3.2.1函数的单调性课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习以函数单调性为核心，通过基础巩固、中档综合到拔高应用的三层设计，实现从单一知识点到综合能力的递进，适配新授课教学，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单调性定义、基本函数单调性|直接应用概念，如选择1-5判断单调区间| |中档|分段/含参函数单调性、单调性与不等式|参数讨论与综合应用，如选择9多选题| |拔高|抽象函数单调性、函数性质综合应用|定义证明与实际问题，如解答20抽象函数应用|

课时作业20　函数的单调性 一、选择题 1．函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　) A．a≥ B．a≤ C．a> D．a< 3．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是(　　) A．y＝　　　 B．y＝2x－1 C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2 4．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(　　) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 5．f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(　　) A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a) 6．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　) A. B．[1,2] C. D. 7．已知函数f(x)＝，若0<x1<x2<x3，则，，的大小关系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 8．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，若f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1) 9．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 10．已知定义在R上的函数f(x)，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，且函数f(x)的图象经过点A(5，－2)，若f(2m－1)<－2，则m的取值范围是(　　) A．m<3 B．m≤3 C．m>－3 D．m≥－3 2、 填空题 11．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上 .（选填“单调递减”或“单调递增”） 12．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是 ． 13．若函数f(x)＝是减函数，则实数a的取值范围为 ． 14．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________． 15．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________． 16．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为 . 三、解答题 17．用定义判断函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性． 18．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间． (1)y＝|x＋1|； (2)y＝(x＋3)|x－1|. 19.已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 20已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 课时作业20　函数的单调性 （答案） 一、选择题 1．函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．故选C. 2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　) A．a≥ B．a≤ C．a> D．a< 解析：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D. 3．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是(　　) A．y＝　　　 B．y＝2x－1 C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2 解析：对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B. 4．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(　　) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 解析：分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，故选C. 5．f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(　　) A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a) 解析：因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝2＋＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C. 6．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　) A. B．[1,2] C. D. 解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2， 即实数b的取值范围是[1,2]．故选B. 7．已知函数f(x)＝，若0<x1<x2<x3，则，，的大小关系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析：由题意可知0<x1<x2<x3≤2， 而＝＝， ∴在(0,2]上单调递减， ∴>>.故选C. 8．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，若f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1) 解析：定义在[－2,2]上的函数f(x)满足 (x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2， ∴函数f(x)在[－2,2]上单调递增， ∴∴ ∴0≤a<1，故选C. 9．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 解析：当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由 得0<a≤，所以a的取值范围是，D正确．故选BD. 10．已知定义在R上的函数f(x)，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，且函数f(x)的图象经过点A(5，－2)，若f(2m－1)<－2，则m的取值范围是(　　) A．m<3 B．m≤3 C．m>－3 D．m≥－3 解析：因为对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，所以f(x)在R上是增函数．又f(x)的图象经过点A(5，－2)，所以f(5)＝－2.所以f(2m－1)<－2等价于f(2m－1)<f(5)，所以2m－1<5，所以m<3，即m的取值范围是(－∞，3)．故选A. 3、 填空题 11．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上 .（选填“单调递减”或“单调递增”） 解析：由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减． 答案：单调递减． 12．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是 ． 解析：二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝. 因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反， 即∉(1,4)，所以≤1或≥4， 即m≤4或m≥16. 答案：(－∞，4]∪[16，＋∞)． 13．若函数f(x)＝是减函数，则实数a的取值范围为 ． 解析：由题意可得 解得－3≤a≤－1，则实数a的取值范围是[－3，－1]． 答案：[－3，－1]． 14．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意得实数a满足解得0<a≤2. 答案：(0,2] 15．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________． 解析：函数f(x)＝2x2－3|x|＝ 图象如图所示，f(x)的单调递减区间为 ，. 答案：，. 16．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为 . 解析：由已知条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)， 又f(3)＝1， ∴不等式f(x)＋f(－2)>1可化为f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3， 解得x<－. ∴不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为. 答案：. 三、解答题 17．用定义判断函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性． 解：∵函数f(x)＝ ＝＝a＋， 任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝－＝. ∵－2<x1<x2， ∴x2－x1>0，(x1＋2)(x2＋2)>0， ∴当1－2a>0，即a<时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)是减函数； 当1－2a<0，即a>时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)是增函数， ∴在(－2，＋∞)上，当a<时，f(x)是减函数，a>时，f(x)是增函数． 18．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间． (1)y＝|x＋1|； (2)y＝(x＋3)|x－1|. 解：(1)∵y＝|x＋1|，∴y＝ 其图象如下图所示： 由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间． (2)f(x)＝ 即f(x)＝ 图象如图所示． 结合图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和[1，＋∞)；单调递减区间为[－1,1]．函数的值域是R. 19.已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． [解]　(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)． 从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以解得或(不合题意，舍去)． 所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1. (2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－. 若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为. 20已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1， 由于当x>1时，f(x)<0. 所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0. 因此f(x1)<f(x2)． 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． (3)由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)． 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 且f(|x|)<－2＝f(9)， 所以|x|>9，解得x>9或x<－9. ∴f(|x|)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $