第2 有理数 单元复习导学案 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学有理数单元复习导学案围绕正负数、数轴、相反数、绝对值及有理数运算等核心概念，以构建知识体系、掌握运算技能、解决实际问题为目标，通过情境引入、知识点系统梳理、7类典例精讲及分层练习的递进设计，形成连贯的复习路径。 亮点在于“问题驱动-分层进阶”的任务设计，结合数轴动点、绝对值化简、规律探究及超市售价分析等实例，培养抽象能力、运算能力与应用意识，分层练习兼顾基础巩固与能力提升，为教师实施单元复习提供完整支撑，助力学生深度学习与核心素养发展。

第2章有理数单元复习导学案 学习目标 1、梳理有理数单元的核心知识点，构建完整的知识体系，掌握正负数、数轴、相反数、绝对值的概念，以及有理数的运算法则。 2、能够熟练进行有理数的混合运算，掌握绝对值的化简、数轴动点问题、规律探究等综合题型的解题方法。 3、能够运用有理数的知识解决实际问题，提升分类讨论、数形结合的数学思想能力。 学习重难点 重点：有理数的混合运算，绝对值的化简，数轴的综合应用。 难点：绝对值的最值问题，规律探究，分类讨论的综合应用。 情境引入 在我们的日常生活中，经常会遇到各种相反意义的量，比如气温的升降、收支的增减、路程的往返，这些都可以用有理数来表示。同时，我们也会遇到一些复杂的计算，比如超市的促销优惠、行程的规划，这些都需要用到有理数的运算。今天，我们就来对整个有理数单元进行复习，把这些零散的知识点整合起来，解决更多的实际问题。 知识点梳理 一、有理数的相关概念 1、正负数：大于 0 的数叫做正数，在正数前面加上符号 “-” 的数叫做负数，0 既不是正数也不是负数，正负数可以表示相反意义的量。 2、有理数的分类： 按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） 按符号分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数） 3、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，数轴上的点与有理数一一对应，右边的数总比左边的大。 4、相反数：只有符号不同的两个数，0 的相反数是 0，若 a、b 互为相反数，则。 5、绝对值： 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，即 几何意义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离。 6、科学记数法：把一个大于 10 的数表示成的形式（其中，n 是正整数）。 二、有理数的运算 1、运算法则： 加法：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，绝对值相减；一个数加 0 仍得这个数。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数，即。 乘方：求 n 个相同因数的积的运算，负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 2、运算律： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 分配律： 3、 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；有括号的先算括号里的，按小、中、大括号依次进行。 三、典例精讲 题型 1：有理数的概念与分类 例 1：在，，，，0，，中， 正数集合：{ }； 负数集合：{ } 整数集合：{ } 分数集合：{ } 解析： 首先化简各数，，， 然后根据定义分类： 正数：大于 0 的数，即，； 负数：小于 0 的数，即，，，； 整数：正整数、0、负整数，即，，0； 分数：正分数、负分数，即，，，。 题型 2：数轴与动点综合 例 2：点 A、B 在数轴上对应的数为 - 3、7，点 A 以每秒 3 个单位长度的速度向右运动，同时点 B 以每秒 1 个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为 t 秒． (1) 求运动前 AB 的中点对应的数； (2) t 为何值时 A、B 对应的数相同； (3) t 为何值时 A、B 之间的距离等于 2 个单位长度． 解析： (1) 中点对应的数为； (2) 运动后，A 表示的数为，B 表示的数为，令两者相等： ，解得； (3) 两点距离为， 当时，；当时，； 所以 t 为 4 秒或 6 秒时，A、B 之间的距离为 2。 题型 3：绝对值的化简与非负性 例 3：数轴上表示数 a，b，c 的点如图所示，且 b<c<0<a， (1) 比较大小：a c，b c；(填 “>”、“<” 或 “=”) (2) 化简：。 解析：(1) 数轴上右边的数大于左边的，所以 a>c，b<c； (2) 根据符号判断绝对值内的正负： ，，， 所以原式 = 。 题型 4：有理数的混合运算 例 4：计算：。 解析：利用乘法分配律进行简便运算： 原式 = 。 题型 5：新定义运算 例 5：对于任意实数 a，b，定义关于 “⊗” 的一种运算如下：．例如：．则 。 解析：根据定义，代入计算： 。 题型 6：规律探究 例 6：符号 “f” 表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1) ； (2) 。 利用以上规律计算：。 解析：根据规律，对于正整数 n，，对于正整数 n≥2，， 所以，， 所以原式 = 2024-2023=1。 题型 7：实际应用综合 例 7：某地一天的最高气温是 8℃，最低气温是 - 3℃，这一天的温差是多少？ 解析：温差是最高气温减去最低气温，即。 四、分层练习 基础过关 1、下列各数中，属于负数的是（ ） A. 0 B. -5 C. 3.14 D. π 2、下列各数中，与 2025 相等的是 ( ) A. - (+2025) B. + (-2025) C. - -2025 D. - (-2025) 3、水位上升 3 米记作 + 3 米，那么水位下降 8 米记作（ ）米． A. +8 B. 11 C. -8 D. -3 4、一批食品，标准质量为每袋 500g．现随机抽取 4 个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ） A. +7 B. -5 C. -3 D. +10 5、随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的 “宠儿”，预计 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000 人，将数 460000000 用科学记数法表示为 ( ) A. 4.6 × 10⁸ B. 46× 10⁷ C. 0.46× 10⁹ D. 4.6 × 10⁷ 6、一个点从数轴的原点开始，先向左移动 3 个单位，再向右移动 2 个单位，这时该点所表示的数是（ ） A. -1 B. 2 C. D. -5 能力提升 7、已知 | a|=1，|b|=2，|c|=3，且 a＞b＞c，那么 a+b﹣c= . 8、在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2 中任选两个数相乘，其中最大的积是 . 9、数轴上一动点 A 向右平移 6 个单位长度后到达点 B，再向左平移 3 个长度单位后达到点 C，若点 C 表示的数的绝对值是 1，则点 A 表示的数是（ ） A.2 B. -2 C. -2 或 - 4 D. -2 或 2 10、定义一种新运算 “⊕”，，则 。 11、已知 a,b 两数在数轴上对应的位置如图所示：b<a<0，下列结论正确的是（ ） A. ab<0 B. a>b C. b-a>0 D. |a|>|b| 12、某超市新购草莓的进价为 20 元．为合理定价，前五天试行调价，以 28 元为标准售价，超出与不足的部分分别用正、负数表示．售价与销量记录如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 售价与标准售价的差 /(元) +3 -2 -1 +2 -1 销量 10 40 20 30 65 这五天中，该超市第 天售出的草莓价格最高，为 元。 13、观察下列式子： ，，，… 请计算 。 14、对于任何有理数 x，取最小值时，相应的 x 的值是 。 五、课堂小结 通过这节课的复习，我们梳理了有理数单元的所有知识点，从基本的概念到综合的运算，还有实际应用和规律探究。我们掌握了： 1、有理数的相关概念，正负数、数轴、相反数、绝对值，还有科学记数法。 2、有理数的运算法则和运算律，能够熟练进行混合运算。 3、综合题型的解题方法，比如数轴动点、绝对值化简、新定义运算、规律探究，还有实际问题的解决。 希望大家能够通过这些练习，巩固所学的知识，提升自己的数学能力。 学科网（北京）股份有限公司 $分层练习答案与解析 基础过关 1、答案：B 解析：负数是小于0的数，-5<0，所以选B。 2、答案：D 解析：-（-2025)=2025，其他选项：-（+2025)=-2025，+(-2025)=-2025 --2025=-2025,所以选D。 3、答案：C 解析：下降为负，所以记作-8，选C。 4、答案：C 解析：绝对值越小越接近标准，-3=3最小，所以选C。 5、答案：A 解析：460000000=4.6×103，选A。 6、答案：A 解析：0-3+2=-1，选A。 能力提升 7、答案：2或0 解析：由a=1,b=2,|c=3,且a>b>c,得a=1,b=-2,c=-3或 a=-1,b=-2,c=-3,所以a+b-c=1-2+3=2,或-1-2+3=0。 8、答案：15 解析：两个负数相乘得正数，（-5)×(-3)=15，是最大的积。 9、答案：C 解析：设A为X,则B=x+6,C=x+6-3=x+3,x+3=1,所以x+3=1或x+3=-1 ,解得x=-2或x=-4,选C。 10、答案：-13 解析：根据定义，（-2)⊕3=2×(-2)-3×3=-4-9=-13。 11、答案：B 解析：数轴上右边的数大于左边的，所以a>b,ab>0,b-a<0,a<b,所以选 B。 12、答案：一，31 解析：第一天的售价是28+3=31，是五天中最高的。 13、答案：吕 解折：梨项相消原式1分号+片治-1。品 14、答案：1 解析：当x=1时，原式=1+1+|1-1+|1-2=2+0+1=3，取得最小值。