3.1一元二次方程的概念（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及列方程，通过“笨汉持长竿进城”故事导入，结合勾股定理列出方程，对比一元一次方程引出新知，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点是以情境和问题驱动，通过城门问题、矩形挖圆等实例，引导学生用数学眼光观察现实，用数学思维推导概念（三个关键条件）和一般形式，用数学语言规范表达系数。采用问题探究和分层练习，课堂小结结构化，帮助学生建立知识体系，提升建模能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富资源。

第3章 一元二次方程 3.1 一元二次方程的概念 导入新课 笨汉持长竿进城，横竖皆被城门所阻，后依智者之言斜持而入。 已知城门高比宽多6尺，竹竿长度恰好等于城门的对角线长度，且竹竿比城门的宽多9尺。若设城门的宽为 x 尺，你能根据勾股定理列出方程吗？ 设宽为x尺，则高为(x+6)尺，竿长为(x+9)尺。 由勾股定理得： x² + (x+6)² = (x+9)²， 化简后得到方程：x² - 6x - 45 = 0 这是什么方程？ 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程（重点） 掌握一元二次方程的一般形式，能写出各项的系数（重点） 能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型（难点） 新知探究 已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.从中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，如图3.1-1所示。 思 考 若挖去的圆的半径为xcm.如何列出x应满足的方程(其中圆周率取3)? 列方程需要等量关系 原矩形的面积 - 挖去的圆面积=矩形的面积× 200150 - 3 =200×150× 你能将这个方程移项，合并同类项整理吗？ 新知探究 200150 - 3=200×150× 200150 - 3-200×150×=0 3-7500=0 观察并思考:这个方程的未知数有几个？未知数的最高次数是多少？ 移项 合并同类项 ，并整理 只含一个未知数 未知数的最高次数是2 一元二次方程 等式的左右两边都是什么代数式？ 左右两边都是整式 整式方程 新知探究 一元二次方程的概念 总结归纳 如果一个整式方程只含有一个未知数，并且经过整理后，含未知数的项的最高次数为2，那么这样的方程称为一元二次方程。 ①整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 一元二次方程 整理 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0). 一元二次方程的一般形式 三个关键条件: 新知探究 一元二次方程的一般形式： 总结归纳 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0). 二次项 一次项 常数项 a 称为二次项系数 b 称为一次项系数. 提醒：系数一定要带上前面的符号，是负数时，一定不要遗漏. 思考：为什么二次项的系数a≠0? 若 a = 0，则方程变为一元一次方程，不再是一元二次方程。 a ≠ 0是一元二次方程的必要条件 新知探究 这个一元二次方程3-7500=0的二次项的系数、一次项的系数、常数项分别是多少？ 二次项系数a是3，一次项系数b是0，常数项c是-7500. 注意：系数一定要带上前面的符号，是负数时，一定不要遗漏. 例 方程3x(1一x)十10=2(x十2)是否为一元二次方程?若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 典例分析 移项，合并同类项得 解：将原方程去括号，得 3x-3x²+10=2x+4. -3x²+x+6=0. 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6. 可以化成3x²-x-6=0吗? 根据等式的性质2，方程两边同乘-1 这时，方程的二次项系数是3，一次项系数是-1，常数项是-6. 一般情况下，将二次项系数化为正数 先化简，再判断 新知探究 做一做 若关于x的方程是一元二次方程，求常数a应满足的条件，你的结果与其他同学相同吗? 解 :移项，得 合并同类项，得， 因为这是一元二次方程， 所以≠0， 所以a≠2 进一步化简整理成一般形式，再做判断 二次项的系数a ≠ 0是一元二次方程的必要条件 ≠0 基础巩固题 新知应用 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. D ①整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 一元二次方程 整理 三个关键条件: D选项通过化简得 2x-5=0 基础巩固题 新知应用 2. 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C a≠0 化简为 x2 +x-3= 0 含两个未知数 A. B. C. D. 不是整式方程 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 基础巩固题 新知应用 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x²+2+8x=12 m²-2m+8=10 5y²+8=12 （2x+1）(x-1)=0 x²+8x-10=0 m²-2m-2=0 5y²-4=0 2x²-x-1=0 1 8 -10 1 -2 -2 5 -4 0 2 -1 -1 基础巩固题 新知应用 4. 将一元二次方程3x-x(2x-1)=9化成ax²+bx+c=0(a＞0)的形式后，一次项的系数和常数项是( ) A. 3和-10 B. -3和10 C. 4和-9 D. -4和9 D 原方程化成一般形式为 2x²-4x+9=0 基础巩固题 新知应用 5. 用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来： 2x²+5x=x²-3 一元一次方程 (x+1)²=x²+4 3x+5=2x-1 一元二次方程 分式方程 基础巩固题 新知应用 6.某商店原来平均每天可销售某水果150kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，这种水果每降价1元，那么每天可以多售出20kg，若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？设每千克降价x元，则所列的方程是（ ） A.（150+x）（7+x）=960 B. （150+20x）（7-x）=960 C. （150+20x）（7+x）=960 D. （150+x）（7+20x）=960 B 基础巩固题 新知应用 7.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)4x2=49 ; (2)5x2-2=3x ; (3)0.01t2=2t ; (4) ( 9y-1 ) ( 2y +3 )=18y2+1. 解：(1)整理得 4x2-49=0 所以该方程是一元二次方程，二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是-49. 解：(2)整理得 5x2-3x-2=0 所以该方程是一元二次方程，二次项系数是5，一次项系数是-3，常数项是-2. 基础巩固题 新知应用 解：(3)整理得 0.01t2-2t =0 所以该方程是一元二次方程，二次项系数是0.01，一次项系数是-2，常数项是0. 解：(4)整理得 25y-4=0 所以该方程不是一元二次方程. 8.已知一个数x与比它大2的数的积等于35.试根据题意列出方程，这个方程是一元二次方程吗? 基础巩固题 新知应用 解：根据题意，可以列出方程 x(x+2)=35． 化简， 整理得 x2+2x-35=0． 这个方程是一元二次方程。 能力提升题 新知应用 9. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. a≠±3 B. a=3 C. a=﹣3 D. a=±3 解析 上述关于x的方程是一元二次方程应满足的条件是 解得 a=-3，故选C. C 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解． 能力提升题 新知应用 10.方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解:（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时,是一元二次方程. （2）当a=2 且 b ≠0 时,是一元一次方程. 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中a ≠ 0是一元二次方程的必要条件 列方程 感谢聆听! $