31.2.2三角形相似的判定（第2课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 聚焦三角形相似判定定理，通过基础理解、特殊应用到综合迁移的三层递进设计，融合网格情境与中考真题，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|三边成比例判定|以选择、填空为主，结合网格图（如第2题）考查比例计算，强化几何直观| |特殊应用层|斜边直角边成比例判定|含辨析题（第9题）和开放题（第11题），突出直角三角形特殊性，发展推理意识| |综合迁移层|多判定定理综合应用|结合中考题（如第17题）和网格探究（第6题），需跨定理分析，提升模型应用能力|

分层作业 31.2.2三角形相似的判定（第2课时） 目 录 1 利用“三边成比例”判定两个三角形相似 1 利用“斜边和一直角边成比例”判定两个三角形相似 5 三角形相似的判定定理的综合应用 8 10 12 14 利用“三边成比例”判定两个三角形相似题型01 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 4．如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 5．（2025-2026·九年级上·上海·期中）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 6．（2025-2026·九年级上·辽宁本溪·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 7．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 8．如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【详解】（1）证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． （2）解：如图，（1）中结论仍成立． 利用“斜边和一直角边成比例”判定两个三角形相似题型02 9．下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【答案】A 10．（2022-2023·九年级下·广西桂林·月考）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 11．（2021-2022·九年级上·浙江绍兴·期末）如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是________． 【答案】∠A=∠CBD（答案不唯一） 12．（2024-2025·九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 13．学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件． （1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”； （2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程． 已知：如图，_____．试说明Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 【详解】（1）一个锐角对应相等，两直角边对应成比例； （2）斜边和一条直角边对应成比例． 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，． 解法一：设=k，则AB= k A'B'，AC= k A'C'． 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ， ∴， ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 解法二：如图，假设AB＞A'B'，在AB上截取AB''= A'B'，过点B''作B''C''⊥AC，垂足为C’’． ∵∠C=∠AC''B''， ∴BC//B''C''， ∴Rt△ABC∽Rt△A'B''C''，． ∵AB''= A'B'， ∴． 又∵， ∴ ， ∴AC''=A'C'． ∵AB''= A'B'，∠C=∠AC''B''=90°， ∴Rt△AB''C''≌Rt△A'B'C'， ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 三角形相似的判定定理的综合应用题型03 14．（2025-2026·八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 15．观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 16．下列说法中，两个三角形不相似的是（    ） A．一个三角形的两个角分别是；另一个三角形的两个角分别是 B．一个三角形的三边长分别是；另一个三角形的三边长分别是 C．一个三角形的两边长分别是和，夹角是；另一个三角形的两边长分别是和，夹角是 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】B 17．（2025-2026·九年级上·河南郑州·教学质量监测）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 1．如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 3．如图，已知：，，，当_______时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 1．已知命题：①斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形相似； ②斜边及斜边上的高对应成比例的两个直角三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①是假命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①和②都是真命题； D．①和②都是假命题． 【答案】A 2．请设计三种不同的分法，将直角三角形（如图）分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似．（画图工具不限，要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求证明，不要求写出画法） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． 【答案】见解析. 【详解】解：所作图形如下： 1．（2020·云南昆明·中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 2．（2020·黑龙江大庆·中考）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A．或 B．15 C． D． 【答案】A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.2三角形相似的判定（第2课时） 目 录 1 利用“三边成比例”判定两个三角形相似 1 利用“斜边和一直角边成比例”判定两个三角形相似 5 三角形相似的判定定理的综合应用 8 10 12 14 利用“三边成比例”判定两个三角形相似题型01 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 3．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 5．（2025-2026·九年级上·上海·期中）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 6．（2025-2026·九年级上·辽宁本溪·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 7．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 8．如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【详解】（1）证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． （2）解：如图，（1）中结论仍成立． 利用“斜边和一直角边成比例”判定两个三角形相似题型02 9．下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【答案】A 【详解】A：若两个直角三角形仅有一组角对应相等（如均为直角），但另一锐角不相等，则它们不相似． 例如，一个含锐角的直角三角形与一个含锐角的直角三角形不相似，故选项A错误． B：若两个直角三角形有一组锐角对应相等，则另一锐角也必然相等（因两角之和为）， 满足“两角对应相等”的相似条件，故选项B正确． C：两条直角边对应成比例，且夹角为直角（对应相等）， 符合“两边对应成比例且夹角相等”的相似条件，故选项C正确． D：斜边和一条直角边对应成比例时，根据勾股定理，另一条直角边也必然成相同比例， 满足“三边对应成比例”的相似条件，故选项D正确． 故选：A． 10．（2022-2023·九年级下·广西桂林·月考）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意； D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意； 故选：D． 11．（2021-2022·九年级上·浙江绍兴·期末）如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是________． 【答案】∠A=∠CBD（答案不唯一） 【详解】解：添加∠A=∠CBD， ∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=Rt∠， ∴△ACB∽△BDC， 故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）． 12．（2024-2025·九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． 13．学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件． （1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”； （2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程． 已知：如图，_____．试说明Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 【详解】（1）一个锐角对应相等，两直角边对应成比例； （2）斜边和一条直角边对应成比例． 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，． 解法一：设=k，则AB= k A'B'，AC= k A'C'． 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ， ∴， ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 解法二：如图，假设AB＞A'B'，在AB上截取AB''= A'B'，过点B''作B''C''⊥AC，垂足为C’’． ∵∠C=∠AC''B''， ∴BC//B''C''， ∴Rt△ABC∽Rt△A'B''C''，． ∵AB''= A'B'， ∴． 又∵， ∴ ， ∴AC''=A'C'． ∵AB''= A'B'，∠C=∠AC''B''=90°， ∴Rt△AB''C''≌Rt△A'B'C'， ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 三角形相似的判定定理的综合应用题型03 14．（2025-2026·八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 15．观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合题意； B中，，能判定相似，故不符合题意； C中，只有一组角相等不能判定相似，故符合题意； D中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合题意； 故选：C． 16．下列说法中，两个三角形不相似的是（    ） A．一个三角形的两个角分别是；另一个三角形的两个角分别是 B．一个三角形的三边长分别是；另一个三角形的三边长分别是 C．一个三角形的两边长分别是和，夹角是；另一个三角形的两边长分别是和，夹角是 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】B 【详解】选项A：第一个三角形的三个角为40°，80°、60°（第三个角由内角和计算得出），第二个三角形的三个角为60°、80°、40°,根据两角分别相等的两个三角形相似，故相似. 选项B：第一个三角形三边为4cm、6cm、8cm，第二个为12cm、18cm、21cm，计算对应边比例：因为三边不成比例，故不相似. 选项C：第一个三角形两边2cm、5cm，夹角40°；第二个三角形两边3cm、7.5cm，夹角40°，两边比例,根据两边成比例且夹角相等，故相似. 选项D：等腰三角形顶角为120°时，底角均为30°；若底角为120°，则顶角无法成立.因此两个等腰三角形必为顶角120°，底角30°，根据两角分别相等的两个三角形相似，故相似. 故选：B. 17．（2025-2026·九年级上·河南郑州·教学质量监测）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 1．如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则的各边长分别为1、、．则 ②的各边长分别为1、、； ③的各边长分别为2、、（为各边长的2倍）； ④的各边长分别为5、、（为各边长的倍）； ⑤的各边长分别为2、、（为各边长的倍）； ⑥的各边长分别为3、、． 根据三组对应边成比例的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 2．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，       计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时，          计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时，          计算三边比例关系：       所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 3．如图，已知：，，，当_______时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 【详解】解：∵∠ACB＝∠ABD＝90°，BC＝3，AC＝4． ∴AB＝， 当时，△ABC∽△ADB，则， 解得：BD＝； 当时，△ABC∽△DAB，则， 解得：BD＝， 故当BD＝或时，两个直角三角形相似， 故答案为或． 1．已知命题：①斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形相似； ②斜边及斜边上的高对应成比例的两个直角三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①是假命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①和②都是真命题； D．①和②都是假命题． 【答案】A 【详解】解：①如图，点、分别为、斜边、上的中点 ， 任意两个直角三角形的斜边及斜边上的中线对应成比例 斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形不相似 故①是假命题； ②如图，、分别为、斜边上的高，且 不妨设，，，，， ， ， ， ，， ， ， 解得或 当时， ， 当时， ， 故②为真命题； 故选：A． 2．请设计三种不同的分法，将直角三角形（如图）分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似．（画图工具不限，要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求证明，不要求写出画法） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． 【答案】见解析. 【详解】解：所作图形如下： 1．（2020·云南昆明·中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【详解】解：ABC的三边之比为， 如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况： 所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个， 故选：C． 2．（2020·黑龙江大庆·中考）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A．或 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则， 若m是斜边，则； 在第二个直接三角形中，若n是直角边，则， 若n是斜边，则； 又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取， 即当m=5，，， 当，n=10，， 故选：A． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.2三角形相似的判定（第2课时） 目 录 1 利用“三边成比例”判定两个三角形相似 1 利用“斜边和一直角边成比例”判定两个三角形相似 3 三角形相似的判定定理的综合应用 4 4 5 5 利用“三边成比例”判定两个三角形相似题型01 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 第3题图 第4题图 第6题图 4．如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025-2026·九年级上·上海·期中）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 6．（2025-2026·九年级上·辽宁本溪·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 7．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 8．如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 利用“斜边和一直角边成比例”判定两个三角形相似题型02 9．下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 10．（2022-2023·九年级下·广西桂林·月考）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 11．（2021-2022·九年级上·浙江绍兴·期末）如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 . 12．（2024-2025·九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 13．学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件． （1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”； （2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程． 已知：如图，_____．试说明Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 三角形相似的判定定理的综合应用题型03 14．（2025-2026·八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 15．观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 16．下列说法中，两个三角形不相似的是（    ） A．一个三角形的两个角分别是；另一个三角形的两个角分别是 B．一个三角形的三边长分别是；另一个三角形的三边长分别是 C．一个三角形的两边长分别是和，夹角是；另一个三角形的两边长分别是和，夹角是 D．各有一个角是的两个等腰三角形 17．（2025-2026·九年级上·河南郑州·教学质量监测）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 1．如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第1题图 第2题图 第3题图 2．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 3．如图，已知：，，，当_______时，图中的两个直角三角形相似． 1．已知命题：①斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形相似； ②斜边及斜边上的高对应成比例的两个直角三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①是假命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①和②都是真命题； D．①和②都是假命题． 2．请设计三种不同的分法，将直角三角形（如图）分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似．（画图工具不限，要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求证明，不要求写出画法） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． 1．（2020·云南昆明·中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（2020·黑龙江大庆·中考）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A．或 B．15 C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $