2.4.2圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，涵盖概念、圆心半径及判断条件，结合待定系数法和几何法求方程。通过自主学习的填一填与基础练习导入，衔接圆的标准方程，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点是互动探究中一题多解（如例1的待定系数法与几何法）和轨迹问题的多种方法（定义法、代入法），培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。小结通过知识清单和方法归纳系统梳理，学生能提升问题解决能力，教师可利用结构化资源提高教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 D2＋E2－4F>0 自主学习通道 √ √ × √ C 自主学习通道 A 自主学习通道 5 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 A 互动探究通道 BD 互动探究通道 互动探究通道 2 －4 －4 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 A 巩固提升通道 A 巩固提升通道 (x－2)2＋(y＋3)2＝25 巩固提升通道 3x2＋3y2＋16x＋10y－9＝0 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2，－3) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x2＋y2＝4 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 －2 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法或几何法求圆的方程． 填一填 1．圆的一般方程的概念 当 eq \o(□,\s\up4(1)) 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为 eq \o(□,\s\up4(2)) ，半径为 eq \o(□,\s\up4(3)) ． 【提醒】　(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))). (2)当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 练一练 1．判断正误 (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆.(　　) (3)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆．(　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) 2．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心坐标及半径分别为(　　) A．(－1，0)与 eq \r(3) B．(1，0)与 eq \r(3) C．(1，0)与2 D．(－1，0)与2 解析　x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，半径r＝2. 3．若直线ax＋y＋1＝0经过圆x2＋y2＋x＋y－2＝0的圆心，则a＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析　由题知圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))， 所以－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)＋1＝0，解得a＝1. 4．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标为(3，4)，则圆的半径是 ． 解析　圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))＝(3，4)，则a＝－6，b＝－8，所以圆的半径为 eq \f(\r(a2＋b2),2)＝5. 类型一　圆的一般方程的概念　　　　　　自主探究 1．“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　x2＋y2－2x－a＝0，即(x－1)2＋y2＝a＋1表示圆，则a＋1>0，∴a>－1， a>0能推出a>－1，反之不能，故“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的充分不必要条件． 2．(多选)(2023·广西柳州联考)已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，则下列叙述正确的是 (　　) A．方程表示的是圆 B．若方程表示的是圆，则其圆心在x轴上 C．若方程表示的是圆，则其圆心在y轴上 D．当m＝0时，方程表示以(－1，0)为圆心，半径为1的圆 解析　易知D＝2，E＝0，F＝－m，由方程表示圆的条件得，D2＋E2－4F>0，即22＋02－4(－m)>0，解得m>－1，因此只有当m>－1时才表示圆，故A错误．－ eq \f(D,2)＝－1，－ eq \f(E,2)＝0，若方程表示圆，则圆心坐标为(－1，0)，圆心在x轴上，故B正确，C错误．当m＝0时，半径r＝ eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝ eq \f(1,2) eq \r(22＋02－4×0)＝1，故D正确． 3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－1，2)为圆心，3为半径的圆，则D＝ ，E＝ ，F＝ ． 解析　圆心为(－1，2)，半径为3的圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，化为一般式方程得x2＋y2＋2x－4y－4＝0，故D＝2，E＝F＝－4. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法： (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 【提醒】　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 类型二　求圆的一般方程 【例1】　已知圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 eq \r(3)，求圆的一般方程． 解　解法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，　　①,D－3E－F－10＝0.　　②)) 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　　③ 由已知得|y1－y2|＝4 eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的根， ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.　　④ 联立①②④解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.)) 故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 解法二(几何法)：由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0， ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设C(a，a－1). 又圆C的半径 r＝|CP|＝ eq \r((a－4)2＋(a＋1)2).(*) 由已知得圆C截y轴所得的线段长为4 eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|， ∴r2＝a2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2))) eq \s\up42(2)，代入(*)整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝ eq \r(13)，r2＝ eq \r(37). 故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 变式探究 (变条件)本例中，将“在y轴上截得的线段长为4 eq \r(3)”改为“在x轴上截得的线段长为4 eq \r(3)”，其他条件不变，如何求解？ 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将P，Q的坐标分别代入， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，　　①,D－3E－F－10＝0，　　②)) 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.　③ 由已知，得|x1－x2|＝4 eq \r(3)，其中x1，x2是方程③的根， ∴|x1－x2|2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝D2－4F＝48.　　④ 由①②④联立解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－8.)) 故圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－8＝0. 求圆的一般方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而整理得到圆的一般方程 待定 系数法 ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程，整理得到圆的一般方程 [跟踪训练1]　求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的一般方程． 解　解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*). 把A，B，C三点的坐标代入方程(*)， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－D＋F＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，)) 故所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0. 解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r为半径． 由题意，得线段AB的垂直平分线的方程为x＝1，线段AC的垂直平分线的方程为x＋y＝0. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝0，))得圆心为M(1，－1)，半径r＝|MA|＝ eq \r(5)， 所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0. 类型三　与圆有关的轨迹问题 【例2】　设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，O为坐标原点，以OM，ON为相邻两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程． 解　解法一(定义法)：设P(x1，y1)，由题意知|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，2为半径的圆上，即(x1＋3)2＋(y1－4)2＝4. 又因为四边形MONP为平行四边形， 所以O，M，P不共线． 当点P在直线OM上时有x1＝－ eq \f(9,5)，y1＝ eq \f(12,5)或x1＝－ eq \f(21,5)，y1＝ eq \f(28,5). 因此所求轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))). 解法二(代入法)：如图所示，设N(x0，y0)，P(x1，y1)， 则线段OP的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，\f(y1,2)))，线段MN的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))). 由于平行四边形的对角线互相平分，故 eq \f(x1,2)＝ eq \f(x0－3,2)， eq \f(y1,2)＝ eq \f(y0＋4,2)， 从而 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝x1＋3，,y0＝y1－4，))又点N(x1＋3，y1－4)在圆x2＋y2＝4上， 故(x1＋3)2＋(y1－4)2＝4. 当点P在直线OM上时，有x1＝－ eq \f(9,5)，y1＝ eq \f(12,5)或x1＝－ eq \f(21,5)，y1＝ eq \f(28,5). 因此所求轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))). 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x1，y1)随着圆上的另一动点Q(x，y)运动而运动，且x，y可用x1，y1表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程． 代入法用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可；定义法即动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程． [跟踪训练2]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解　(1)解法一(直接法)：设顶点C(x，y)，x≠3且x≠－1. 又kAC＝ eq \f(y,x＋1)，kBC＝ eq \f(y,x－3)，且kACkBC＝－1， 所以 eq \f(y,x＋1)· eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1). 解法二(直接法)：同解法一得x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1). 解法三(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝ eq \f(1,2)|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1). (2)(代入法)：设点M(x0，y0)，点C(x，y)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x0＝ eq \f(x＋3,2)，y0＝ eq \f(y,2)，于是有x＝2x0－3，y＝2y0. 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x，y代入该方程得(2x0－4)2＋(2y0)2＝4，即(x0－2)2＋y eq \o\al(2,0)＝1(x0≠3且x0≠1). 因此，动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1). 1．知识清单 (1)圆的一般方程． (2)与圆有关的轨迹问题． 2．方法归纳：直接法、配方法、待定系数法、几何法、定义法、代入法． 3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件． 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析　方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2). 2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)) 解析　方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆． 3．(2024·保定一中检测)过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为 ． 解析　将已知圆的一般方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则圆心C的坐标为(2，－3)，故所求圆的半径为r＝|CM|＝ eq \r((2＋1)2＋(－3－1)2)＝5.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 4．已知动点P到点A(4，1)的距离是到点B(－1，－1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ． 解析　设P(x，y)，则由题意可知 2 eq \r((x＋1)2＋(y＋1)2)＝ eq \r((x－4)2＋(y－1)2)，化简整理，得3x2＋3y2＋16x＋10y－9＝0. 基础巩固 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径为4. 2．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A．点 B．直线 C．线段 D．圆 解析　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆． 故选D. 3．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A．4，－6 B．－4，－6 C．－4，6 D．4，6 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)， ∴－ eq \f(D,2)＝－2，－ eq \f(E,2)＝3，∴D＝4，E＝－6. 4．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　 　) A．关于点(2，0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 解析　x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5， 即圆心的坐标为(2，0). A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确． 5．已知圆M上有三个点A(0， eq \r(3))，B(2， eq \r(3))，C(1，0)，则圆M的面积为(　　) A． eq \f(4π,3) B． eq \f(7π,9) C． eq \f(11π,9) D． eq \f(16π,9) 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＋\r(3)E＋F＝0，,4＋3＋2D＋\r(3)E＋F＝0，,1＋D＋F＝0，)) 解得D＝－2，E＝－ eq \f(4\r(3),3)，F＝1， 故圆的一般方程为x2＋y2－2x－ eq \f(4\r(3),3)y＋1＝0，化为标准方程为(x－1)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2\r(3),3))) eq \s\up42(2)＝ eq \f(4,3)， 故圆的面积S＝πr2＝ eq \f(4π,3).故选A. 6．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,4) C． eq \f(3π,4) D． eq \f(π,5) 解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2))) eq \s\up42(2)＋(y＋1)2＝1－ eq \f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为 eq \f(3π,4). 7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为 ． 解析　由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1).设B(x0，y0)，又A(0，1)，所以由中点坐标公式得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＋0＝2，,y0＋1＝－2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－3，))所以点B的坐标为(2，－3). 8．已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为 eq \f(1,2)，则点M的轨迹方程为 ． 解析　设M(x，y)，则|MA|＝ eq \r((x－1)2＋y2)，|MB|＝ eq \r((x－4)2＋y2)，故 eq \f(|MA|,|MB|)＝ eq \f(\r((x－1)2＋y2),\r((x－4)2＋y2))＝ eq \f(1,2)，两边平方并化简得x2＋y2＝4，所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝4. 9．已知方程M：x2＋y2－2ax＋2y＋2a2－2a－2＝0，直线l：x－y＋3 eq \r(6)－3＝0. (1)若方程M表示圆，求实数a的取值范围； (2)当a＝2时，P(x，y)为方程M表示曲线上的任意一个点，求P到直线l距离的最大值． 解　(1)由x2＋y2－2ax＋2y＋2a2－2a－2＝0， 得(x－a)2＋(y＋1)2＝－a2＋2a＋3. 若方程M表示圆，则－a2＋2a＋3>0，解得－1<a<3. (2)当a＝2时，M：(x－2)2＋(y＋1)2＝3表示圆心为(2，－1)，半径r＝ eq \r(3)的圆， 则圆心(2，－1)到直线l：x－y＋3 eq \r(6)－3＝0的距离d＝ eq \f(|2＋1＋3\r(6)－3|,\r(2))＝3 eq \r(3)，所以点P到直线l距离的最大值为d＋r＝3 eq \r(3)＋ eq \r(3)＝4 eq \r(3). 10．如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，所以4＝ eq \f(x0＋x,2)，3＝ eq \f(y0＋y,2)，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y eq \o\al(2,0)＝4，② 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4. 能力提升 11．一束光线从点P(－1，1)出发，经x轴反射到圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是(　　) A．4 B．5 C．3 eq \r(2)－1 D．2 eq \r(6) 解析　由题易知圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1，所以圆心为C(2，3)，半径为1，点P(－1，1)关于x轴的对称点为B(－1，－1)，所以最短距离为|BC|－r＝5－1＝4.故选A. 12．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析　由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆． ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a<－2，,2a>2，))解得a>2， ∴a的取值范围是(2，＋∞). 13．已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为 ． 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，)) 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 多元数学 14．(逻辑推理)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)，B(3，3)两点． (1)求圆C的一般方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足 eq \o(PQ,\s\up15(→))＝2 eq \o(QM,\s\up15(→))，求点Q的轨迹方程． 解　(1)由题意可知，线段AB的中点坐标为(1，2)，kAB＝ eq \f(1,2)，所以线段AB的中垂线方程为2x＋y－4＝0，它与x轴的交点为圆心C(2，0).又半径r＝|AC|＝ eq \r(10)， 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10，一般方程为x2＋y2－4x－6＝0. (2)设点P(x0，y0)，Q(x，y). 由 eq \o(PQ,\s\up15(→))＝2 eq \o(QM,\s\up15(→))，得(x－x0，y－y0)＝2(8－x，－y)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－x0＝16－2x，,y－y0＝－2y，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝3x－16，,y0＝3y.)) 又点P在圆C上，所以(x0－2)2＋y eq \o\al(2,0)＝10， 即(3x－18)2＋(3y)2＝10， 化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝ eq \f(10,9). $