2.1.2锐角的余弦（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从概念辨析到综合应用再到中考链接，梯度合理，覆盖锐角余弦全知识点，培养数学抽象、推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|余弦定义、直角三角形计算、特殊角、网格与坐标系应用|基础题型为主，如概念辨析题、直角三角形求余弦值，培养几何直观| |B组|综合应用（矩形折叠、菱形性质）|结合图形变换，如折叠问题，发展推理能力| |C组|复杂几何证明（平行四边形、角平分线）|多知识点融合，如综合证明题，提升逻辑思维| |拓展|中考真题（实际情境应用）|联系现实问题，如起重机、卫星高度，强化应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1.2锐角的余弦 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 余弦定义与概念辨析 1.C 2.C 3.B4.D5.D 题型02 直角三角形中求余弦值 1D2A3C4A56.0 7.【详解】(1)解：CD是边AB上的高， ∴.∠CDA=∠CDB=90°， AD_CD CD BD ∴.△ACD∽△CBD, .∠A=∠DCB, .∠A+∠ACD=90°， .∠DCB+∠ACD=90°，即∠ACB=90°： (2)解：由(1)证得∠ACB=90° ∴.∠ACB=∠ADC, 又，∠A=∠A, ,∴△ABCA△ACD, :4C、AB ADAC· :AC2=AB.AD, .AC=20,BD=9,AB=AD+BD, ∴.202=(AD+9)AD 解得：AD=16或AD=-25(负值舍去) 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AD+BD=16+9=25. AC204 ∴.cos∠A= AB255· 颗型03 已知余弦值求边长 1.B2.D3.D4. 185.20 6.【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=9, .AB=CD=9,∠ADE+∠CDE=90°， DE⊥AC ∴.∠ECD+∠CDE=90° ∴∠ADE=∠ECD=a, 在RIADEC中，cos∠ECD=cosa CE 3 CE 3 Dc=5即9= CE=27 根据勾股定理得：DE=VCD2-CE_36 36 在 DE=3,即5=3 t△AED 中，cosa AD 5 AD 5 AD=12 题型04 互余两个角的正弦余弦之间的有关计算 1.C 2. 5 3.354. 题型05 特殊角正余弦值计算 1.A 2. 【详解1解：-°-5-2+》 2cos30° =1-2+5+9-2x5 2 =8 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 【详解】12-V31+(π-3.14)°-2cos60° =2-5+1-2x5+4 =6-V5 颗型06 网格中的余弦有关计算 5 2.C3.B4.D5. 6.B 题型07 坐标系中的余弦有关计算 1.D2.A3.34.A5.B 题型08 非直角三角形中构造直角三角形求余弦 1. B 2.B 3.【详解】(1)解：：BA=BC=13,AC=10,∠ABC的平分线与边AC交于点F, 六BF⊥AC, 4r-40=5 在RtAABF中， BF=AB2-AF2 =12. .cos∠ABE= BF 12 AB13· (2)如图，过点E作EG⊥BD,垂足为G. B GD ,CE平分∠ACD,EF⊥AC,EG⊥BD ∴，EF=EG 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，EC=EC :.RtAEFC≌RtAEGC(HL) ∴.GC-FC=5 设EF=EG=x 在Rt△BEG中， BE2=BG2+EG2 即(12+x)2=(13+5)}2+x2 解得：x= 2 15 ·点E到直线BD的距离为2： B组 能力进阶 1.【详解】(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO,AB/1CD 点E是BC的中点， ∴.OE是△ABC的中位线. OEIIAB' .EF//AC,OE//AB, ∴.四边形AOEF是平行四边形. :AC⊥CD,AB//CD, .AC⊥AB, ∴.∠BAC=90° .四边形AOEF是矩形. (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD, .CD=16. .'AB=CD=16. 1 OE=2B=8, 4/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,矩形AOEF的面积为120， .EF-S on=15, OE :点E是BC的中点，EFIIAC 点F是AB的中点， ∴.BF=8, 在Rt△BEF中，BE=√BF2+EF2=17, .COS∠ABC= BF 8 BE17· 2.【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，AC=BD,AD∥BC, 又：AE∥BD, .四边形AEBD是平行四边形， ∴.BD=AE, .AC=AE; (2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90° .∴.AB⊥EC .AE=AC, ∴.EB=BC, .CE=12, ∴.EB=6, :cos∠E=EB3 AE5 .AE=10, 由勾股定理得：AB=V102-62=8.」 .矩形ABCD的面积为8×6=48 3.(1)∠CAB=∠ACB,.AB=CB,.ABCD是菱形.∴.AC⊥BD: A07 749 (2)在Rt△AOB中，cos∠CAB= AB8,AB=14,A0=14x7= 84 8 4915 在Rt△ABE中，CoS∠EAB= AB-14.AE-AB-16.OE-AE-AO-1644 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【详解】(1)证明：∠ABE+∠BAE=90°，∠CAD+∠BAE=90° .∠ABE=∠CAD 又∠AEB=ADC=90°， :.ABEA△ADC: (2)证明：△BEA△ADC, .AC:BA=AD:BE, 又BA=CD, ∴.CDAD=ACBE, (3)解：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ADC=90°， ∠BAC+∠CAD=90°， :BE⊥AC, .∠BAC+∠ABE=90°， ∠CAD=∠ABE, 在RACD巾，4D=25,os∠C1D= AC =cos∠1BE=2 5 ..AC=5 C组 思维拔高 1.【详解】(1)证明：AE⊥AD ∴，∠DAE=90°， ∠E=90°-∠ADE, :AD平分∠BAC, ∠BAD=)BAC BD平分∠ABC, :∠ABD=∠ABC, 2 ∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ABC+∠BAC=18O°-∠C, ADE(ABCBAC9- 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠E=90°- -cc,即 LC=2LE (2)延长AD交BC于点F. E F AB=AE ∴∠ABE=LE, :BE平分∠ABC, ∠ABE=∠EBC,∠E=∠CBE,AE∥BC, .∠AFB=∠EAD=90°， .∴△BFD∽△EAD, BF BD AE DE .BD:DE=1:2,AE=AB, Cos∠ABC= BF BD 1 AB DE 2 (3)解：△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°， △ABC中必有一个内角为90°. :∠ABC是锐角， ∠ABC≠90°， ①当∠BAC=∠DAE=90°时， :∠E=∠C 2 :△ABC与△ADE相似， 1 :∠ABC=LE=5LC, 2 :∠ABC+LC=90°， .∠ABC=30° ②当∠C=2D4B=90时，B=<C=45， .∠EDA=45°， :△ABC与△ADE相似， ∴.∠ABC=45° 7/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述， ∠ABC=30°或45° 2.【详解】(1)：四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形，AB=16,E为边AB的中点， D G E B 六∠A=∠B=∠FEC=90·∠BEC=90P-∠AEH=∠AHE,AB=C=16,AE=BE=AB=8, .△BECAAHE, BEBC AH AE' 816 AH8' 解得AH=4」 (2)如图，过点F作FM⊥AD于点M, :四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形，AB=16, M E B ∴.∠A=∠B=∠FEC=90°，∠BEC=90°-∠AEH=∠AHE,AB=BC=AD=16, .△BEC∽aAHE,FM∥AE, :.∠BCE=∠AEH=∠HFM, cos∠BCE. ∴.cos∠BCE=COs LAEH=cos∠HFM=4 BC AE FM4 CE EH FH 5' 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16_AE_FM_4 ·CE EH FH5· 解得CE=20, .BE=V202-162=12,AE=4,EH=5,FH=15,FM=12,AH=3, .M=V152-122=9,HD=AD-HM-AH=16-3-9=4, DF=VFM2+MD2=122+42=410 (3)如图，过点F作FM L AD于点M,FN⊥AB,交BA的延长线于点N, :四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形，AB=16, .∴∠A=∠B=∠FEC=90°，∠BEC=9O°-∠AEH=∠AHE=∠NFE,AB=BC=AD=16,FE=EC, ∠B=∠N=90° .四边形 是矩形， ∠BEC=∠NFE, FNAM CE=EF .AN=FM,△BEC≌△NFE, F 0 H M G E B .EN=CB=16. .w.mDH-FM+DH-EA DH(FM+EA)-DH(AN+E4)-DEEN-8DH 设AE=x,由(1)得△BEC∽△AHE, BE BC .AH AE' ,16-x_16 .AH x' 解得AH=-1x x2+x, 161 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故当x=8时，S△DEF取得最小值，且最小值为96. 拓展 链接中考 1.D2.A 10/10 分层作业 2.1.2锐角的余弦 目 录 A组 巩固过关 题型01 余弦定义与概念辨析 题型02 直角三角形中求余弦值 题型03 已知余弦值求边长 题型04 互余两个角的正弦余弦之间的有关计算 题型05 特殊角正余弦值计算 题型06 网格中的余弦有关计算 题型07 坐标系中的余弦有关计算 题型08 非直角三角形中构造直角三角形求余弦 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 余弦定义与概念辨析题型01 1.如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 3.把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍 4.如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 直角三角形中求余弦值题型02 1.（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如右图，中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 3.在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 5.在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 6.在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7.（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，是边上的高，且． (1)求的大小； (2)若，，求的余弦值． 已知余弦值求边长题型03 1.Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（     ） A． B． C． D．5 2.如图，在中，，若，则的长度为（    ） A．5 B． C．4 D．3 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（   ） A．10 B．8 C．4 D．2 4.如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 5.如图，在菱形中，，，，则该菱形的面积是____．    6.（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    互余两个角的正弦余弦之间的有关计算题型04 1.在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 3.已知锐角满足，则______． 4.比较大小：   （1）________；（2）________． 特殊角正余弦值计算题型05 1.在中，，，则的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2.计算：． 3.计算： 网格中的余弦有关计算题型06 1.如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_________． 2.如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（  ） A． B．1 C． D． 3.（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D．1 4.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（       ） A． B． C． D． 5.在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为___________． 6.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（　　） A． B． C． D． 坐标系中的余弦有关计算题型07 1.（23-24九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，点在轴正半轴上，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2.如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα＝（　　） A．x B．y C． D． 3.如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是______．    4.如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是(　　) A． B． C． D． 5.如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）       A． B． C． D． 非直角三角形中构造直角三角形求余弦题型08 1.（2025·湖南永州·模拟预测）如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 2.在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 3.（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，中，，，的平分线与边交于点F，与外角的平分线交于点E． (1)求的值； (2)求点E到直线的距离． 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，，点E是BC的中点，过点E作，交AB于点F． (1)求证：四边形AOEF是矩形； (2)若，矩形AOEF的面积为120，请直接写出的值． 2.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E． (1)求证：AE=AC； (2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面积． 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长． 4.在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．    (1)求证； (2)求证： (3)若，，求的长． 1.（25-26九年级上·湖南·期末）如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)如图2，如果，且，求的值． (3)如果是锐角，且与相似，求的度数． 2.如图，E为正方形中边上的一个动点，，以为边画正方形与边交于点． (1)当为边的中点时，求的长； (2)当时，连接，求的长； (3)连接，，求面积的最小值． 1．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1.2锐角的余弦 目 录 A组 巩固过关 题型01 余弦定义与概念辨析 题型02 直角三角形中求余弦值 题型03 已知余弦值求边长 题型04 互余两个角的正弦余弦之间的有关计算 题型05 特殊角正余弦值计算 题型06 网格中的余弦有关计算 题型07 坐标系中的余弦有关计算 题型08 非直角三角形中构造直角三角形求余弦 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 余弦定义与概念辨析题型01 1.如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2.如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 3.把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 4.如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 5.（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 直角三角形中求余弦值题型02 1.（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如右图，中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：中，， ∴， 故选：D． 2.（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，余弦值的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 根据题意运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 3.在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 4.（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 5.在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 6.在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求角的余弦值．根据余弦值的定义邻边比斜边，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：①当为直角边时， ∵， ∴， ∴； ②当为斜边时， ∵， ∴， ∴． 综上：或； 故选C． 7.（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，是边上的高，且． (1)求的大小； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求角的余弦值，熟知相关三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，得到，根据，得到，即； （2）证明，得到即，得到，则，再根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：是边上的高， ∴， ∴， ， ，即； （2）解：由（1）证得， ∴， 又∵， ， ， ， ，，， ， 解得：或（负值舍去） ， ． 已知余弦值求边长题型03 1.Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（     ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据三角函数可求出AC长． 【详解】解：∵∠C=90°，若AB=4， ∴cosA=，即， AC=， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的计算，解题关键是理解余弦的意义，熟练进行计算． 2.如图，在中，，若，则的长度为（    ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据余弦的定义可求出的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：，， ，即， ， 故选：D． 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（   ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由垂直平分线的性质可得BD=AD，可得AC=12x，由AC＝12即可求x，进而求出BC； 【详解】∵∠C＝90°，cos∠BDC＝， 设CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝2x， ∵AB的垂直平分线EF交AC于点D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝2； 故选D. 【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键. 4.如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，在菱形中，，，，则该菱形的面积是____．    【答案】20 【分析】根据∠A的余弦设AE＝3x，AD＝5x，根据菱形的四条边都相等列式求出x的值，从而得到AE、AD的值，再利用勾股定理求出DE，然后根据菱形的面积等于底乘以高列式计算即可得解． 【详解】∵DE⊥AB，cosA＝， ∴设AE＝3x，AD＝5x， ∵BE＝2， ∴菱形的边AB＝3x＋2＝5x， 解得x＝1， ∴AE＝3，AD＝5， 在Rt△ADE中，DE＝＝＝4， ∴该菱形的面积＝AB•DE＝5×4＝20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE＝3x，AD＝5x使求解更加简便． 6.（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 互余两个角的正弦余弦之间的有关计算题型04 1.在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可． 【详解】解：由已知，， ∵ ∴ ∵∠C=90° ∴=45° 故选：C 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA＝＝， ∴cosB＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键． 3.已知锐角满足，则______． 【答案】35 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 4.比较大小：   （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 特殊角正余弦值计算题型05 1.在中，，，则的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义，得出，再根据特殊角的三角函数值，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数的定义，解答本题的关键是根据题意做出图形，利用特殊角的三角函数值求解． 2.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，特殊三角函数值，解题的关键是掌握相应的计算法则进行求值后，再合并． 【详解】解： ． 3.计算： 【答案】 【分析】根据去绝对值、锐角三角函数及幂运算的方法计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了去绝对值、锐角三角函数及幂运算，计算关键是掌握去绝对值的方法、零指数幂和负指数幂的运算、熟记三角函数值． 网格中的余弦有关计算题型06 1.如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_________． 【答案】 【分析】找到格点，连接、，可知为直角三角形，根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：找到格点，连接、，如图 由题意可得为直角三角形，， 则 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 2.如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（  ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，从而求解. 【详解】解：连接BC， 由勾股定理可得：AB=，BC=，AC=， ∵ ∴△ABC是直角三角形， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键． 3.（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是求解锐角三角函数值，取格点，连接，证明，再利用锐角的余弦含义求解即可． 【详解】解：取格点，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 4.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形得出AD的长，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D， ∴DC=1，AD=3， ∴AC=， ∴cos∠ACB=， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义． 5.在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，连接，证明，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 6.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点D，作于点E，把、表示出来，根据三角函数求值即可． 【详解】 解：如图，作于点D，作于点E， 由已知可得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法2：由已知可得， ， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键． 坐标系中的余弦有关计算题型07 1.（23-24九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，点在轴正半轴上，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，勾股定理，先根据点的坐标得出，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 2.如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα＝（　　） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据余弦函数的定义即可得出结论． 【详解】如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ=x，PQ=y，OP=1，∴cosα==x． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握余弦函数的定义． 3.如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是______．    【答案】3 【分析】作轴于，根据，求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】如图，作轴于．    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标，余弦，勾股定理等知识．解题的关键在于求出的值． 4.如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵在中，当时，；当时，解得； ∴点A、B的坐标分别为（-4，0）和（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 又∵∠AOB=90°， ∴AB=， ∴cos∠BAO=． 故选A． 5.如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）       A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作PA⊥x轴于A，利用求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标. 【详解】过点P作PA⊥x轴于A， ∵， ∴， ∴=4， ∵点在第二象限， ∴点P的坐标是（-3,4） 故选：B. 【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点. 非直角三角形中构造直角三角形求余弦题型08 1.（2025·湖南永州·模拟预测）如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．过作，交延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【详解】解：过作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2.在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3.（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，中，，，的平分线与边交于点F，与外角的平分线交于点E． (1)求的值； (2)求点E到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一定理可知，，即可利用勾股定理求出，则； （2）过点作，垂足为，由角平分线性质可得，进而可得，可知，设，在中，由，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，的平分线与边交于点， ∴，． 在中， ． ∴． （2）如图，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴． 又∵ ∴ ∴． 设 在中， 即 解得： ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟知三线合一定理是解题的关键． 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，，点E是BC的中点，过点E作，交AB于点F． (1)求证：四边形AOEF是矩形； (2)若，矩形AOEF的面积为120，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的面积得出，再由勾股定理求出的长度，根据余弦的定义求解即可，． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 点是的中点， 是的中位线． ，． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， ． 四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形AOEF的面积为120， ∴， ∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴, 在中，, ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、余弦的定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 2.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E． (1)求证：AE=AC； (2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形ABCD的面积为48 【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，ADBC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论； （2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长,最后求得面积即可． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC， 又∵， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴BD=AE， ∴ AC=AE； （2）解：在矩形ABCD中， ∴AB⊥EC， ∵AE=AC， ∴EB=BC， ∵CE=12， ∴EB=6， ∵， ∴AE=10， 由勾股定理得：． ∴矩形ABCD的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段． 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】试题分析：本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识，解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大．(1)、根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；(2)、分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可． 试题解析：（1）∵∠CAB=∠ACB， ∴AB=CB，  ∴▱ABCD是菱形． ∴AC⊥BD； （2）在Rt△AOB中，cos∠CAB==，AB=14， ∴AO=14×=， 在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14， ∴AE=AB=16， ∴OE=AE﹣AO=16﹣=． 考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形 4.在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．    (1)求证； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 又， ； (2)证明：， ：：， 又， ； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件可得，，即可得证； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，根据，即可得证； （3）根据矩形的性质以及已知条件，得出∠CAD=∠ABE，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，余弦的定义，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 1.（25-26九年级上·湖南·期末）如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)如图2，如果，且，求的值． (3)如果是锐角，且与相似，求的度数． 【答案】(1) 证明： ， ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ，， ， ，即 ． (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线相关计算，三角形内角和，三角形相似的判定和性质； （1）根据角平分线的性质，三角形内角和，计算即可； （2）延长 交 于点 ．证，根据相似的性质计算即可； （3）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）略 （2）延长 交 于点 ． ， ， 平分 ， ，，， ， ， ， ，， ． （3）解：与相似， ， 中必有一个内角为 ． 是锐角， ． ①当 时， ， 与相似， ， ， ． ② 当 时， ， ， 与相似 ， ． 综上所述， 或 ． 2.如图，E为正方形中边上的一个动点，，以为边画正方形与边交于点． (1)当为边的中点时，求的长； (2)当时，连接，求的长； (3)连接，，求面积的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)96 【分析】(1)证明列比例计算即可． (2)过点F作于点M，利用三角函数，勾股定理计算即可． (3)过点F作于点M，，交的延长线于点N，易证四边形是矩形，，根据，设，根据计算出，运用二次函数的最值思想计算即可． 【详解】（1）∵四边形，四边形都是正方形， ，为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）如图，过点F作于点M， ∵四边形，四边形都是正方形， ， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得, ∴，，，，，， ∴，， ∴． （3）如图，过点F作于点M，，交的延长线于点N， ∵四边形，四边形都是正方形， ， ∴，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵ =， 设，由(1)得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故当时，取得最小值，且最小值为96． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数值的应用，三角形全等的判定性质，三角形相似的判定和性质，构造二次函数模型求最值，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角函数，准确构造二次函数求最值是解题的关键． 1．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案. 【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：D. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念. 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $