2.3.1圆的标准方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.3.1 圆的标准方程 教学目标 1.明确圆的几何要素。 2.在直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 3.会求圆的标准方程。 教学重难点 1.重点 （1）圆的标准方程的特点； （2）会求解圆的标准方程。 2.难点 用数形结合法求圆的标准方程，选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题。 知识点01 圆的概念 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2.确定圆的基本要素是：圆心和半径 知识点02 圆的标准方程 1.圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为。 2.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【即学即练】 例1．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B 例2．（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 题型01 由圆心（或半径）求圆的标准方程 【典例1】（25-26高二上·江西吉安·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求得圆的半径，进而可求解. 【详解】由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为， 故选：C 【变式1】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 【变式3】（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 【变式4】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 题型02 求过已知三点的圆的标准方程 【典例1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【变式1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 【变式3】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可． 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 题型03 由标准方程确定圆心和半径 【典例1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 【变式2】（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 1.（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的标准方程即可直接求得圆心坐标. 【详解】由圆，得圆心坐标为. 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 3．（25-26高三上·贵州·阶段检测）“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由圆的方程和充分不必要条件的定义即可分析求解. 【详解】时，圆：，直径为4，充分性成立； 当圆：的直径为4时，则的半径为2，则，则，必要性不成立， 所以“”是“圆：的直径为4”的充分不必要条件． 故选：A 4．（2026高二·全国·专题练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 5．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 6．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出圆心坐标及半径，进而求出圆的标准方程. 【详解】以点为端点的线段的中垂线的方程为，以点为端点的线段的中垂线方程为， 则过三点的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 8．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【详解】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两点间距离求,再应用点到直线距离求出高,最后应用面积公式即可; （2）根据外心是三边垂直平分线的交点得出外接圆圆心,再应用两点间距离求出半径,最后根据圆的标准方程求解. 【详解】（1）因为，，， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点到直线距离为， 因此面积， （2）因为，，， 所以线段中点为，又直线的斜率为， 因此其中垂线的方程为，即， 直线的斜率为，线段中点为， 则中垂线方程，即， 联立，求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，1为半径的圆 【答案】D 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：D. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【分析】根据给定方程的特征，结合曲线对称性的探讨方法、计算判断ABC；画出图形并结合图形求出最大值. 【详解】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·天津·期中）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程转化为 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则.即圆的半径为. 则圆的方程为 故答案为：. 4．（2026高三下·上海·竞赛）曲线围成的面积为_________． 【答案】/ 【分析】利用曲线的对称性以及圆面积公式、扇形的面积公式分析计算即可. 【详解】由曲线围成的图形如图所示：    要计算曲线围成的面积，只需计算第一象限内围成的面积，然后乘以4即可， 当曲线方程化为， 这是一个以为圆心，为半径的圆， 该圆刚好经过原点以及坐标轴上的和． 第一象限内的面积是这个圆在内的部分，由圆的面积为， 它超出第一象限的部分，是被轴（弦长为2）和轴（弦长为2）切下的两个弓形， 由于弦长等于2，半径为，满足，这意味着圆心角为， 单个月牙弓形面积， 所以第一象限内的面积， 因此曲线围成的总面积为：． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解圆的方程.（2）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 6．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； （2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解. 【详解】【小题1】所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. 【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. 【小题3】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 圆的标准方程 教学目标 1.明确圆的几何要素。 2.在直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 3.会求圆的标准方程。 教学重难点 1.重点 （1）圆的标准方程的特点； （2）会求解圆的标准方程。 2.难点 用数形结合法求圆的标准方程，选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题。 知识点01 圆的概念 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2.确定圆的基本要素是：圆心和半径 知识点02 圆的标准方程 1.圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为。 2.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【即学即练】 例1．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型01 由圆心（或半径）求圆的标准方程 【典例1】（25-26高二上·江西吉安·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 题型02 求过已知三点的圆的标准方程 【典例1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 题型03 由标准方程确定圆心和半径 【典例1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 【变式3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 1.（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州·阶段检测）“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高二·全国·专题练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 5．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 6．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 7．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 8．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，1为半径的圆 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 3．（25-26高二上·天津·期中）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为_____. 4．（2026高三下·上海·竞赛）曲线围成的面积为_________． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 6．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $