3.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，包含定义、一般形式及模型建立，通过实例导入衔接一元一次方程知识，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架，助力学生理解“三要素”及应用要点。 其特色在于突出抽象能力与模型意识培养，以“警示误区”“特别提醒”强化概念辨析，结合低碳出行、矩形绿化等实例发展推理能力。采用“逐点导讲练”模式，学生能提升问题转化能力，教师可借助系统例题与分层练习优化教学效率。

3.1 一元二次方程的概念 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 建立一元二次方程模型 知识点 一元二次方程的定义 知1－讲 1 1. 定义：如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是 2，那么这样的方程称为一元二次方程 . 感悟新知 知1－讲 2. 一元二次方程的“三要素”： 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 作为一元二次方程， 三要素缺一不可. 未化简时方程 两边都是整式 感悟新知 感悟新知 知1－讲 警示误区 最高次数是 2 的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如： (m－2)x2＋3x－8＝0不一定是一元二次方程 . 知1－讲 3. 判断一元二次方程的步骤 感悟新知 知1－练 感悟新知 下列方程：① x2 － 2x － 1=0；② ax2+bx+c=0； ③＋ 3x － 5=0；④ 7 － x2=0；⑤(x － 1) 2+y2=0；⑥ x3 － 20=7，其中，一元二次方程有( ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 例1 知1－练 感悟新知 解：①④是一元二次方程；②未说明二次项系数不为 0；③不是整式方程；⑤含两个未知数； ⑥未知数的最高次数为 3. 解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”判断 . 答案：B 知1－练 感悟新知 1-1.下列方程中，是一元二次方程的是( ) A．+x= B． +x=7 C．-=3 D．x3+2x+1=0 C 知2－讲 知识点 一元二次方程的一般形式 2 1. 一般形式：一般地，关于x 的一元二次方程通过整理可以使右边为0，它的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c 是常数，a ≠ 0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项． 感悟新知 知2－讲 2. 特殊形式： 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2＋bx＝0(a≠0，b≠0) a b 0 ax2＋c＝0(a≠0，c≠0) a 0 c ax2＝0(a≠0) a 0 0 感悟新知 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1. 求一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时，必须先将一元二次方程化为一般形式．一元二次方程的各项系数都包含前面的符号. 2. 若已知方程是一元二次方程，则必隐含二次项系数不为零这一条件. 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P98 习题 T1 ]把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项 . (1) 3x－4=x2； (2)(10－2x)(6－2x) =32； (3)(3x＋2) 2=3x(2x－5)． 例2 思路导引： (1) 3x－4=x2 (2)( 10－2x)(6－2x) =32 知2－练 感悟新知 解：将原方程移项，得x2-3x+4=0. 其中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，-3，4. 将原方程去括号，得60-20x-12x+4x2=32，移项、合并同类项，得4x2-32x+28=0. 其中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是4，-32，28. 知2－练 感悟新知 解：将原方程去括号，得9x2+12x+4=6x2-15x，移项、合并同类项，得3x2+27x+4=0. 其中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，27，4. (3)(3x＋2) 2=3x(2x－5) 知2－练 感悟新知 2-1.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10的方程是( ) A．-8x=3x2+10 B．3x2=-8x+10 C．3x2-8x=-10 D．3x2=8x+10 D 知3－讲 知识点 建立一元二次方程的模型 3 1. 一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达. 感悟新知 知3－讲 2. 建立一元二次方程模型的一般步骤 (1)审题：认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2)设出合适的未知数：把题中的未知量用未知数或含未知数的式子表示出来； (3)找等量关系：这是列一元二次方程最关键的一步，需要根据题目中提供的信息找出能够表达应用题全部含义的等量关系； (4)列方程：根据等量关系列出方程. 感悟新知 知3－讲 方法点拨 设未知数的方法： (1)直接设未知数； (2)间接设未知数； (3)设辅助未知数. 感悟新知 知3－练 感悟新知 [情境题 低碳出行]随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽车二月份、三月份销售量平均每月增长率为x，则可列方程为(　　) A. 8 000(1+2x)=12 000 B. 8 000(1+x)2=12 000 C. 8 000+8 000(1+x)+8 000(1+x)2=12 000 D. 8 000×2(1+x)=12 000 例3 知3－练 感悟新知 解题秘方：根据“三月份销售量= 一月份销售量×(1+ 销售量平均每月增长率)2”列方程即可． 解：根据题意可得，二月份销售量为8 000(1+x)辆，三月份销售量为二月份的(1+x)倍，即 8 000(1+x)2 辆，所以可列方程为8 000(1+x)2=12 000. 答案：B 知3－练 感悟新知 3-1. 某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，第一季度共生产钢铁1 860 t.若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是( ) A．560(1+x)2=1 860 B． 560+560(1+x)+560(1+2x)=1 860 C． 560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860 D． 560+560(1+2x)2=1 860 C 感悟新知 知3－练 [ 中考·哈尔滨 ] 为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多 6 米，面积为 720 m2，设矩形空地的长为 x 米，根据题意，所列方程正确的是( ) A． x( x－6)＝ 720 B． x(x＋6)＝ 720 C． x(x－6)＝ 360 D． x( x＋6)＝ 360 例4 知3－练 感悟新知 解题秘方：紧扣几何图形中揭示的等量关系建立一元二次方程模型 . 解：根据矩形的面积 = 长 × 宽建立方程模型 . 根据题意知矩形空地的长为 x 米，则矩形空地的宽为( x－6)米，所以可列方程 x( x－6) ＝ 720. 答案：A 知3－练 感悟新知 4-1.[中考·福建] 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5m 的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示. 设矩形的一边长为xm，根据题意可列方程 ( ) A．5x2=6 B．5(1+x2)=6 C．x(5-x)=6 D．5(1+x)2=6 C 一元二次方程 一元二 次方程 一般 形式 二次项系数 一次项系数 常数项 定义 建立一元二次 方程的模型 课堂小结 题型 利用一元二次方程的定义求字母的值 1 已知关于 x 的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0. (1)当 k 取 何 值 时，此方程为一元一次方程？请求出此方程的根 . (2)当 k 取何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 . 例5 综合应用创新 解题秘方：紧扣一元一次方程和一元二次方程的定义确定参数的值 . 综合应用创新 (1)当 k 取 何 值 时，此方程为一元一次方程？请求出此方程的根 . 解：若原方程为一元一次方程， 则 k+1≠0,k2-1= 0 ，解得 k=1. 所以当 k=1 时，此方程为一元一次方程， 即 2x-2=0，解得 x=1. 二次项系数为 零，且一次项 系数不为零 综合应用创新 (2)当 k 取何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 . 解：若原方程为一元二次方程， 则应满足 k2-1 ≠0,解得 k≠±1. 所以当 k ≠±1 时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数为k2-1，一次项系数为 k+1，常数项为 -2. 二次项系数不为零 综合应用创新 方法点拨 对于关于 x 的方程 ax2+bx+c=0： (1) 当 a=0，b ≠ 0 时，它是一元一次方程 . (2) 当 a ≠ 0 时，它是一元二次方程，字母b，c 可以取任意实数 . 反之，如果明确指出方程 ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就隐含了a ≠ 0这个条件 . 综合应用创新 题型 利用一元二次方程的一般形式求字母的值 2 关于x 的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5 化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　) A．0 B．±3 C．3 D．-3 例6 综合应用创新 解题秘方：紧扣一元二次方程一般形式的特征及相关概念解答 . 解：将方程(m-3)x2+m2x=9x+5 化为一般形式为(m-3)x2+(m2-9)x-5=0.由题意得m-3 ≠ 0，m2-9=0，解得m=-3. 答案：D 综合应用创新 特别提醒 对于含有参数的一元二次方程，若二次项系数含参数，由已知条件求出参数值后，要根据二次项系数不能为零对参数值进行取舍 . 综合应用创新 易错点 忽略一元二次方程的隐含条件“a ≠ 0”而致错 1 已知关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-4)x-2=0 是一元二次方程，求m的值. 例7 综合应用创新 错解：由m2+1=2，得m=±1. 正解：因为关于x 的方程(m+1)xm2+1+(m-4)x-2=0 是一元二次方程，所以m2+1=2，m+1 ≠ 0，解得m=1. 综合应用创新 诊误区： 若已知一元二次方程求待定字母的值，需先根据未知数的最高次数是2 列方程，求解后一定要舍去使二次项系数为0 的值. 综合应用创新 考法 根据实际问题建立一元二次方程模型 1 [中考·西宁]如图3.1-1，小区物业规划在一个长60 m，宽22 m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 x m的道路，中间是宽2x m的道路． 如果阴影部分的总面积是600 m2，那么x满足的方程是(　　) A. x2-41x+180=0 B. x2-41x+225=0 C. x2-41x+30=0 D. x2-41x-270=0 例8 中考风向标 试题评析：本题考查由实际问题抽象出一元二次方 程，观察图形，将阴影部分合并成一个矩形，表示出它的长和宽，再根据它的面积建立方程. 中考风向标 解：因为矩形场地ABCD的长为60 m，宽为22 m，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m 的道路，所以停车位(阴影部分)可合成长为(60- 2x)m，宽为(22-2x)m 的矩形.根据题意，得(60-2x) (22-2x)=600.化简，得x2-41x+180=0. 答案：A 中考风向标 1. 下列方程： ①ax2+bx+c=0(a，b，c是常数)；②3x(x-4)=0； ③ x2+y-3=0； ④+x=2； ⑤x2-5x+7=0； ⑥(x-2)(x+5)=x2-1. 其中是一元二次方程的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 A 综合素养训练 2. 若关于x 的方程(m-1)x|m|+1-3x+4=0 是一元二次方程，则m的值是(　　) A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2 A 综合素养训练 3. 若关于x 的方程(a-1)x2+x-4=2a+2 中不含常数项，则a 的值是(　　) A. 1 B. -3 C. ±3 D. -1 B 综合素养训练 4. [中考·广东]广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势. 某公司工业机器人在今年5 月产值达到2 500 万元，预计7 月产值将增至9 100万元. 设该公司6，7 两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A. 2 500(1+x)2=9 100 B. 2 500(1-x)2=9 100 C. 2 500(1-2x)2=9 100 D. 2 500(1+2x)2=9 100 A 综合素养训练 5.[中考•广元]如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m， 则可列方程为( ) A.( 12-x)(10-x)=12×10× B.( 12-2x)(10-x)=12×10× C.( 12-x)(10-2x)=12×10× D.( 12-2x)(10-2x)=12×10× D 综合素养训练 6. 已知关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-2)x-1=0.当m取何值时，它是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：根据题意，得解得m=1. 故当m=1时，它是一元二次方程，方程为2x2-x-1=0，它的二次项系数是2，一次项系数是-1，常数项是-1. 综合素养训练 7. 已知x2a+b-3xa-b+1=0 是关于x 的一元二次方程，求a，b 的值.下面是两位同学的解法. 甲：根据题意，得解得乙：根据题 意，得或解得或你 认为这两位同学的解法是否正确？如果都不正确，请给出正确的解法. 综合素养训练 解：这两位同学的解法都不正确，均考虑不全面.正确的解法如下：因为关于x的方程x2a+b-3xa-b+1=0是一元二次方程， 所以或或或或解得或或或或 综合素养训练 8. [新视角 新定义题]定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0(a1，b1，c1 是常数，a1 ≠0)与a2x2+b2x+c2=0(a2，b2，c2 是常数，a2 ≠0)，若其二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2-3x+1=0 的“对称方程”. 思路：由方程2x2-3x+1=0 可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2 就能确定“对称方程”. 综合素养训练 请用以上方法解决下面的问题： (1)方程x2-4x+3=0 的“对称方程”是___________________ ； (2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1 互为“对称方 程”，求(m+n)2 的值. -x2-4x-3=0 解：对-5x2-x=1移项可得-5x2-x-1=0.因为方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0互为“对称方程”，所以m-1=-1，-n+(-1)=0，解得m=0，n=-1，所以(m+n)2=(0-1)2=1. 综合素养训练 $