2.3.2 圆的一般方程-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 2.3.2 圆的一般方程 [学习任务] 1.掌握圆的一般方程及其特点 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 自主学习探新知 溪前顶习双基幕实 知识点圆的一般方程 续表 1.圆的一般方程 条件 图形 当D2+E2一4F>0时，二元二次方程 D+E-4F=0 称为圆的一般方程。 表示一个点(-号-号)】 2.方程x十y2十Dx十Ey十F=0表示的图形 表示以（号，一号）为阙心，以 条件 图形 D'+E-4F>0 D+E-4F<0 不表示任何图形 D+E一亚为半径的圆 2 互动探究解疑难 要点归纳重难爽玻 探究一 圆的一般方程的概念 ☑跟踪训练 [例1门若方程x2+y2十2m.x-2y十m2十5m 1.圆的方程为x2+y+4x一6y-12=0,则圆 =0表示圆，求： 的圆心和半径分别为 () (1)实数m的取值范围： A.(2,-3)25 B.(-2,3)5 (2)圆心坐标和半径. C.(2,-3)5 D.(-2,3)25 2.若过点P(2,2)可以向圆x2+y-2k.x-2y +一k=0作两条切线，则实数k的取值范 围是 探究二 圆的一般方程的求法 [例2]已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程： (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求 a的值. 川规律方法川 形如x十y+Dx十Ey十F=0的二元二次方程， 判定其是否表示國时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，令D十E一4F>0,成立 则表示圆，否则不表示图： (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应 用这两种方法时，要注意所给方程是不是十y十 Dx十Ey十F=0这种标准形式，若不是，则要化为 这种形式再求解， 62 第二章平面解析几何。 变式训练 B.x2+y2-2.x十2y-8=0 若本例(2)中将“点C(3,一1)”改为“圆C过 C.x+y2-6x-6y+8=0 A,B两点且圆C关于直线y=一x对称”， D.x2+y2-2x+2y-56=0 其他条件不变，如何求圆C的方程？ 4.经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的 圆的方程是 探究三圆的一般方程的综合应用 [例3]已知圆C过点(4,6)，（一2，-2）. (5,5),点M,N在圆C上，则△CMN面积 的最大值为 () 川规律方法川 A.100 B.25 C.50 n 应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点 (1)如果碰到由已知条件容易求得图心坐标，半径，或 川规律方法川 需利用圆心坐标、半经列方程的问题，一般采用回 解块圆与坐标轴相交的有关题目中，分别令x=0,y 的标准方程，再用待定系数法求出，b,r. =0,就可求得圆与y轴，x轴的交点的纵坐标，横坐标，但 (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一散采用 般不直接求解，而是利用根与系数关系解决问胞 圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D,E,F 跟踪训练 跟踪训练 5.已知三角形的三个顶点为O(0,0), 3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆 M(6,0),N(8,4),过点(3,5)作其外接圆的 心C在直线l:2x一y-3=0上，则圆C的 弦，若最长弦与最短弦分别为AC,BD,则 方程为 四边形ABCD的面积为 A.x2+y2-6y-16=0 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+ c(-2) D.(-2,2) 4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7= 0上，则该圆的面积为 ( 3.已知圆C:x2十y+Dx+Ey十3=0，圆心在 A.4π B.2x 直线x十y一1=0上，且圆心在第二象限，半 D. 径为2，则D,E的值分别为 C.π 4.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)， 2.若点P(1,1)在圆C:x2十y+x-y十k=0 (1,1),(2,0)的圆的方程为 的外部，则实数k的取值范围是 ( 提示请完成《素能提升训练)训练二十三 A.(-2,十0∞) B[-2,-2》 2.3.3 直线与圆的位置关系 [学习任务] 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 632.解析根撼题意，国(x一3)十(y十4)=m的圃心为 13 (3,一4)，半径为m,必有m>0,若原点在到(.x一3)+ 联立方程 2 (y+4)=m的外部，则有(0-3)+(0+4)>m,则有 y 2 = 21 m<25,综合可得：0m<25.故选C. 答案C 即心C的标为（侵，一）】 3.解析设回心C(a,2a-3),由AC=|BC1可得(a 0)+(2a-3-2)°=(a-4)十(2a-3-6)°，解得a=3, √-2)+(-2- 故国的半径为√(3-0)+(2×3-3-2)=×10，故圆 2 的方程为：(x一3)十(y一3)=10. 国C的方程为()+(+)=1 答案(x-3)2+(y-3)2=10 跟踪训练 4.解析原点到圆心的距离为d=,3十（一4）丁=5>1， 3,解析国为线段AB的中，点坐标为(2,4)，直线AB的 因此，点P到原点的最大距离为d十1=6. 答案6 6-2=1,所以线较AB的垂直平分线方程为 斜率为1一0 2.3.2圆的一般方程 y一4=一(x一2)，即y=6一x与直线1方程联立，得圈 【自主学习探新知】 心坐标为(3,3).圆的半径r=、(3一0)+(3一2) 知识点 、10,所以，圆C的方程为(x一3)2+(y一3)=10，即 1.x+y+Dr+Ey+F=0 x+y-6x-6y+8=0. 【互动探究解疑难】 答案C 探究一 4.解析设圈的方程为：x2+y十Dx十Ey+F=0, [例1门[解](1)据题意知D+E-4F=(2m)2+ 将A,B,C三点坐标代入方程，整理可得 (-2)2-4(m2十5m)>0, rD-E+F=-2, D=-7, 即4m+4-4m-20m>0,解得m<合 D十4E十F=一17，解得E=一3， 4D-2E+F=-20,F=2, 故m的取值范国为(-©，吉）》上 故所求团的一般方程为：.x+y-7x一3y+2=0. 答案x+y-7x-3y十2=0 (2)将方程x2十y+2m.x-2y十m2+5m=0写成标准方 探究三 程为(x十m)+(y-1)”=1-5m, [例3]解析设圆C的方程为x十y十Dx十Ey十F= 故圈心坐标为（一m,1),半径r=1一5m 0,将(4,6)，(-2，一2)，(5,5)代入可得， 跟踪训练 52+4D+6E+F=0, (D=-2, 1.解析将国的方程为x十y十4x一6y一12=0化为标 8-2D一2E十F=0,解得E=一4， F=-20. 准方程，得(x十2)十(y-3)=25,所以圆心是(-2 50+5D+5E+F=0, 故圆C的一般方程为x十y一2x一4y一20=0，即(x 3),半径为5，故选B. 答案B 1)+(y-2)=25, 2.解析由题意，根据圆的一般方程x十y一2kx一2y十 故△CMN的面积S=21CM·CN·sin∠MCN= k2一k=0可化为(x一k)2+(y-1)=k+1, :方程x十y一2kx一2y十k一k=0表示圈， 专×5X5an∠MCN≤名×5X5X1=要 ,.k十1>0，解得k>一1. :过点P(2,2)可以向圆x+y-2k.x一2y+k-k=0 “△CMN面积的最大值为空。 作两条切线， 答案D ,点P(2,2)在圆外，可得(2一k)2+(2一1)>k+1, 跟踪训练 解得k1或k>4, 5.解析设过点O,M.N的圆的方程为x十v十Dx十Ey 综上所述，k的取值范围是（一1,1）U(4,十∞)， +F=0. 答案(-1,1)U(4,+∞) F=0, D=-6, 探究二 根据题意得6十6D十F=0, 解得E=一8， L例2][解](1)设△ABC外接圈的一般方程为x十y 18+4+8D+4E+F=0, F=0, +Dx+Ey+F=0. 因此x2+y2-6.x-8y=0,脚(x-3)2+(y-4)=25, 12+2+2D+2E+F=0, D=-8, 圆心为(3,4)，半径为5，因此最长的弦AC=10, 由题意得5+3+5D+3E+F=0, 解得E=一2. 根据勾股定理得最短的弦BD1=2√⑤一1=46， 32+(-1)2+3D-E+F=0. F=12. 即△ABC的外接圆的一般方程为 周此四边形ABCD的西积为号×10X45=206. x+y-8x-2y+12=0. 答案20w6 (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为 【随堂巩固促应用】 x+y-8x-2y+12=0, 1.解析圆的方程可化为(x一m)十(y一2m一1) ,点M(a,2)在△ABC的外接园上， m(m≠0)，其圆心为(m,2十1).依题意得，n十2n十1 .a+2-8a-2×2+12=0, 一7=0，解得m=2,,圆的半径为2，面积为4π，故 即a2一8a+12=0,解得a=2或a=6 选A. 变式训练 答案A 解“ku-号日AB的中点丝标为（侵·） 2解折由超志好行什中女>0解得-2<宁故 :AB的鱼直平分线方程为y-号=一3（一名）片】 选C. 答案C 29 3解析国心C(-号-号)周为国心在直线十y- :2.解析因为直线4.x-3y-2=0与间x2+y-2ax十4y +a2一12=0总有两个不同的交点，所以图心(a,一2)到 =0上， 直线4x一3y一2=0的距离小于半径4， 所以一D E 2 -1=0,即D+E=-2, ① 即14a+6-2L <4,整理得|a十1<5，解得-6<a 4+(-3) 又r= D+E1卫=2，所以D+E=20, ② <4. 2 答案（一6,4） 由08可得B-24.22 D=-4. 探究二 因为同心在第二泉限，所以一？<0，中D>0, [例2](1)[解析]网A:x2+y2一2x一25y+3=0化 为标准方程：(x-1)十(y一√3)=1， 所以D=2, 所以当过，点(2,0)的直线斜率不存在时 (E=-4 直线l:x=2与國相切： 答案2，一1 过点(2,0)的直线斜率存在时，设其为k, 4.解析设圆的方程为x十y十Dx十Ey十F=0,间经过 则直线l:y=k(x一2). (F=0, 因为1与围A相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则1十1+D十E+F=0,解 4+0+2D+F=0. 即一3-2=1，解得k=-】 D=-2, E+1 3 得E=0,则圆的方程为x十y2-2.x=0. F=0, 此时l:y= (x-2) 3 答案x2+y-2x=0 2.3.3直线与圆的位置关系 [答案]x=2或y=- -(x-2) 3 【自主学习探新知】 (2)[解析]根据题意，阅C与直线3.m+y-1=0相切 知识点一 于点T(1,n), 210> => 则T(1,n)在直线3十y-1=0上， 知识点二 则有3十一1=0，解得n=一2， I.r 又由圆心C的坐标为(m,0), 【互动探究解疑难】 直线3x十y一1=0的斜率为一3. 探究一 [例1门[解]法一（代数法） 4x-3y十a=0消去y, 有二解释m=7。 由方程组7+了-100： 圆的半径r=|TC1=√36+4=√40， 得25.r2+8ax+a2-900=0. 故圆C的标准方程是(x一7)2十y=40. △=(8a)-4×25(a2-900)=-36a+90000. [答案](x-7)+y=40 ①当直线和圆相交时，△>0，即-36a2十90000>0， 跟踪训练 -50a50: 1,解析由题意，圆x十y=1的圆心坐标为(0,0)，半径 ②当直线和圆相切时，△=0，即a=50或a=一50： 为r=1,因为直线y=,5x+b与圈x+y=1相切，所 ③当直线和圆相离时，△0，即a<一50或a>50. 法二（几何法） 以6 =1,解得b=士2 /3+T 圆x2十y=100的圈心为(0,0)，半径r=10,则画心到直线 答案士2 的距离d= 5 2.解析设圆心C(,b),间心在直线y=x十1上，那么 ,3+4 b=a十1，圆与直线x十y=3相切且圆C经过点(1,0)， ①当直线和圆相交时，dKr,脚a<10,-50<a<50: 5 那么a+-3=/a-D+h-0, 1+I ②当直线和国相切时，d=r,即a=10, 5 两边平方得(a+b-3)2=2[(a-1)2+b], a=50成a=-50: 那么a+b+9+2ab-6a-6h=2(a°-2a+1+b). ③当直线和国相离时，d>r,即a>10, 化简得8a=0,即a=0,b=1,圆心为(0,1)， 5 半径为(0-1)+(1-0)=2， a<-50成a>50. 那么圆的方程为x2+(y-1)=2. 跟踪训练 答案x+(y-1)=2 1.解析图.x+y2-2.x+2y-7=0,即(x-1)2+(y+1) 探究三 =9,表示以(1，一1)为回心、半径等于3的园. [例3](1)[解析]由x十y十4x-2y十m=0, 回心到直线的距离d=L(a+1)-(a-1)+2a 可得(x+2)°+(y-1)2=5-m, √a+1)+(a-1) 所以圆心(-2,1)r2=5-m, =12a+21 圆心（一2,1）到直线x十y+5=0的距离为 V2a+2 再根据9-dr-=9-4o+8a十4_7a-4a+7 d=1-2+1+5=22. V2 2a2+2 而7a2-4a+7=0的判别式△=16-196=-180<0 由AB1=2√r-d,即2=2/5-m-8. 故有9>，即d<3,故直线和圓相交，故选B. 所以、一m一3=1，解得m=一4. 答案B [答案]一4 30