课时作业42+函数的单调性同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，强化导数判断单调性的核心方法，适配新授课巩固需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|导数符号判断单调性、单调区间求解|如选择1-3题，直接应用导数公式判断单调性，夯实概念理解| |能力提升|含参数函数单调性、导数与函数图象关系|如选择5-7题，结合参数讨论函数单调性，提升推理能力| |综合应用|单调性与切线、不等式综合|如解答15题，结合切线方程求解析式并分析单调区间，体现模型意识|

课时作业42 函数的单调性 一、选择题 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 2.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 3.若在区间[a，b]内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　) A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定 4.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 5.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　) A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 6.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是(　　) A．a>0，b2＋3ac≥0 B．a>0，b2－3ac≤0 C．a<0，b2＋3ac≥0 D．a<0，b2－3ac≤0 7.若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2] 8.如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上(　　) A．没有单调性 B．无法确定单调性 C．是增函数 D．是减函数 9.已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2) 10.(多选题)若函数exf(x)(e＝2.718 28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　) A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2 C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x 二、填空题 11.函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a的取值范围是________． 12.已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)·(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为 . 13.若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________． 三、解答题 14.已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值范围． 15.已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间. 课时作业42 函数的单调性 （答案） 一、选择题 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析：易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)， ∴f′(x)<0，则f(x)＝cos x－x在(0，π)上单调递减. 故选：D 2.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：该函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－≤0，得0<x≤1，所以原函数的单调递减区间为(0,1]． 故选：B 3.若在区间[a，b]内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　) A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定 解析：由f′(x)>0，得f(x)在(a，b)上是增函数． ∴当x∈(a，b)时，f(x)>f(a)≥0. 故选：A 4.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：对于A，随着x的递增y＝f′(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零，反映在函数y＝f(x)的图象上，即得y＝f(x) 的单调性变化情况为增、减、增、减，区间端点也大致吻合. 故选：A 5.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　) A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 解析：∵y′＝3ax2－1， 又函数在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴y′≤0恒成立，∴a≤0. 当a＝0时，y＝－1，满足题意．故a≤0. 故选：D 6.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是(　　) A．a>0，b2＋3ac≥0 B．a>0，b2－3ac≤0 C．a<0，b2＋3ac≥0 D．a<0，b2－3ac≤0 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)． ∵函数在(－∞，＋∞)上为递减的， ∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． ∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0， 即b2－3ac≤0. 故选：D 7.若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2] 解析：根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞). 故选：A 8.如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上(　　) A．没有单调性 B．无法确定单调性 C．是增函数 D．是减函数 解析：∵y′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)， 又x>0，f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0. ∴函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数． 故选：C 9.已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2) 解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)， 又f′(x)＝＋， 且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数． 又∵2<e<3，∴f(2)<f(e)<f(3)． 故选：A 10.(多选题)若函数exf(x)(e＝2.718 28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　) A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2 C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x 解析:设g(x)＝ex·f(x)， 对于A，g(x)＝ex·2－x＝在定义域R上是增函数，故A正确； 对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex ＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确； 对于C，g(x)＝ex·3－x＝在定义域R上是减函数，C不正确；对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确. 故选：AB 二、填空题 11.函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a的取值范围是________． 解析：∵f′(x)＝3x2－a，由条件知f′(x)＝0需有两个不等实根，∴a>0. 答案：(0，＋∞)　 12.已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)·(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为 . 解析：令k≤0得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]． 13.若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋a，且f′(x)<0的解为－5<x<5， ∴3×52＋a＝0，∴a＝－75. 答案：－75　 三、解答题 14.已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值范围． 解：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立， 则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0， 解得－1≤b≤2， 由题意知y′≥0不恒成立， 故b<－1或b>2， 所以b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 15.已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间. 解：(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2，① 又f′(x)＝， 所以＝－.② 由①②得a＝2，b＝3. (∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知，f′(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－2<x<3＋2时，f′(x)>0. ∴f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $