2.5.1直线与圆的的位置关系（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离的判断方法及弦长计算。通过“海上生明月”诗句导入，结合前情回顾圆的方程和点与圆位置关系，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，用几何法（距离与半径比较）和代数法（判别式）培养数学思维，弦长问题结合垂径定理和公式推导体现数学语言精确性，课堂小结表格归纳提升学习效率。学生能发展直观想象与推理能力，教师可借助典型例题和系统训练优化教学。

第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 前情回顾 标准方程 一般方程 方程 代数特征 参数要求 圆心 半径 明确圆心和半径 圆的两种方程 前情回顾 位置关系 标准方程判断 一般方程判断 点在圆上 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆外 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆内 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 ＝ > < ＝ > < 点与圆的位置关系： 学 习 目 标 1 2 3 数形结合理解直线与圆的位置关系及其判断方法. 能根据直线与圆相交的位置关系求弦长. 能灵活应用公式解决有关直线与圆相交弦的最值问题. 我们一起来探究“直线与圆的位置关系”吧！ 读教材 阅读课本P91-P93，5分钟后完成下列问题： 1.直线与圆的位置关系有哪些？用什么方法判断呢？ 2.直线与圆相交时，说说可以怎么求弦长？ 新课引入 如果把月亮视为圆，海平线看作直线，它们有哪些位置关系呢？ “海上生明月，天涯共此时”，这是唐代诗人张九龄的诗句。 相交 相切 相离 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与圆的位置关系 2 相交－－弦长问题 3 题型训练 新知探究1 思考1：在直线方程的学习中，我们如何判断两条直线的位置关系？ 直线平行、垂直、重合 利用两条直线的斜率(图象)来 判断位置关系 思考2：类比直线方程，如何研究直线与圆的位置关系呢？ 利用两条直线方程组解的个数来 判断位置关系 直线与圆的位置关系 1.几何法：利用图象来判断位置关系 2.代数法：联立方程组 利用解的情况判断位置关系 新知探究1 探究1 已知直线和圆的方程，如何用与确定直线与圆的位置关系？ 直线 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 = 直线 直线 ，其中()为圆心坐标. 新知探究1 探究1 联立直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系？ 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 直线与圆有两个公共点 直线与圆有一个公共点 直线与圆没有公共点 概念 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 F1： 几何法 F2： 代数法 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 ∟ ∟ ∟ 练习巩固 练习1 判断下列各组直线与圆的位置关系： (1) ； ； (2) ； ； (3) ； . 解：(1)圆心； (2)圆心； (3)圆心. 练习巩固 练习2 已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程？ 解： 由题意得：圆心坐标(0, 0)，且与直线相切， 圆心(0, 0)到直线的距离为， 所以圆的方程为. 练习巩固 练习3 已知直线和圆心为的圆， 判断直线与圆的位置关系？ 解：方法1：圆的方程化为得圆心到直线的距离 所以直线与圆相交. 方法2：联立直线与圆的方程 ，消去，得到 解得. 方程组有两个解，故直线与圆相交. 几何法：计算量小； 代数法：可求交点. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与圆的位置关系 2 相交－－弦长问题 3 题型训练 新知探究2 探究2 当直线和圆相交时，如何求弦长？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 且平分弦所对的两条弧。 几何法：(勾股定理) 代数法：(两点间距离公式) 概念 相交－－弦长公式 相交－－弦长公式： 几何法：(勾股定理) 代数法：(两点间距离公式) 为直线斜率 练习巩固 练习1 判断直线与圆的位置关系； 如果相交，求直线被圆截得的弦长？ 解：圆心； ∴直线与圆相交，且直线被圆截得的弦长为： . 练习巩固 练习2 直线被圆 截得的弦长为( ) 解：圆的标准方程为， 圆心 到直线的距离 ， 所以弦长为 故选B. B A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 练习巩固 练习3 直线与圆相交于 两点，且 则实数 __________？ 解：由题意得圆心半径 ， 圆心到直线的距离 即，解得 . 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与圆的位置关系 2 相交－－弦长问题 3 题型训练 直线与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例1 已知直线与圆当 为何值时， (1)直线与圆有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 解：(方法1)由 得 ，则 (1)当时 ，直线与圆有两个公共点. (2)当或时 ，直线与圆只有一个公共点. (3)当或时 ，直线与圆没有公共点. 直线与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例1 已知直线与圆当 为何值时， (1)直线与圆有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 解：(方法2)由题意得圆的半径 圆心到直线 的距离 . (1)当即 时，直线与圆相交，有两个公共点. (2)当即或 时，直线与圆相切，只有一个公共点. (3)当即或 时，直线与圆相离，无公共点. 直线与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例2 若圆与直线 有公共点， 求 的取值范围？ 解： (方法1)圆的方程可化为， 则圆心的坐标为半径 ，若直线与圆有公共点， 则解得 . (方法2)联立得， 则 ，若直线与圆有公共点， 则解得 . 直线与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例3 直线与圆 当为何值时，直线与圆： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 解： 化为标准方程圆的半径为. 圆心到直线的距离为， (1)若相交，则，即，所以或； (2)若相切，则，即，所以； (3)若相离，则，即，所以. 直线与圆的弦长问题 题型2 题型探究 例4 已知圆直线 若直线被圆截得的弦长为2， 则 __________？ 解：设圆心到直线的距离为，由圆的方程得半径 直线被圆截得的弦长为 ，所以 . 因为，所以 . 直线与圆的弦长问题 题型2 题型探究 例5 过点作一条直线，直线交圆于 两点， 若，求直线 的方程？ 解：当直线的斜率不存在时，其方程为，易得； 直线 与圆两交点的坐标分别为 ， 所以 ，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 如图，取线段的中点连接，则 在 中， ， 故，即 ，得 ，直线的方程为 综上所述：故直线的方程为或 直线与圆的弦长问题 题型2 题型探究 例6 过点的直线被圆截得的弦长为， 求该直线方程？ 解：圆方程化为，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，∴2. ∴. 又直线过点， 当直线斜率不存在，则：，此时不满足，舍去. 当直线斜率存在，设的斜率为，则：，即 所以，解得或， 所以或，即或. 直线与圆的弦长问题 题型2 题型探究 例7 圆=9的弦过点(1,2)，当弦长最短时，求弦所在直线的方程？ 解：已知圆心(0,0)，当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 所以过点， 故， 即所求直线的方程即 B D A C 直线与圆的弦长问题 题型2 题型探究 例8 求直线被圆截得的弦长的取值范围？ 解：已知直线(－1,)， 当直线与过(－1,)直径垂直时， 被圆截得的弦长最短，为. 当直线 所以弦长的取值范围是. 方法总结 直线与圆的最长弦与最短弦： (1) 当过圆心时，被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为 (2) 当与直径垂直时，被圆截得的弦长最短，即为 已知直线过圆内一点： P Q A 课堂小结 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 F1： 几何法 F2： 代数法 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 ∟ ∟ ∟ 感谢聆听! $