2.4.2圆的一般方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，通过类比直线方程从圆的标准方程变形导入，前情回顾标准方程及点与圆位置关系，构建新旧知识衔接的学习支架，引导学生理解方程特征及互化方法。 其亮点在于以问题驱动探究，通过配方变形分析方程表示圆的条件，培养数学思维的严谨性，结合待定系数法、几何法解决轨迹问题，强化数学语言表达与应用意识。课堂小结用表格对比梳理知识，助力学生系统掌握，教师可借助多样化例题提升教学效率。

第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 前情回顾 圆的标准方程： 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于、的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 前情回顾 点与圆的位置关系： 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的一般方程各个字母的含义并能与标准方程的互化. 能结合圆的一般方程准确判断点与圆的位置关系. 能灵活应用公式解决有关圆的轨迹问题. 我们一起来探究“圆的一般方程”吧！ 读教材 阅读课本P85-P87，5分钟后完成下列问题： 1. 圆的一般方程是什么？怎么利用一般方程求圆心和半径？ 2. 怎么判断能否构成圆的一般方程以及点与圆的位置关系？ 新课引入 那么，一起探究圆的方程和二元二次方程有什么关系？ 思考：在直线方程中，所有的二元一次方程都可表示直线，那么， 类比学习，以(1，－2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？ . 变形 关于的二元二次方程 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的一般方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究1 探究1 圆的标准方程和二元二次方程的关系？ 变形 等价 结论： 任何一个圆的标准方程都可以写成二元二次方程的形式。 问题：方程一定能通过 恒等变形变为圆的标准方程吗？ 新知探究1 思考1：方程一定表示圆吗？ 下列方程能化为圆的标准方程吗？ (1) (2) (3) 圆 点 不存在 结论：方程？ 新知探究1 思考2 方程中的满足 什么条件时，这个方程表示圆？ 方程配方, 得 (2)当时，方程只表示一个点； (1)当时， 方程表示以为圆心，为半径的圆； (3)当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 概念 圆的一般方程 圆的一般方程： 当，方程表示： 以为圆心，以为半径的圆. 我们把方程叫做圆的一般方程. 注：圆的一般方程的特征： 1.且不为0; 2. 当才表示圆. 练习巩固 练习1 求下列各圆的圆心坐标和半径: (1) ； (2) ； (3) . 解：(1)圆心的坐标为半径长为3； (2)圆心的坐标为半径长为； (3)圆心的坐标为半径长为. 用公式：圆心， 半径. 练习巩固 练习2 判断下列方程分别表示什么图形，并说明: (1) ； (2) ； (3) . 解：(1)方程表示一个点(0, 0)； (2)方程表示圆心坐标为(1, －2)，半径长为1的圆； (3)当方程表示圆心坐标为(－, 0)，半径长为的圆， 当. 用公式： 判断是否>0. 练习巩固 练习3 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的 圆心坐标和半径？ 解：设圆的方程为，由已知条件得 解得 故所求圆的方程为圆心坐标为(－2, 1)，半径长为. 待定系数法 练习巩固 练习4 如图，在四边形中， =6=3，且//= 与间的距离为3. 求等腰梯形的外接圆的方程， 并求这个圆的圆心坐标和半径？ 解：等腰梯形的外接圆的圆心在轴上， 也在直线中垂线上，的中点(,)，： 外接圆的圆心为(0,)，，圆的方程是 (3,0) A B D C x O y 3 3 (－3,0) (,3) 几何法 方法总结 (1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程 中三个参数，从而确定圆的标准方程．一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，的方程组； ③解——解方程组，求出； ④代——将代入所设方程，得所求圆的方程． (2)几何法： 圆的标准方程的两种求法： 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 已知点在圆的方程 如何确定点与圆的位置关系？ 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 概念 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： 位置关系 图形 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 = > < 练习巩固 练习1 判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点，圆: ； (2) 点，圆: ； (3) 点，圆: . 解：(1)点在圆内； (2)，点在圆外； (3)，点在圆上。 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的一般方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 圆的一般方程及其应用 题型1 题型探究 例1 方程 表示圆的条件是( ) B A. B. 或 C. ； D. 解：由于方程 表示一个圆， 所以解得或 . 例2 若方程表示圆，求实数的取值范围？ 解：据题意知， 即，解得，故的取值范围为. 圆的一般方程及其应用 题型1 题型探究 例3 已知 四点都在同一个圆周上， 的值？ 解：设圆的方程为 ， 由题意得 解得 所以 因为点 在圆上，所以即 圆的一般方程及其应用 题型1 题型探究 例4 已知圆的圆心在直线 上， 且圆心在第二象限，半径为 ，求：圆 的一般方程？ 解： 圆的标准方程为 ， 则圆心为，半径为，所以 解得 或又圆心在第二象限，所以， ， 故圆的一般方程为 . 与圆有关的轨迹问题 题型2 题型探究 例5 已知一动点到点的距离是它到点 的距离的3倍， 则动点 的轨迹方程是_________________ . 解：设动点的坐标为则 ， 即 ， 整理得 故动点的轨迹方程为 方法总结 轨迹与轨迹方程的区别： 轨迹：是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等. 轨迹方程：是点的坐标满足的关系式. (1)设坐标：求谁的轨迹（方程），设谁的坐标为(x,y)； (2)列关系式：根据题设条件列关系式化简即可。 求轨迹方程的一般步骤： 与圆有关的轨迹问题 题型2 题型探究 例6 在平面直角坐标系中，已知，动点 满足 (1)求点的轨迹方程；(2)设点是线段的中点，求点 的轨迹方程？ 解：(1)设则 所以，即， 所以的轨迹方程为 (2)设，因为点是线段 的中点，所以 即 又因为点在圆 上， 即 所以点的轨迹方程为 与圆有关的轨迹问题 题型2 题型探究 例7 点(2,0)是圆4上的定点，点(1,1)是圆内一点，为圆上的动点， 求线段的中点的轨迹方程？ 解：设线段的中点为由中点公式， 得点的坐标为；∵点在圆4上， ∴4， 故线段的中点的轨迹方程为1. 与圆有关的轨迹问题 题型2 题型探究 例8 已知线段的端点的坐标是(4, 3) ，端点A在圆=4上运动， 求线段的中点的轨迹方程？ 解：设，.∵，且是线段的中点， ∴∴，. ① ∵点在圆上运动， ∴点的坐标满足圆的方程，即. ② 把①代入②，得， 整理，得. 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆. x y O A M B(4, 3) 课堂小结 标准方程 一般方程 方程 代数特征 参数要求 圆心 半径 明确圆心和半径 圆的两种方程 课堂小结 位置关系 标准方程判断 一般方程判断 点在圆上 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆外 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆内 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 ＝ > < ＝ > < 点与圆的位置关系： 感谢聆听! $