31.4位似（第2课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 本同步练以“位似坐标变换”为核心，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一坐标规律应用到复杂位似作图与计算的递进，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|坐标规律求点坐标、面积比|选用中考真题（如浙江2024中考题），直接应用位似坐标公式，巩固符号意识| |提升层|长度计算、位似作图|结合矩形、正方形情境（如山东威海期末题），融入作图操作，发展空间观念| |综合层|多中心/跨象限位似|设置非原点位似中心问题（如山东东营中考题），需构建坐标变换模型，培养推理能力|

分层作业 31.4位似（第2课时） 目 录 1 利用坐标规律求点的坐标 1 利用坐标规律求长度和面积 2 利用坐标规律作位似图形 3 3 4 5 利用坐标规律求点的坐标题型01 1．（2024·浙江·中考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．（2024·黑龙江绥化·中考）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025-2026·八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2023·辽宁·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________． 第4题图 第5题图 5．（2023·湖北鄂州·中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________． 利用坐标规律求长度和面积题型02 6．（2025·浙江·中考）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 第6题图 第8题图 第9题图 7．（2022·广西百色·中考）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ） A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 8．（2022·贵州黔西南·中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____． 9．（2022·山东潍坊·中考）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________． 利用坐标规律作位似图形题型03 10．（2022·广西河池·中考）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 11．（2025-2026·八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 1．（2021·山东东营·中考）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 3．（2025-2026·八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． (1)如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； (2)如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； (3)如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 1．（2026·甘肃武威·中考）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2．（2025·甘肃兰州·中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江绥化·中考）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 5．（2023·辽宁盘锦·中考）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 第5题图 第6题图 6．（2025·山东烟台·中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 31.4位似（第2课时) 目录 A组 巩固过关 利用坐标规律求点的坐标 1 利佣坐标规律求长度和面积3 利用坐标规律作位似图形 B组能力进阶 7 C组 思维拔高 9 拓展 链接中考 A组 巩固过关 颗型01 利用坐标规律求点的坐标 1.A 2.D. 3.D 4.4,6 5.3,1 颗型02 利用坐标规律求长度和面积 6.C 7.C 8.2 9.4V2π 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型03 利用坐标规律作位似图形 10.(1)如图，△A1BC1为所作， (②)如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为(-4,6). -8-7-6-5-43-212345.6x 62 11.(1)如图，△A1B1C1即为所求 (2)解：2a,2b. (3)解：14. B组 能力进阶 、 2.A 3.-3,-1 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.A 2.(1)解：y=x和y=4x是位似抛物线，理由如下： .A4,16、B-4,16, ∴，设直线0A的解析式为y=kx,则4k=16,解得k=4, .y=4x y=4x. |x=0x=1 联立 =4×解得y=0或y=4 ∴.C1,4: 同法可得，D-1,4, :0A=V42+16=417,0B=42+16=417,0C=V12+4=17,0D=V12+4=V17, 0C_0D_1 OAOB4' .∠COD=∠AOB, ∴△COD-△AOB, 又，O,C,A三点共线，O,D,B三点共线，点O是两条抛物线的共用顶点， ∴.△COD和△AOB关于点O位似，且在点O的同侧， ,抛物线y=x和y=4x2是位似抛物线； (2)y=3xX+3, (3)解：①如图，点Q即为所求； M图4 ②过点Q作x轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为A,B,C,D, 314 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M图4 CD 则位似抛物线的位似比为AB, 即两条抛物线的开口大小之比， 又，抛物线的开口大小只由二次项的系数决定， d ∴.抛物线C1和C2的位似比为。 m 拓展 链接中考 1.B 2.B 3.B 4.13 6.-10,13.5 414 分层作业 31.4位似（第2课时） 目 录 1 利用坐标规律求点的坐标 1 利用坐标规律求长度和面积 3 利用坐标规律作位似图形 5 7 9 11 利用坐标规律求点的坐标题型01 1．（2024·浙江·中考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 2．（2024·黑龙江绥化·中考）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 3．（2025-2026·八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 4．（2023·辽宁·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍， ∴四边形和四边形的相似比为， ∵， ∴第一象限内点 ，即， 故答案为：． 5．（2023·湖北鄂州·中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【详解】解∶设 ∵与位似，原点是位似中心，且．若， ∴位似比为， ∴， 解得，， ∴ 故答案为： 利用坐标规律求长度和面积题型02 6．（2025·浙江·中考）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（2022·广西百色·中考）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ） A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 【答案】C 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 8．（2022·贵州黔西南·中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____． 【答案】2 【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点 ∴OA=4，OC=2 ∴与的位似比为：4：2=2：1 ∴与周长的比值为：2：1 故答案为：2． 9．（2022·山东潍坊·中考）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________． 【答案】 【详解】解：正方形ABCD的面积为4， ， ， ， ， 所求周长； 故答案为：． 利用坐标规律作位似图形题型03 10．（2022·广西河池·中考）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【详解】(1)如图，为所作． (2)如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 11．（2025-2026·八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【详解】(1)如图，即为所求． （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 【答案】 【详解】解：由题可知，，， ∴． ∵与是位似图形，只有一种情况， 此时， ∴， ∴， 即， ∴， 所以点D的横坐标为． 2．（2021·山东东营·中考）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得：. 故选：A. 3．（2025-2026·八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ，，， ，， 和是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， ，轴， ，， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在第二象限， 点的纵坐标为， 点在点的左侧， 点的横坐标为， ． 2．如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． (1)如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； (2)如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； (3)如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 【详解】（1）解：和是位似抛物线，理由如下： ∵、， ∴设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 同法可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵三点共线，三点共线，点是两条抛物线的共用顶点， ∴和关于点位似，且在点的同侧， ∴抛物线和是位似抛物线； （2）解：∵，设其顶点坐标为 则， ∵两条抛物线关于点为位似抛物线，且位似比为， ∴另一条抛物线的顶点坐标为， ∴设另一条抛物线的解析式为， 设抛物线任意一点的坐标为，则其关于原点位似的对应点的坐标为，该点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式为； （3）解：①如图，点即为所求； ②过点作轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为， 则位似抛物线的位似比为，即两条抛物线的开口大小之比， 又∵抛物线的开口大小只由二次项的系数决定， ∴抛物线和的位似比为. 1．（2026·甘肃武威·中考）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 2．（2025·甘肃兰州·中考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 3．（2025·内蒙古·中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 4．（2025·黑龙江绥化·中考）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 5．（2023·辽宁盘锦·中考）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 【答案】或/或 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 6．（2025·山东烟台·中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $