，则所有“互异数”b的最大值为 ． 9．（本题6分）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值为 ． 10．（本题6分）若是方程组的解，则 ． 三、解答题（共40分） 11．（本题8分）某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． (1)求写出的关系式； (2)求出所有可能的购买方案； (3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 12．（本题8分）如果是方程组的解，试求关于的一元一次方程的解． 13．（本题8分）在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 14．（本题8分）已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． 15．（本题8分）兴庆宫公园是西安市最大的城市公园，拥有优美的自然风光和精致的园林景观，是市民游玩休闲的好地方．星光中学李老师组织七（1）班48名学生假期去兴庆宫公园划船游玩，已知公园内有四座电动船和六座电动船可供租用，若每条船均坐满，且每种船型至少租一条，请你求出所有可行的租船方案． 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §5.1 认识二元一次方程组 一、单选题（共30分） 1．（本题6分）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 解：A、当时，左边，等于右边，符合条件； B、当时，左边，不等于右边； C、当时，左边，不等于右边； D、当时，左边，不等于右边． 故选：A． 2．（本题6分）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，现决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅，且生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 解：A、根据题意可列方程组为：．故选项A正确，不符合题意； B、方程组 中第二个方程化简为 ，即 ，与正确比例 矛盾，故选项B错误，符合题意； C、方程 由总天数 代入正确方程得到，故选项C正确，不符合题意； D、方程 由总天数 代入正确方程得到，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 3．（本题6分）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？假设大、小容器的容量分别是x、y斛，根据题意，以下方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 解：设大容器容量为斛，小容器为斛．根据题意，得 ， 故选：D． 4．（本题6分）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 解：已知方程组的解为，代入第二个方程， 得：， 解得， 因此，被遮盖的值为5， 将和代入第一个方程， 得：， 因此，方程组中被遮盖的常数项为13， 综上，被遮盖的前后两个数分别为13和5， 故选：B． 5．（本题6分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 二、填空题（共30分） 6．（本题6分）已知是方程的解，则代数式 ． 解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（本题6分）若是二元一次方程的一组解，则代数式的值为 ． 解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ， 故答案为：4049． 8．（本题6分）定义：对任意一个两位数m，如果m满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．对于“互异数”26，直接写出 ；若“互异数”b满足，则所有“互异数”b的最大值为 ． 解：由“互异数”的定义得； 设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，且， 则， 整理得：， ∴或或或， ∴所有“互异数”b的值为15或24或42或51， ∴， ∴所有“互异数”b的最大值为51，． 故答案为：，． 9．（本题6分）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值为 ． 解：根据题意，把代入得，， ∴ ． 故答案为：44． 10．（本题6分）若是方程组的解，则 ． 解：把代入方程组得： ， 解得：， 则， 故答案为：7 三、解答题（共40分） 11．（本题8分）某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． (1)求写出的关系式； (2)求出所有可能的购买方案； (3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． （1）解：由题意得，的关系式为，且； （2）解：由（）得，， ∴， ∵均为正整数， ∴，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支； （3）解：由（）可得：笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， ∴笔记本本，笔支时奖品总数最多． 12．（本题8分）如果是方程组的解，试求关于的一元一次方程的解． 解：是方程组的解， ，解得：， ， ， 解得：． 13．（本题8分）在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 解（1）根据定义可得， 得； （2）根据题意得， 化简，得． 均为正整数， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为． 14．（本题8分）已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． （1）解：把代入关于的二元一次方程组 ，得，解得． 把代入①，得，解得， ． （2）由（1），得， ． 的值为2028． 15．（本题8分）兴庆宫公园是西安市最大的城市公园，拥有优美的自然风光和精致的园林景观，是市民游玩休闲的好地方．星光中学李老师组织七（1）班48名学生假期去兴庆宫公园划船游玩，已知公园内有四座电动船和六座电动船可供租用，若每条船均坐满，且每种船型至少租一条，请你求出所有可行的租船方案． 解：设租用条四座电动船，条六座电动船， 则有：， ． 为正整数，且， 或或， 故所有可行的租船方案有以上三种，即租用3条四座电动船，6条六座电动船；租用6条四座电动船，4条六座电动船；租用9条四座电动船，2条六座电动船． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $