第2章 2.3.1 圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义出发推导方程，系统讲解待定系数法与几何法求方程，点与圆的位置关系判断，以及实际应用，构建从概念到方法再到应用的递进学习支架。 该资料以李白诗句创设情境培养数学眼光，通过问题链引导逻辑推理发展数学思维，结合拱桥等实例强化模型意识提升数学语言表达。课中例题与跟踪训练助力理解，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

2.3.1　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程. 导语 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示　设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识梳理 1.定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合称为圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径. 2.标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意点：(1)圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. (2)单位圆：x2＋y2＝1. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但圆的半径不变. 例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　.  答案　(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心， |AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 二、待定系数法与几何法求圆的标准方程 例2　求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 解　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则有解得 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 例2　(课本例2)如图所示，设☉C的圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上，且A(6，0)，B(1，5)都是☉C上的点，求圆的标准方程. 解　方法一　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解得a＝3，b＝2，r2＝13. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13. 方法二　　设线段AB的垂直平分线为m，则C既在直线m上，又在直线l上，所以C是直线m与l的交点. 因为直线AB的斜率为＝－1，所以m的斜率为1； 又因为AB中点的横坐标和纵坐标分别为，， 所以直线m的方程为y－＝1×，即x－y－1＝0. 解方程组 得x＝3，y＝2.因此，圆心C的坐标为(3，2)，又圆的半径为|CA|＝， 从而所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13. 反思感悟　求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 跟踪训练2　过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案　C 解析　方法一　因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x. 由解得 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二　本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D； 根据点B(－1，1)在圆上，排除A. 三、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？ 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 知识梳理 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 例3　(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　A 解析　由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内. (2)已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝　　　　.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　－2或－6　a<－6或a>－2 解析　当点P在圆C上时，＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或－6.当点P在圆C外时，＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练3　已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为　　　　.  答案　[0，1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 四、圆的标准方程的实际应用 例4　已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 解　建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0，0)，A(6，－2). 设圆拱桥所在圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)， 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1米后，可设点A'(x0，－3)(x0>0). 将A'(x0，－3)代入圆的标准方程，解得x0＝， ∴水面下降1米后，水面宽为2 米. 例4　(课本例3)赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径. 解　作出示意图如图所示， 其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高.以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有B，C(0，b). 可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为(0，t)，半径为r，则因为B，C都在圆上，所以 由此可解得r＝. 反思感悟　解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 跟踪训练4　一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度的最大值约为(参考数据：≈0.88)(　　) A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 答案　B 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，则A(0.8，h)， 半圆所在圆的标准方程为x2＋y2＝3.62， 把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62， 解得h＝4≈3.5 m. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)待定系数法与几何法求圆的标准方程. (3)点与圆的位置关系. (4)圆的标准方程的实际应用. 2.方法归纳：数形结合法、转化法. 3.常见误区：由标准方程得圆心时，符号出错. 1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为(　　) A.(－1，5)， B.(1，－5)， C.(－1，5)，3 D.(1，－5)，3 答案　B 2.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 答案　B 3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　) A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　方法一　(直接法) 设圆的圆心为C(0，b)， 则＝1， 解得b＝2， ∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二　(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1易知，圆心坐标为(0，2)， 故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 4.若方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　由m2－m－2>0，得m>2或m<－1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 答案　C 解析　以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 2.若直线x＋y＋a＝0过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心，则实数a的值为(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2 答案　B 解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝2，可得圆心坐标为(1，－2)，因为直线x＋y＋a＝0过圆心(1，－2)，所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 3.(多选)若点P(－1，)为圆x2＋y2＝m2外一点，则m的值可以是(　　) A.2 B.1 C.－1 D.0 答案　BC 解析　∵点P在圆外，∴(－1)2＋()2>m2， 即m2<4，∴－2<m<2且m≠0. 4.设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　) A.(x－3)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝8 C.(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8 答案　A 解析　直径|AB|＝＝2， 所以半径为， 中点坐标为(3，0)， 所以圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝2. 5.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　) A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52 答案　B 解析　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上， 圆的半径为r＝ ＝. 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 6.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度AB＝40米，拱高OP＝10米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2的高度大约是(　　) A.9.7米 B.9.1米 C.8.7米 D.8.1米 答案　A 解析　如图，以O为原点，以AB为x轴，OP为y轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标为(0，a)， 圆拱所在圆的标准方程为x2＋(y－a)2＝r2， P(0，10)，A(－20，0)， ∴解得 ∴圆的标准方程为x2＋(y＋15)2＝625， 将x＝－4代入圆的标准方程， 得y＝|A2P2|≈9.7(米). 7.(5分)若过点(3，1)的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为　　　　　.  答案　4＋或4－ 解析　由题意可得所求的圆在第一象限， 设圆心为(a，a)，a>0， 则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2， 再将点(3，1)代入(3－a)2＋(1－a)2＝a2， 得a＝4±. 8.(5分)与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　　.  答案　(x－1)2＋y2＝18 解析　圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r， 则，所以r2＝18， 又圆心坐标为(1，0)， 则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 9.(10分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；(5分) (2)若P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)因为点M在圆N上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2(a>0)， 解得a＝. (2)依题意[(3－5)2＋(3－6)2－a2][(5－5)2＋(3－6)2－a2]<0， 即(a2－13)(a2－9)<0，即9<a2<13， 又a>0，∴3<a<， ∴实数a的取值范围是(3，). 10.(11分)已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(5分) (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程.(6分) 解　(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即AB的中点(0，1)为圆心， 半径r＝|AB|＝， 故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)方法一　几何法 AB的斜率k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， 由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是(3，2). r＝|AC|＝＝2. 故所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 方法二　待定系数法 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则⇒ 故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 11.已知半径为1的圆C经过点M(3，4)，则圆心C到原点的距离的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　A 解析　设圆心C(x，y)，则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心， 1为半径的圆， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5， 所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号. 12.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋y2＝4 答案　ABC 解析　由题可知小正方形边长为2， 则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为(1，1)， 方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为(－1，1)， 方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为(－1，－1)， 方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为(1，－1)， 方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，没有选项符合； 外接圆圆心为(0，0)，半径为2， 方程为x2＋y2＝8，没有选项符合. 13.(5分)圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　.  答案　(x－4)2＋y2＝1 解析　设圆心(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点的坐标为(a，b)，即所求圆的圆心为(a，b)， 则解得 故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1. 14.(5分)曲线y＝－(x≤0)的长度为　　　　.  答案　π 解析　由y＝－得x2＋y2＝4(x≤0，y≤0)， 所以曲线y＝－(x≤0)是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长， 所以曲线y＝－(x≤0)的长度是×4π＝π. 15.平面几何中有定理：已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，且AC⊥BD，过点E分别作边AB，BC，CD，DA的垂线，垂足分别为P1，P2，P3，P4，则P1，P2，P3，P4在同一个圆上，记该圆为圆F.若在此定理中，直线AB，BC，AC的方程分别为x－y＝0，x＋2y＝0，x＝2，点P4(3，1)，则圆F的方程为(　　) A.(x－2)2＋ B.(x－2)2＋ C.(x－2)2＋ D.(x－2)2＋ 答案　B 解析　由得A(2，2)， 由得C(2，－1)， 由得B(0，0)， 因为AC⊥BD，对角线AC与BD相交于点E，所以E(2，0)， 因为EP1⊥AB，所以EP1所在直线方程为y＝－x＋2， 与x－y＝0联立方程组解得P1(1，1)， 因为EP2⊥BC，所以EP2所在直线方程为y＝2x－4， 与x＋2y＝0联立方程组解得P2， 因为P4(3，1)，所以线段P1P4的垂直平分线方程为x＝2， 线段P1P2的垂直平分线方程为y＝x－， 联立解得 所以F， 又|P1F|＝， 所以圆F的方程为(x－2)2＋. 16.(12分)如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M，N两地之间的铁路是圆心在l2上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km. (1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(6分) (2)若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于 km，求该校址距离点O的最近距离.(注：校址视为一个点)(6分) 解　(1)分别以l2，l1为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意得M(0，3)，N(4，5)， ∴kMN＝，MN的中点为(2，4)， ∴线段MN的垂直平分线方程为y－4＝－2(x－2)，令y＝0，得x＝4， 故圆心的坐标为(4，0)， 半径R＝＝5. ∴弧MN的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4，3≤y≤5). (2)设校址选在B(a，0)处，a>4， 则≥对0≤x≤4，3≤y≤5恒成立， 整理得(8－2a)x＋a2－20≥0对0≤x≤4恒成立. 令f(x)＝(8－2a)x＋a2－20. ∵a>4，∴8－2a<0， ∴f(x)在[0，4]上单调递减. 故解得a≥6， 即校址距离点O的最近距离为6 km. 学科网（北京）股份有限公司 $