2.4.2　圆的一般方程 新授课 2026-2027学年二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，通过隧道截面、圆拱桥等生活实例导入，从圆的标准方程展开引出一般方程，以问题链引导学生探究D、E、F的取值条件，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于分层设计（基础知识、典型例题、知能演练），题型分类清晰，如圆的方程辨析、待定系数法求方程、轨迹问题等，总结通性通法（如轨迹方程的直接法、定义法、代入法），体现逻辑推理与数学运算素养。实例丰富（如过三点求圆方程、中点轨迹问题），助力学生提升解题能力，教师可利用分层练习与方法总结优化教学。

2.4.2　圆的一般方程 新课程标准解读 核心素养 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 数学抽象、 逻辑推理 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部 分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2展开为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，其中 D ， E ， F 均为常数. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于 x ， y 的 二次项系数为1，且不含 xy 项的二元二次方程的形式？ （2）若一个形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的二元二次方程表示圆， 则 D ， E ， F 应满足什么条件？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　圆的一般方程 1. 圆的一般方程的概念 当 时，二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0 叫做圆的一般方程. D2＋ E2－4 F ＞0　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 圆的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）表示的 圆的圆心坐标为 　 　，半径长为 　 　. 提醒　圆的一般方程的特点：① x2， y2的系数都为1；②没有 xy 项；③只有 D2＋ E2－4 F ＞0时才表示圆. 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程. （　√　） （2）方程 x2＋ y2＋ x ＋1＝0表示一个圆. （　×　） （3）二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0一定是某个圆的方程. （　×　） （4）若方程 x2＋ y2－2 x ＋ Ey ＋1＝0表示圆，则 E ≠0. （　√　） √ × × √ 目录 数学·选择性必修第一册   解析：方程表示圆⇔1＋1－4 k ＞0⇔ k ＜ . 3. 若方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半 径的圆，则 F ＝ 　4 　. 解析：由圆的一般方程结合题中的条件可得－ ＝2，－ ＝－4， ＝4，解得 D ＝－4， E ＝8， F ＝4. 　 4 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 圆的一般方程的辨析 【例1】　判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆 心坐标及半径. （1） x2＋ y2－4 x ＝0； 解： 方程可变形为（ x －2）2＋ y2＝4，表示圆心坐标是 （2，0），半径是2的圆. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） x2＋ y2－4 ax －2 ay ＋6 a2＝0； 解： 方程可变形为（ x －2 a ）2＋（ y － a ）2＝ a2. 当 a ＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆； 当 a ≠0时，方程表示圆心坐标是（2 a ， a ），半径是｜ a ｜ 的圆. 目录 数学·选择性必修第一册 法一　由 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形. 法二　方程可变形为（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何图形. （3）4 x2＋4 y2－4 x ＋12 y ＋11＝0. 解： 方程可变形为 x2＋ y2－ x ＋3 y ＋ ＝0， 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 二元二次方程表示圆的判断方法 　　任何一个圆的方程都可化为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的形式，但 形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆 可以有以下两种方法： （1）计算 D2＋ E2－4 F ，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表 示一个点；若其值为负，则不表示任何图形； （2）将该方程配方为（ x ＋ ）2＋（ y ＋ ）2＝ ，根据圆 的标准方程来判断. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·许昌月考）若方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0表示的图形是圆，则 实数 m 的取值范围为（　　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞） 解析： 　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4 m ＞0，解得 m ＞－1.故实数 m 的取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0可化为 x2＋（ y －1）2＝ m ＋1，因为 方程表示的图形是圆，所以 m ＋1＞0，解得 m ＞－1.故实数 m 的取值 范围为（－1，＋∞）.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）已知圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0的直径为4，则 （　　） A. m ＝－1 B. m ＝1 C. 圆心为（－1，－2） D. 圆心为（1，－2） 解析： 　根据题意，圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0，即（ x － 1）2＋（ y ＋2）2＝5－ m ，其圆心为（1，－2），半径为 ，若其直径为4，则 ＝2，解得 m ＝1.故选B、D. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 求圆的一般方程 【例2】　求满足下列条件的圆的方程： （1）过点 A （－4，0）， B （0，2）和原点； 解： 设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，由已知条件 得 故所求圆的方程为 x2＋ y2＋4 x －2 y ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）圆心在直线 y ＝ x 上，与 x 轴相交于（－1，0），（3，0）两点. 解： 法一　设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，则圆 心为（－ ，－ ）. 因为圆心在直线 y ＝ x 上，且圆过（－1，0），（3，0）两点， 所以 所以圆的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 法二　因为圆与 x 轴相交于（－1，0），（3，0）两点， 所以圆心在直线 x ＝1上. 又圆心在直线 y ＝ x 上，所以圆心坐标为（1，1）. 所以圆的半径为 ＝ ， 所以圆的方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝5. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0； （2）根据已知条件，建立关于 D ， E ， F 的方程组； （3）解此方程组，求出 D ， E ， F 的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般 方程. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 （2024·泉州月考）已知圆 C ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋3＝0的圆心在直线 x ＋ y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆 C 的一般方程. 解：由题意得圆心 C （－ ，－ ）， 因为圆心在直线 x ＋ y －1＝0上， 所以－ － －1＝0，即 D ＋ E ＝－2， ① 又半径 r ＝ ＝ ， 所以 D2＋ E2＝20， ② 目录 数学·选择性必修第一册 由①②可得 又圆心在第二象限，所以－ ＜0，即 D ＞0. 所以所以圆 C 的一般方程为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 与圆有关的轨迹问题 角度1　直接法求轨迹方程 【例3】　求到点 O （0，0）的距离是到点 A （3，0）的距离的 的点 M 的轨迹方程. 解：设点 M 的坐标是（ x ， y ）， 则 ＝ .∴ ＝ . 化简，得 x2＋ y2＋2 x －3＝0，即所求轨迹方程为 x2＋ y2＋2 x －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　代入法求轨迹方程 【例4】　（2024·新乡月考）已知点 P 在圆 C ： x2＋ y2－8 x －6 y ＋21 ＝0上运动，求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程. 解：设点 M （ x ， y ），点 P （ x0， y0）， 则∴ 目录 数学·选择性必修第一册 ∵点 P （ x0， y0）在圆 C ： x2＋ y2－8 x －6 y ＋21＝0上， ∴ ＋ －8 x0－6 y0＋21＝0. ∴（2 x ）2＋（2 y ）2－8×2 x －6×2 y ＋21＝0， 即点 M 的轨迹方程为 x2＋ y2－4 x －3 y ＋ ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 角度3　定义法求轨迹方程 【例5】　已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3， 0），求直角顶点 C 的轨迹方程. 解：设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式，得 D （1，0）. 由直角三角形的性质，知｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜＝2. 由圆的定义，知动点 C 的轨迹是以 D （1，0）为圆心，以2为半径长 的圆（因为 A ， B ， C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点）. 设 C （ x ， y ），则直角顶点 C 的轨迹方程为（ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求与圆有关的轨迹方程的3种方法 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　（1）题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求 的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形； （2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·徐州月考）已知动点 M 到点 A （2，0）的距离是它到点 B （8，0）的距离的一半. （1）求动点 M 的轨迹方程； 解： 设动点 M 的坐标为（ x ， y ）. 因为 A （2，0）， B （8，0），｜ MA ｜＝ ｜ MB ｜. 所以（ x －2）2＋ y2＝ [（ x －8）2＋ y2]. 化简得 x2＋ y2＝16. 即动点 M 的轨迹方程为 x2＋ y2＝16. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹. 解： 设点 N 的坐标为（ x0， y0）， 因为 A （2，0）， N 为线段 AM 的中点， 所以点 M 的坐标为（2 x0－2，2 y0）. 又点 M 在圆 x2＋ y2＝16上， 所以（2 x0－2）2＋4 ＝16， 即得（ x0－1）2＋ ＝4. 所以点 N 的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 目录 数学·选择性必修第一册 　　 1. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋11＝0的圆心和半径分别是（　　） B. （2，－3），2 C. （－2，3），1 解析： 　圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋11＝0的标准方程为（ x －2）2＋ （ y ＋3）2＝2，据此可知圆心坐标为（2，－3），圆的半径为 . 故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. (2025秋·三门峡期末) 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为 （ ） 解析： 由，得，令，则，，所以直线恒过定点，则圆的方程为，即．. A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·威海质检）已知两定点 A （－2，0）， B （1，0），若动点 P 满足｜ PA ｜＝2｜ PB ｜，则 P 的轨迹为（　　） A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 半圆 解析： 　设点 P 的坐标为（ x ， y ），∵ A （－2，0）， B （1， 0），动点 P 满足｜ PA ｜＝2｜ PB ｜，∴ ＝2 ，两边平方得（ x ＋2）2＋ y2＝4[（ x －1）2＋ y2]，即（ x －2）2＋ y2＝4.∴ P 的轨迹为圆.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知△ ABC 的三个顶点为 A （1，4）， B （－2，3）， C （4，－ 5），求△ ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. 解：设△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0， ∵点 A ， B ， C 在圆上， ∴ ∴△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －23＝0， 即（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝25. ∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 圆的方程为（ x －1）（ x ＋2）＋（ y －2）（ y ＋4）＝0，则圆心坐 标为（　　） A. （1，－1） C. （－1，2） 解析： 　将圆的方程化为标准方程，得 ＋（ y ＋1）2＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知圆 C 的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则 圆 C 的方程为（　　） A. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋8＝0 B. x2＋ y2－4 x ＋6 y －8＝0 C. x2＋ y2－4 x －6 y ＝0 D. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0 解析： 　易知圆 C 的半径为 ，所以圆 C 的标准方程为（ x － 2）2＋（ y ＋3）2＝13，展开得一般方程为 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）关于直线 y ＝ x 对称，则（　　） A. D ＋ E ＋ F ＝0 B. D ＝ E C. D ＝ F D. E ＝ F 解析： 　由圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0可得圆心坐标为（－ ， － ），因为圆关于直线 y ＝ x 对称，所以圆心在直线 y ＝ x 上，所 以－ ＝－ ，即 D ＝ E . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·临沂月考）若 a ∈{－2，0，1， }，则方程 x2＋ y2＋ ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示的圆的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　若方程 x2＋ y2＋ ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则 a2 ＋（2 a ）2－4（2 a2＋ a －1）＞0，即3 a2＋4 a －4＜0，解得－2＜ a ＜ .∴当 a ∈{－2，0，1， }时，只有 a ＝0时，方程 x2＋ y2＋ ax ＋ 2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）已知圆 x2＋ y2－4 x －1＝0，则下列说法正确的有（　　） A. 关于点（2，0）对称 B. 关于直线 y ＝0对称 C. 关于直线 x ＋3 y －2＝0对称 D. 关于直线 x － y ＋2＝0对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 x2＋ y2－4 x －1＝0⇒（ x －2）2＋ y2＝5，所以圆心的 坐标为（2，0），半径为 .A项，圆是关于圆心对称的中心对称 图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直 径所在直线对称的轴对称图形，直线 y ＝0过圆心，所以本选项正 确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 x ＋3 y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对 称的轴对称图形，直线 x － y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确. 故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·莆田月考）已知圆心为 C 的圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋ 11＝0与点 A （0，－5），则（　　） A. 圆 C 的半径为2 B. 点 A 在圆 C 外 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　依题意，圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2，则圆心 C （2，－3），半径 r ＝ ，A不正确；因点 A （0，－5），则｜ AC ｜＝2 ＞ r ，点 A 在圆 C 外，B正确；因点 A 在圆 C 外，在圆 C 上任取点 P ，则｜ PA ｜≤｜ PC ｜＋｜ CA ｜＝ r ＋｜ CA ｜＝3 ，当且仅当点 P ， C ， A 共线，且 P 在线段 AC 延长线上时取 “＝”，C正确；在圆 C 上任取点 M ，则｜ MA ｜≥｜ CA ｜－｜ MC ｜＝｜ CA ｜－ r ＝ ，当且仅当点 C ， M ， A 共线，且 M 在线 段 CA 上时取“＝”，D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若直线 x ＋ y ＋ a ＝0平分圆 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋1＝0，则实数 a ＝ ⁠. 解析：根据题意，圆的方程为 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋1＝0，其圆心为 （1，－2）.因为直线 x ＋ y ＋ a ＝0平分圆 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋1＝0， 所以圆心（1，－2）在直线 x ＋ y ＋ a ＝0上，则有 a ＋1－2＝0，解 得 a ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·南平月考）长度为6的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴 和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 ⁠. x2＋ y2＝9　 解析：设 M （ x ， y ），因为△ AOB 是直角三角形，所以｜ OM ｜＝ ｜ AB ｜＝3为定值，故 M 的轨迹为以 O 为圆心，3为半径的圆，故 x2＋ y2＝9即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 过三点 O （0，0）， M （1，1）， N （4，2）的圆的方程为 ⁠ ⁠. 解析：设过三点 O （0，0）， M （1，1）， N （4，2）的圆的方程 为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），则 故所求圆的方程为 x2 ＋ y2－8 x ＋6 y ＝0. x2＋ y2－8 x ＋6 y ＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知方程 x2＋ y2－2（ t ＋3） x ＋2（1－4 t2） y ＋16 t4＋9＝0表示一 个圆. （1）求 t 的取值范围； 解： 圆的方程可化为[ x －（ t ＋3）]2＋[ y ＋（1－4 t2）]2＝1＋6 t －7 t2. 由1＋6 t －7 t2＞0，即7 t2－6 t －1＜0，得－ ＜ t ＜1. 故 t 的取值范围是（－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求该圆的圆心坐标和半径； 解： 由（1）知，圆的圆心坐标为（ t ＋3，4 t2－1）， 半径为 . （3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程. 解： r ＝ ＝ ≤ . 所以 r 的最大值为 ，此时 t ＝ ， 故此时圆的标准方程为（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 若Rt△ ACB 的斜边的两端点 A ， B 的坐标分别为（－3，0）和 （7，0），则直角顶点 C 的轨迹方程为（　　） A. x2＋ y2＝25（ y ≠0） B. x2＋ y2＝25 C. （ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0） D. （ x －2）2＋ y2＝25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　线段 AB 的中点坐标为（2，0），因为△ ACB 为直角三 角形， C 为直角顶点，所以点 C 到点（2，0）的距离为 ｜ AB ｜ ＝5，所以点 C （ x ， y ）满足 ＝5（ y ≠0），即 （ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （2024·淄博月考）若曲线 C ： x2＋ y2＋2 ax －4 ay ＋5 a2－4＝0上 所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为（　　） A. （－∞，－2） B. （－∞，－1） C. （1，＋∞） D. （2，＋∞） 解析： 　由题意得，曲线 C 的标准方程为（ x ＋ a ）2＋（ y －2 a ）2＝4，因此曲线 C 是圆心为（－ a ，2 a ），半径为2的圆.∵曲 线 C 上所有的点均在第二象限内，∴解得 a ＞2，∴ a 的取值范围是（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 已知圆 C ： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋ m ＝0与 y 轴交于 A ， B 两点，圆心 为 C . 若∠ ACB ＝ ，则实数 m ＝ ⁠. 解析：∵ x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋ m ＝0可化为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝ 5－ m ，∴圆心 C 的坐标为（2，－1），圆 C 的半径 r ＝ .由 ∠ ACB ＝ 可得△ ACB 为等腰直角三角形，∴2＝ r ，解得 r ＝2 ，∴ ＝2 ，解得 m ＝－3. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知圆心为 C 的圆经过点 A （1，1）和 B （2，－2），且圆心 C 在 直线 l ： x － y ＋1＝0上. （1）求圆 C 的方程； 解： 设点 D 为线段 AB 的中点，直线 m 为线段 AB 的垂 直平分线，则 D （ ，－ ）. 又 kAB ＝－3，所以 km ＝ ， 所以直线 m 的方程为 x －3 y －3＝0. 由得圆心 C （－3，－2）， 则半径 r ＝｜ CA ｜＝ ＝5， 所以圆 C 的方程为（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）线段 PQ 的端点 P 的坐标是（5，0），端点 Q 在圆 C 上运 动，求线段 PQ 的中点 M 的轨迹. 解： 设点 M （ x ， y ）， Q （ x0， y0）. 因为点 P 的坐标为（5，0）， 所以 又点 Q （ x0， y0）在圆 C ：（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝25 上运动， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 所以（ x0＋3）2＋（ y0＋2）2＝25， 即（2 x －5＋3）2＋（2 y ＋2）2＝25， 整理得（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝ ， 即线段 PQ 的中点 M 的轨迹为以（1，－1）为圆心，半径 为 的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 已知定点 P1（－1，0）， P2（1，0），动点 M 满足｜ MP1｜＝ ｜ MP2｜，则构成△ MP1 P2面积的最大值是（　　） 解析： 　设 M （ x ， y ），由｜ MP1｜＝ ｜ MP2｜，可得 ＝ ，化简得（ x －3）2＋ y2 ＝8，即点 M 在以（3，0）为圆心，2 ＝ ·｜ P1 P2｜·｜ yM ｜＝｜ yM ｜≤2 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·三明月考）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且 直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下 性质： ①线段 AB 的最小覆盖圆就是以 AB 为直径的圆； ②锐角△ ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线 W ： x2＋ y4＝4， A （0， t ）， B （2，0）， C （0， ）， D （－2，0）为曲线 W 上不同的四点. （1）求实数 t 的值及△ ABC 的最小覆盖圆的一般方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： 因为点 A （0， t ）在曲线 W ： x2＋ y4＝4上，所以 t4＝4，解得 t ＝－ 或 t ＝ （舍去）.所以 A （0，－ ）. 设△ ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0 （ D2＋ E2－4 F ＞0），则 所以△ ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋ y2－ x －2＝0. 易知△ ABC 是锐角三角形， 所以△ ABC 的最小覆盖圆的一般方程是 x2＋ y2－ x －2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程； 解： 因为线段 BD 的最小覆盖圆是以线段 BD 为直径的 圆，所以线段 BD 的最小覆盖圆的方程为 x2＋ y2＝4. 又因为｜ OA ｜＝｜ OC ｜＝ ＜2，所以点 A ， C 在圆内. 所以四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程是 x2＋ y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （3）求曲线 W 的最小覆盖圆的方程. 解： 因为曲线 W ： x2＋ y4＝4是中心对称图形，所以设 P （ a ， b ）（－ ≤ b ≤ ）是曲线 W 上的点. 则｜ OP ｜2＝ a2＋ b2＝－ b4＋ b2＋4＝－（ b2－ ）2＋ ，当 b2＝ 时，｜ OP ｜max＝ ，所以曲线 W 的最小覆盖圆的方 程是 x2＋ y2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $