32.2.2应用举例（第2课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦解直角三角形的应用，核心知识点包括仰角、俯角、坡角、坡度的概念及实际问题解决。课堂导入通过复习解直角三角形步骤，结合合作探究引入新概念，形成从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以无人机测楼高、海轮航行等实际问题为载体，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理运算、用数学语言符号表达的能力。小结系统梳理直角三角形边角关系，帮助学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率。

32.2.2 应用举例 （第2课时） 人教版九年级下册 第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 学习目标 了解仰角、俯角、坡角、坡度. 一 会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题，体会数形结合和数学模型思想. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 温故 解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (解直角三角形) 抽象 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 证明(构造) 直角三角形 解直角三角形 画出平面图形 答：三种：重叠、向上和向下． 问题1 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 当视线在水平线上方时， 视线与水平线所成的角叫仰角， 当视线在水平线下方时， 视线与水平线所成的角叫俯角． 合作探究 合作探究 问题2 如图，在用无人机测量一栋楼的高度时， 无人机的探测器显示，从A处看楼顶部B的仰角α为30°，看楼底部C的俯角β为60°，A处与楼的水平距离为120 m. 这栋楼有多高(结果取整数)? 追问1 A处与楼的水平距离为120 m→ . 追问2 在 Rt△ABD中， 和 已知，利用 解直角三角形的知识可以求出 . 类似地可以求出 ， 进而求出 . α AD AD=120 m，AD⊥BC BD CD BC 合作探究 解：如图，由题意知，α=30°，β=60°，AD=120. 在Rt△ABD 中， ∵tanα= ， ∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120× =40 . 同理，在Rt△ACD中， CD=AD·tanβ=120×tan60°=120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277. 因此，这栋楼高约为277m. 合作探究 问题3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向、距离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处 . 这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)? 追问 结合题目中的条件，可以确定哪些线段和角？ AP=80 n mile ∠PAC=65° ∠APC=25° ∠B=34° ∠BPC=56° ∠PCA=∠PCB=90° 你能写出解题过程吗 合作探究 解：如图，在Rt△APC中， PC=PA·cos∠APC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25°≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB= ， ∴PB= ≈ ≈130. 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时， 它距离灯塔P大约130 n mile. 答：用坡角或坡度来描述. 问题4 如图，如何描述斜坡AB的倾斜程度？ 合作探究 坡面和水平面形成的夹角叫作坡角(α). 坡面的垂直高度与水平宽度的比值叫作坡度(i).坡度又叫作坡比. 坡度与坡角的关系：i=tanα= . 注意：坡度习惯写成1∶m的格式. A B 问题5 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB坡度i=1:1.5，斜面CD坡度i=1:3 ，根据图中数据，求： （1）坡角α和β的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）． 合作探究 解：(1)∵tanα=1:1.5= ，tanβ=1:3= ，∴α≈34°，β≈18°. (2)如图，在Rt△AFB中，AF=6 m， BF= = =9 (m). 由勾股定理得：AB= ≈10.8 (m). 所以斜坡AB的长约为10.8 m. 合作探究 合作探究 归 纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题. (画出平面图形，转化为解直角三角 形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 典例分析 例1 如图，建筑物BC上有一避雷针AB，从与BC相距40 m的D处观测避雷针顶部A的仰角为50°，观测避雷针底部B的仰角为45°.求避雷针的长度(结果保留小数点后一位). 追问 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ CD=40 m ∠ADC=50° ∠BDC=45° AC⊥CD 你能写出解题过程吗 解：由题意得：CD=40 m，AC⊥CD，∠ADC=50°，∠BDC=45°. 如图，在Rt△BCD中， BC=CD·tan∠BDC=CD·tan45°=40×1=40. 在Rt△ACD中， AC=CD·tan∠ADC=CD·tan50°≈40×1.1918≈47.67. ∴AB=AC-BC=47.67-40≈7.7. 因此，避雷针的长度约为7.7 m. 典例分析 典例分析 例2 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达点D，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险? E 追问1 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ BD=12 n mile α=60° β=30° 追问2 如何理解“没有触礁的危险”？ 点A到直线BD的距离大于8 n mile. 解：过点A作BD的垂线，交BD的延长线于点E. 由题意得：BD=12 n mile，α=60°，β=30°. ∴∠ABD=90°-α=30°，∠ADE=90°-β=60°， ∴∠BAD=∠ADE-∠ABD=30°， ∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=12. 在Rt△ADE中， AE=AD·sin∠ADE=AD·sin60°=12×=6. ∵6 ≈10.392>8， ∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险. 典例分析 E 典例分析 例3 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1:1，滑梯CD的坡比为1:，若扶梯AB长为2米，求滑梯CD的长． 典例分析 解：由题意得：tan∠BAE=BE:AE=1，tan∠CDF=CF:DF=1:，BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF， ∴∠BAE=45°，∠CDF=30°， ∴在Rt△ABE中， BE=AB⋅sin∠BAE=2⋅sin45°=2(米)， ∴CF=BE=2米， ∴在Rt△CDF中， CD= = =4(米)． 答：滑梯CD的长度为4米． 巩固练习 1.（2026年黑龙江绥化）如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α=30°，探测器飞行的高度AC=60 m，则探测器到目标B的距离AB约为（     ）（其中≈1.732，计算结果精确到0.1） A．207.8 m B．207.9 m C．208.8 m D．208.9 m A 巩固练习 2.（2025年江苏镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（    ） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 D 巩固练习 3.如图所示，在距离铁轨200m的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（    ）． A．20(1+)m/s B．20(−1)m/s C．20m/s D．30m/s A 归纳总结 归 纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为 . (画出 ，转化为 的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用 等知识解直角三角形； (3)得到 的答案； (4)得到 的答案. 数学问题 平面图形 解直角三角形 锐角三角函数 数学问题 实际问题 感受中考 1.（2026年湖北武汉）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面100 m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°，底端B的俯角为45°，则龟山电视塔的高度约是____m（结果取整数，参考数据：sin50.5°≈0.772， cos50.5°≈0.636，tan50.5°≈1.213）. 221 感受中考 2.（2026年湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡．如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m，铅直高度BC长4.7m，∠C=90°．该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由．（参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57） 解：一定能，理由如下： 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠A= = =0.47， ∵sin28°≈0.47， ∴∠A≈28°， ∵28°<35°， ∴该机器人一定能爬上斜坡AB． 感受中考 3.（2026年四川内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D 处，测得雕像顶端A的仰角为60° ．雕像底端B与观测点D 、C 在同一条水平直线上，且AB⊥BC ，求孔子雕 像的高度AB．（结果保留根号） 感受中考 解：设AB=xm， ∵AB⊥BC，∴∠B=90°； 在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60°， ∴BD= = = xm； 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴BC= = =xm； ∵CD=BC−BD=12m，∴x− x=12，解得x=18+6， ∴AB=(18+6)m， 答：孔子雕像的高度AB为(18+6)m． 感受中考 4.（2026年四川凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i=1:5，点A，B，C，M，N在同一平面内，AB是桥面，CN是水平线，AB∥CN，AB⊥MN． （计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分MB的高度； (2)求索塔MN的高度． 解：（1）由题意得，AB=300米，∠ABM=∠ABN=90°，∠BAM=30°， ∵tan∠BAM=， ∴MB=tan30°×300=100（米）； 感受中考 感受中考 解：（2）如图，作AQ⊥CN于点Q，则四边形ABNQ是矩形， ∴AQ=BN，NQ=AB=300米， ∵斜面AN的坡度i=1:5， ∴AQ:NQ=AQ:300=1:5， ∴AQ=60（米）， ∴BN=60米， ∴MN=BM+BN=(100+60)米． 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 特殊锐角的三角函数值 从一般到特殊 解直角三角形 应用 布置作业 必做题：习题32.2 第3，4，5题. 1 探究性作业：习题32.2 第11题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $