32.2.2应用举例（第2课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 聚焦解直角三角形应用的分层同步练习，按仰角俯角、方位角、坡角坡度题型分层，梯度从基础应用到综合建模，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一情境（仰角/方位角/坡度）直接应用|选择填空为主，如仰角计算选择题，强化三角函数直接运用| |综合应用|多情境结合与实际问题解决|解答题含两问，如无人机测湖宽结合俯角与水平距离，提升推理能力| |拓展探究|复杂场景建模与跨知识整合|中考压轴题，如电视塔高度测量结合仰角俯角及坡比，发展应用意识|

分层作业 32.2.2应用举例（第2课时） 目 录 1 解直角三角形（仰角俯角问题） 1 解直角三角形（方位角问题） 4 解直角三角形（坡角坡度问题） 6 10 15 18 解直角三角形（仰角俯角问题）题型01 1．（2025·吉林长春·中考）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·内蒙古·中考）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2026·上海·中考）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【详解】（1）解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米； （2）解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴． 4．（2026·四川宜宾·中考）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 5．（2026·四川眉山·中考）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 【详解】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，， 由题意得， 在中，，即 ∴（米）， 在中，，即 ∴（米） ∵米， ∴（米） 答：桥的长度约为米． 解直角三角形（方位角问题）题型02 6．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：根据题意得：在中，， ∴， ∴米． 即河宽为米． 7．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 8．上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【详解】解：由已知得，（海里），，， ∴， 过点B作于点N， 在直角中，（海里）， 在直角中，（海里）， 即B处与小岛M的距离为海里． 9．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：如图， 由题意可得，， ，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 解直角三角形（坡角坡度问题）题型03 10．（2025·黑龙江绥化·中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 【答案】/米 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 11．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 12．如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∵某校准备在坡度的山坡上植树， ∴， ∴， ∴． 13．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米). 14．（2025-2026·八年级下·浙江宁波·期末）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为___米． 【答案】4 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 15．（2026·四川凉山州·中考）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 16．（2026·四川巴中·中考）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 1．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 【答案】B 【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测， ∴仰角为，俯角为， 故A和C选项是正确的，不符合题意； 如图： 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴仰角减小 故选项是错误的，符合题意； 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴俯角减小 故选项是正确的；不符合题意． 故选：． 2．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 3．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 4．（2026·天津·中考）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 【详解】（1）解：分别过点C、M，作，，垂足分别为D、E． ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：由（1）知， ∴海里． 在中， ， ∴ （海里）． 答：灯塔M到轮船航线的距离为海里． （3）解：∵都是正北方向， ∴四边形是矩形． ∴海里，． 在中， ∵， ∴． ∴海里． 在中， ， ∴ = （海里）． ∴ 海里． 答：港口C与灯塔M的距离为海里． 1．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解∶∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ． 米． 2．（2026·江苏连云港·中考）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：由题意得，，， ， 在中， 解得： 在中 ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为 （3）解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意，， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴，, 在中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧， 如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 1．（2026·湖北武汉·中考）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 2．（2026·四川内江·中考）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 3．（2026·贵州·中考）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【详解】（1）该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； （2）小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 4．（2026·新疆·中考）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 32.2.2应用举例（第2课时） 目 录 1 解直角三角形（仰角俯角问题） 1 解直角三角形（方位角问题） 3 解直角三角形（坡角坡度问题） 3 5 6 8 解直角三角形（仰角俯角问题）题型01 1．（2025·吉林长春·中考）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 第1题图 第2题图 2．（2025·内蒙古·中考）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 3．（2026·上海·中考）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 4．（2026·四川宜宾·中考）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 5．（2026·四川眉山·中考）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 解直角三角形（方位角问题）题型02 6．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 第6题图 第7题图 7．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 8．上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 第8题图 第9题图 9．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 解直角三角形（坡角坡度问题）题型03 10．（2025·黑龙江绥化·中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 11．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 第10题图 第11题图 第12题图 12．如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 13．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 第13题图 第14题图 14．（2025-2026·八年级下·浙江宁波·期末）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为___米． 15．（2026·四川凉山州·中考）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 16．（2026·四川巴中·中考）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 1．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 2．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 3．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·中考）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 1．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2026·江苏连云港·中考）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 1．（2026·湖北武汉·中考）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 2．（2026·四川内江·中考）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 3．（2026·贵州·中考）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 4．（2026·新疆·中考）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $