2.7有理数的混合运算（知识梳理+同步练习） 2026-2027学年苏科版七年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“有理数的混合运算”，系统梳理运算优先级、分步规则及简便技巧，通过复习有理数加减乘除单一运算搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到混合运算，明晰前后知识脉络。 资料特色在于知识梳理层次分明，同步练习融合生活实际（如股票涨跌、共享充电宝计费）与跨学科情境（二维码二进制转换、七进制计数），通过错题分析（接力游戏找错）和技巧总结（凑整、同号结合），培养学生运算能力与应用意识，提升数学思维的严谨性。

2.7有理数的混合运算（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、有理数混合运算优先级（核心顺序） 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2. 同级运算（只有加减、只有乘除），从左到右依次计算。 3. 有括号先算括号内，顺序：小括号→中括号→大括号，由内向外逐层计算。 二、分步运算规则 1. 乘方运算 优先计算所有乘方，严格区分与的符号差异。 2. 乘除运算 先统一判定符号，再计算绝对值；带分数先化为假分数，小数统一化分数再约分计算。 3. 加减运算 统一化为省略括号的和式，可利用加法运算律分组简便计算。 三、简便运算常用技巧 1. 凑整法：将能凑成整数、整十数的数优先结合计算。 2. 同号结合：所有正数、负数分别结合相加，减少符号出错。 3. 相反数结合：互为相反数的数先相加，和为0，简化运算。 4. 分数小数归类：分数与分数结合、小数与小数结合，方便约分凑整。 5. 乘法分配律：适用于括号内外分数、整数的展开简算，拆分或合并算式。 四、多层括号运算原则 1. 逐层去括号，先算内层，再算外层，严禁跳层计算。 2. 括号前是负号，去括号时括号内所有符号都要变号。 3. 计算过程分步书写，不跳步，避免累积错误。 五、核心运算结论 1. 0乘任何数为0，0除以非0数为0，0不能作除数。 2. 1乘任何数等于原数，-1乘任何数等于原数相反数。 3. 平方数恒非负，混合运算中可优先判定正负性。 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·天津·阶段检测）计算的结果是（   ） A．1 B． C．36 D． 2．（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）下列算式中，计算结果为负数的是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北张家口·期末）下列各组数中结果相等的是（     ） A．与 B．和 C．与 D．和 4．（25-26七年级上·山西临汾·期中）数学课堂上，老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的混合运算，过程如下： 老师：→甲：→乙：→丙：→丁： 在接力中，从哪位同学负责的这一步开始出错（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 6．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）要使算式的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．- C．× D．÷ 8．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 9．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·河南漯河·期中）点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且，，，那么表示数b的点为（   ） A．点M B．点N C．点P D．点O 二、填空题 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 12．（2026·山东潍坊·模拟预测）某云存储平台为用户提供云端照片存储服务．该平台某日登录的用户数量约为人，若当日平均每位用户上传400张高清照片，则该平台当日总共收到用户上传高清照片约为_________张（用科学记数法表示）． 13．（25-26七年级上·河北沧州·期末）已知互为相反数，互为倒数、则___________． 14．（25-26七年级上·四川成都·期末）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 15．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 16．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 17．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，有一张边长为16cm的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为3cm的小正方形，那么这个无盖长方体纸盒的体积是_____． 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）布置在公共场所的共享充电宝，解决了手机续航焦虑，为旅客带来便利．哈西站的共享充电宝计费标准如下所示： 租金说明 ①分钟内免费． ②超出部分每小时收费元，不足小时按小时计费． ③租用首个小时收费元．小时后按时计费，每小时收费元，不足小时按小时计费． 小红在哈西站租用了一个共享充电宝，当天忘记归还，共租用了小时，支付时使用了一张满减元的优惠券，小红应付租金______元． 19．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 20．（25-26七年级上·广东潮州·期末）我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是__________天． 三、解答题 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 22．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 23．（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 24．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 25．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 26．（25-26七年级上·湖南衡阳·开学考试）王明准备改造自己的房间，想让它更智能、更舒适． (1)王明想给正方形的书房地面铺设带有感应功能的方砖，用边长的方砖铺地正好需36块．改用边长的方砖需多少块？ (2)为了营造氛围，王明需要购买30个可调光调色的智能灯泡．现有甲、乙两家商城在销售，灯泡的单价都是10元．但两家商场的优惠活动不同： 甲商城：打8折销售            乙商城：购物每满200元，立减30元现金 王明想尽量节省费用，他应该选择哪家商场购买？为什么？（请写出计算过程） 试卷第6页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B B A A A C C 1．B 【详解】解：， 故选：B． 2．D 【详解】解：A、，结果为正数，不符合题意； B、，结果为正数，不符合题意； C、，结果为正数，不符合题意； D、，结果为负数，符合题意． 故选：D． 3．C 【详解】解：∵，， ∴A选项中两数不相等 ∵，， ∴B选项中两数不相等 ∵，， ∴C选项中两数相等 ∵，， ∴D选项中两数不相等 故选：C． 4．B 【详解】解：原式为， 先计算乘方：， ∴甲正确，得； ∵乘除运算从左到右， ∴应先算，再算， 但乙先算了，得 ，改变了运算顺序， ∴乙错误， 丙和丁基于乙的错误计算，故后续步骤均错误， 故选：B 5．B 【详解】解：，，且， 是的倍． 6．A 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 7．A 【详解】1. 代入四种运算符号计算 加号： = 减号： = 乘号： = 除号： = ≈ 2. 比较结果： ，因此最大结果为34，对应填入加号. 故选：A. 8．A 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 9．C 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 10．C 【详解】解：∵， ∴， ∵三个点中只有点M在负半轴上， ∴点M表示数a， ∵， ∴， ∵， ∴表示数b的点在表示数c的点的右侧， ∴表示数b的点为点P， 故选：C． 11．1 【详解】解： ． 12． 【详解】解：根据题意得，． 13． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故答案为： 14．4 【详解】解：由题意得，， 故答案为：4． 15． 【详解】解： ． 16． 【详解】解： 17． 【详解】解：长方体纸盒的体积， 故答案为：． 18． 【详解】解：根据计费规则，前小时收费为元， 超出小时的时长为：（小时）， 因为不足小时按小时计费，所以小时按小时计费， 超出部分的费用为：（元）， 优惠前总费用为：（元）， ，可使用满减元的优惠券，因此应付租金为：（元）． 19．10061404 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 20． 【详解】解：天， 故答案为：． 21．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．(1)①；② (2) 解： 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． (2) 解： 23．(1)33 (2)34，24 (3)盈利了845.5元． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股是（元； （2）解：周二每股最高：（元； 周五每股最低：（元； （3）解：（元， （元， （元， ， （元； 所以小强爸爸盈利了845.5元． 24．(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 25．(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 26．(1)改用边长的方砖需81块 (2) 应该选择甲商场购买，原因如下： 去甲商场购买所需费用为：（元）； （元），， 故去乙商场购买所需费用为：（元）； 因为， 所以他应该选择甲商场购买． 【详解】（1）解：（块）； 答：改用边长的方砖需81块； （2）应该选择甲商场购买，原因如下： 去甲商场购买所需费用为：（元）； （元），， 故去乙商场购买所需费用为：（元）； 因为， 所以他应该选择甲商场购买． $