2.1.1锐角的正弦（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以分层设计为核心，通过基础巩固、能力进阶、思维拔高及中考链接的梯度路径，系统覆盖锐角正弦的概念辨析、计算应用及综合探究，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|正弦定义与概念辨析、直角三角形正弦计算、特殊角正弦值、网格与坐标系中正弦计算|基础题型为主，如定义辨析题（题型01）、直角三角形正弦计算（题型02），强调概念理解与基本运算，适配新授课基础巩固| |B组能力进阶|几何图形综合应用（矩形、平行四边形中正弦计算）|结合矩形性质求正弦等综合题，培养模型意识与推理能力，衔接课时提升目标| |C组思维拔高|旋转问题、三角形边角关系探究|探究性问题（如旋转后正弦值计算），发展创新意识与批判性思维，适合学优生拓展| |拓展链接中考|中考真题（网格正弦、实际情境应用）|中考真题再现（如天桥坡度问题），强化应用意识与应试能力，对接阶段测评|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1.1锐角的正弦 目录 A组巩固过关 题型01正弦定义与概念辨析 题型02直角三角形中求正弦值 题型03已知正弦值求边长 题型04特殊角正弦值计算 题型05网格中的正弦有关计算 题型06坐标系中的正弦有关计算 题型07非直角三角形中构造直角三角形求正弦 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 正弦定义与概念辨析 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，则sinA等于() AB C. AB D.BC 2在Rt△ABC中，∠C=90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值() 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3 C.不变 D.不能确定 1 3.在Rt△ABC,∠4CB=90°，若。ABC的三边都缩小到原来的5，则sin∠BAC的值（） A.放大5倍 B.缩小到原来的5 C.不变 D.无法确定 4.已知0为锐角，则sina的值不可能为() A.月 1 C.3 D.2 5.若sina<sinp,则锐角a 锐角B(填>、<或=). 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值不等于sinA的是 () D CD BD CD A. AC B.BC C.AB D. BC 题型02 直角三角形中求正弦值 1.(25-26九年级上湖南岳阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则sinB的值是 () B A.3 B.5 D. 2.如图，△ABC中，AB=25,BC=7,CA=24.则sinB的值为() 24 7 25 B 7 A.25 24 4 B.25 C. D.7 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.己知AC=V5,BC=2,那么sin∠4CD D B 4.(25-26九年级上湖南长沙阶段检测)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90,4C=3,BC=4,求 sin∠A和sin/B的值. 题型03 已知正弦值求边长 1(2425九年级上湖南衡阳期末)在。MBC中，∠C=90,BC-2sin1 =3,则边4B的长是（) A.2 B.13 C.3 D.5 23-24九年级上湖南衡阳期末)在A4BC中，∠ABC=90°·若4C=0,si咖4 5,则B的长是 () 6 50 A.5 B.3 C.6 D.8 3如图，在AABC中，AB=AC=5,sinB=4 =5,则BC的长是 B 4.(25-26九年级下湖南长沙期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分 别交BA'BC于点E”F再分别以E'F为圆心，大于2EF的长度为半径画弧，两弧交于点p,连接 BP并延长交AC于点D,过点D作DG⊥AB 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G D (1)若∠A=40°，求∠BDC的度数： (2)若sinA= 5,CD=3,求AC的长. 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的中点，DE⊥AB,AD=2DE. D B (1)求sinB的值； (2)若CD=V5,求CE的值. 题型04 特殊角正弦值计算 1.计算： s+ 2sin45°= V⑧ 2.计算： -2sin30°= 3计算：2s60-1--(a+2+( 4计第(-2-2sm30+7+( 5.计算：V1⑧-6sin45°+2026 4111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 网格中的正弦有关计算 1在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是() B.2 5 c36 5 . 2如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上，则sinB的值为() A 2V13 8.3f3 13 13 c 。9 3.如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为l,若点AB、C都在格点上，则s血B的值为() B A.v5 5 80 5 0 2 4.如图，每个小正方形的这长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于 B 5.如图是5×4的网格，每个格子都为正方形.点A,B,C,D,B均为格点，线段AB,CE交于点O.则 sin∠BOE= 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上， 则sin∠ABC的值为. A B 7.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在5×5 的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，则S△ABc= -;sin∠ACB= C B 8.(23-24九年级下湖南湘潭自主招生)如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格 点上，则∠ACB的正弦值是() B A. 10 B c.3 D 6v13 10 65 65 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型06 坐标系中的正弦有关计算 1.(24-25九年级上湖南湘潭阶段检测)在平面直角坐标系中点P(⑧，6)，连接0P,若0P与x轴正半轴夹 角为a,则sinc的值为() ♪P(8,6) 了a 5 A.3 B.4 2.如图，在平面直角坐标系中，己知点B的坐标为(-3,4)，射线0B与y轴正半轴的夹角为a,则sina的值 为 3.在平面直角坐标系中，己知点A(3,0)和B(0,-4),则sinL0AB= 4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△ODE关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E),若 AB⊥x轴，点D的坐标为(-2，-)，则sinA的值为() B 25 A. B.2 D. 5 题型07 非直角三角形中构造直角三角形求正弦 1.如图，AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高，BE=4,BC=6,则sin∠DAC= 7111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 2.如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2,则△ABC的面积是 B22.5° 45C 3.在△ABC中，∠A=30°，c=6,a=4. B (1)求sinC的值： (2)求△ABC的面积. B组 能力进阶 1如图，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB,CD的延长线交于点E,F D E (1)求证：四边形AECF是平行四边形： 2)若AC⊥EF, sin∠FAD=号，CD=2求EF的长. 2.(25-26九年级上湖南衡阳期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，连接 AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F,连接AF, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F B E C (1)求证：△ABE∽△ECF (2)求∠DAF的正弦值. 3.(2025湖南长沙模拟预测)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AO=BO B E (1)求证：ABCD是矩形： (2)点E在BC边上，满足CE=CO.若AB=6,BC=8,求BE的长及sin∠CEO的值. 4.(2025湖南长沙二模)如图，己知四边形ABCD是平行四边形，对角线4C与BD相交于点F,且BD平 分∠ABC,过点D作DE‖AC,交BC的延长线于点E. H (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由： (2)若CF=5,CD=13,求△BDE的面积及sinE的值. 5.如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点. (1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明； (2在(1)的条件下，己知AB=2,求sin∠BAP的值. 9111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应 点D落在边AB上，连接BE. B C (1)求证：△ACDABCE: (2)求证：∠EBD=90°： (3)直接写出sin∠BED的值. 2如图1，在R△BC中，a:6:c分别是角4：gC的对边，探案品与品6的关系：c=品 a sinA b a b ,C =sinB’·sin sinB· B 图1 图2 图3 a b C (1)根据以上三角函数知识的探索，在图2锐角三角形中，探索sinA,sinB,sinC之间的关系，并写出探 索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 拓展 链接中考 1.(2025江苏常州中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则sinB的值是 () 10/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A.5 2.(2025广东深圳中考真题)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则 sinA的值为() B 22 B.3 3 3.(2025江苏南通中考真题)如图，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线，把 网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为 B 4.(2025四川乐山中考真题)计算：-3+V25-2sin30°， 11/11 分层作业 2.1.1锐角的正弦 目 录 A组 巩固过关 题型01 正弦定义与概念辨析 题型02 直角三角形中求正弦值 题型03 已知正弦值求边长 题型04 特殊角正弦值计算 题型05 网格中的正弦有关计算 题型06 坐标系中的正弦有关计算 题型07 非直角三角形中构造直角三角形求正弦 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 正弦定义与概念辨析题型01 1.如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 2.在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． 3.在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，，锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比值， ∵的三边都缩小到原来的， ∴的对边与斜边的比值不变， ∴的值不变． 故选：C． 4.已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选D． 5.若，则锐角__________锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 6.如图，在中，，若CD是斜边AB上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据所给条件，结合正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：A、在中，，不符合题意； B、 ， ，不符合题意； C、在中，，不符合题意； D、在中， ，符合题意； 故选：D． 直角三角形中求正弦值题型02 1.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值．根据锐角三角函数正弦=，代入数据求值即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：D. 2.如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，确定，再根据正弦函数的定义进行计算即可. 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， . 3.如图，在中，，于点D．已知，,那么=___________ 【答案】 【分析】根据勾股定理可求出斜边长．易证∠ACD=∠B，sinB=． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AB2=AC2+BC2，∴AB=3． ∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B． ∴sin∠ACD=sinB==． 【点睛】考查三角函数的定义及灵活进行等量转换的能力． 4.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：如图，在中，，求和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得， 在中，，． 已知正弦值求边长题型03 1.（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，则边的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键．根据求出即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：C． 2.（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）在中，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦是解题的关键． 如图，由题意知，，求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， 故选：D． 3.如图，在中，，则的长是________． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：6． 4.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的度数，再根据角平分线的尺规作图可得是的角平分线，进而可得的度数，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）先根据角平分线的性质定理可得，再解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由题意得：是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵是的角平分线，，且， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 5.在中，为边上的中点，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意证出，进而设出和的值，再结合勾股定理求出的值即可得出答案； （2）根据斜中定理求出和的值，结合和的值求出和的值，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴. 又∵， ∴. 设，则. 在中， ， 则. （2）解：∵为斜边上的中点， ∴， ∴. 则， ， ∴. 特殊角正弦值计算题型04 1.计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 2.计算：___________． 【答案】1 【详解】解： ． 3.计算： 【答案】 【详解】解： ． 4.计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5.计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 网格中的正弦有关计算题型05 1.在下列网格中，小正方形的边长为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据勾股定理求出，进而根据正弦的定义进行分析解答即可． 【详解】解：如图，利用网格以为斜边构建， 由网格可知，， 由勾股定理得， ∴． 2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 3.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 4.如图，每个小正方形的这长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的值等于__________．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，连接，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出及的长，利用勾股定理的逆定理得出为等腰直角三角形，可得出，利用特殊角的三角函数值即可求出的值． 【详解】解：连接，设小正方形的边长为1，    根据勾股定理可以得到：． ∵． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 则． 故答案为：． 5.如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则__________． 【答案】/ 【分析】本题考查锐角三角函数、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，通过平行线的性质将转化成，再构造直角三角形是解题的关键． 根据“两条直线平行，同位角相等”得出，再连接，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：由题可得，， ∴， 连接，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正弦函数的计算，如图，连接，得，从而得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则______________；______________． 【答案】 4 / 【分析】由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过作于，用面积法可求的长，在中可得； 【详解】解：过作于，如图：    由图可得： ， ，， ， ， ， 故答案为：4，； 【点睛】本题考查勾股定理，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握勾股定理，三角形面积，求锐角三角函数． 8.（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，用勾股定理先求出，的长，利用面积法求出的长，由即可得． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ． 坐标系中的正弦有关计算题型06 1.（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段检测）在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：C． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答． 【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 3.在平面直角坐标系中，已知点和，则__________ 【答案】 【分析】根据点与点的坐标可得，的长度，利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数中正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可知，，， 则， 故在中，． 4.如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的性质以及锐角三角函数求解． 【详解】解：∵轴， ∴， ∵与关于原点O位似， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴． 非直角三角形中构造直角三角形求正弦题型07 1.如图，，分别是中，边上的高，，，则__________________． 【答案】 【分析】先证明，勾股定理得出，再根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：，分别是中，边上的高， ， ，， ， ，，， ∴， ， ． 2.如图，在中，，若，则的面积是________________． 【答案】/ 【分析】添加辅助线，构造等腰直角三角形，先求解的长度，再求解的长度，结合三角形的面积公式求解即可 【详解】解：过点作于点，过点作于点，交于，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 3.在中，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含30度的直角三角形，三角函数，勾股定理，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点D，先求出，则，即可解答； （2）根据勾股定理，求出，得到，则，即可解． 【详解】（1）解：过点B作于点D，如图， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 1.如图，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线分别与，的延长线交于点E，F．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据即可证明结论； （2）先证明是菱形，得出，根据三角函数定义得出，得出，即，得出，求出，，根据勾股定理得出，，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴是菱形， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在矩形中，，E是边的中点，连接，过点作交于点，连接．    (1)求证：． (2)求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，勾股定理，三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在矩形中，，因为，所以，故，则可证明； （2）由得，而是边的中点，所以，可求，进而可求，由勾股定理得，则的正弦值可求． 【详解】（1）解：在矩形中， ， ； （2）解：， 而是边的中点， ， ∴， ， ∴ 由勾股定理得， ∴ 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再结合，得，即可作答． （2）先由勾股定理算出，运用两组角相等证明，再分别求出，，运用勾股定理算出，再结合正弦的性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4.（2025·湖南长沙·二模）如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积及的值． 【答案】(1) 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (2)的面积为120， 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，所以四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，所以，则，，再证明四边形是平行四边形，则，因为，即可得出面积，根据勾股定理得出，即可得出的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为120． ∴． 5.如图，四边形是正方形， E是的中点，P是边上的一点．    (1)给出一个条件，使得与相似并写出证明； (2)在（1）的条件下，已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，因此只需要条件一组对应角相等即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质求出，进而利用勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：条件是（不唯一） 证明：∵四边形是正方形， ， （2）解：∵E是的中点，四边形是正方形， ∴， ∵ ∴，即， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，正方形的性质，添加条件证明三角形相似，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 1.如图，已知在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的性质、求角的正弦值以及勾股定理，利用旋转得到对应边、对应角相等是解题的关键． （1）首先根据旋转的性质得到对应边成比例，再证明两个边的夹角相等，即可证明； （2）由得到，据此求得； （2）利用勾股定理求得，由旋转的性质知，，作于点，利用等积法求得，利用勾股定理求得，，根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，，，， ∴， 由旋转的性质知，， 作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2.如图，在中，， ，分别是角，，的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【答案】(1)，理由见解析 (2)==，理由见解析 【分析】（1）过作，，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，两者相等即可得证． （2），过作交的延长线于点，过点作于点，同（1）的方法分别表示出，即可求解． 【详解】（1），理由如下， 如图，过作，， 在中，，即， 在中，，即， ∴=，即=， 同理可得=， 则==．    （2）==． 解：如图所示，过作交的延长线于点，过点作于点，    ∵， ∴ ∵ 即， ∴ ∴==． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 3.（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 4.（2025·四川乐山·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1.1锐角的正弦 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 正弦定义与概念辨析 1.C 2.C 3.C4.D5.<6.D 题型02 直角三角形中求正弦值 1.D2.B3. 5 3 4.【详解】解：由4C=3,BC=4, 根据勾股定理，得AB=VAC2+BC2=5, 在Rt△ABC中，sin∠A= 1s=5,sim∠B=4C=3 AB 5 题型03 已知正弦值求边长 1.C2.D3.6 4.详解】(1)解：，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°， :∠ABC=90°-∠A=50°」 由题意得：BD是∠ABC的角平分线， &∠ABD上)ZABC=25 ∴∠BDC=∠ABD+∠A=65° (2)解：∠C=90°， ∴AC⊥CB 又：BD是∠ABC的角平分线，DG⊥AB,且CD=3, ..DG=CD=3, 1/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RADG中，sinA= 5 DG 3 AD5' :4AD=DG=5, 3 .AC=AD+CD=5+3=8 5.【详解】(1)解：：DE⊥AB, ∴.∠ACB=∠ADE=90° 又，∠A=∠A, ∴.∠B=∠AED=90°-∠A 设DE=x,则AD=2DE=2x 在R1AADE中，AE=VAD2+DE2=5x, 则simB=sin∠AED=AD=2x_25 AE5x 5 (2)解：：D为Rt△ABC斜边AB上的中点， .AD=BD=CD=5. .AB=25 AE= AD 55 则4C=4B-sin B=25x25 =4 sin∠AED252, 5 ∴.CE=AC-AE=4- 53 22 颗型04 特殊角正弦值计算 1.3+2V22.1 3.【详解1解：2sn60-巾--红+万+（到 =25-5-小-14g =V5-√5+1-1+9 =9 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4【详解】解：(a-2-2sn30+27+ =1-2×2+35+(-2) =1-1+35-2 =33-2, 5.【详解】解：√i⑧-6sin45°+2026 =3-6x21 2 =3√2-3v2+1 =1 题型05 网格中的正弦有关计算 1.A2. 77.4 255&0 5 颗型06 坐标系中的正弦有关计算 4 1.C2. 3 3.5 4.D 颗型07 非直角三角形中构造直角三角形求正弦 522+5/5+2 3.【【详解】(1)解：过点B作BD⊥AC于点D,如图， B .∠ADB=∠BDC=90° ,∠A=30°，AB=c=6,BC=a=4. 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BD-14B-3, .sinC=BD 3 BC4: (2)解：：∠ADB=∠BDC=90°， AD=VAB2-BD2=V62-32=3N3,CD=VBC2-BD2=V42-32=7, AC=AD+CD=33+7, ∴5x8D-4c=x3x35+万)- 9√3+3√7 2 B组 能力进阶 1.【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,AO=CO, .∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO, ·.△AOE≌aCOF(AAS) ..EO=FO, ,A0=C0, ∴.四边形AECF是平行四边形： (2)解：，AC⊥EF, ∴AECF是菱形， 'AF=FC, ,在矩形ABCD中∠ADC=90°， .∠ADF=180°-90°=90°， m∠aD-8E-5 .AF =3DF, ..CF =3DF, ..CD=2DF, CD=2, ∴.FD=1,AF=CF=3, AD2=AF2-FD2=32-12=8, 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=AD2+CD=V8+2=25, 0-号c=v5 ÷0F=VAF2-A0=32-(5=6, .EF=20F=2√6 2.【详解】(1)解：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90° ·EF⊥AE, .∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90° ∴，∠BAE=∠FEC AABES△ECF: (2)解：△ABEAECF, BABE EC FC 而E是BC边的中点， ∴BE=EC=3, 43 3FC' c- DF=4-97 44 ∴sin∠DAF= DF T AF 25 3.【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， ·A0=OC,B0=OD .AO=BO. .AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形： (2)解：AB=6,BC=8,四边形ABCD是矩形 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AC=AB2+BC2 =10, .0C=5, .CE=CO. CE=5, .BE=BC-CE=3; 过点O作OF⊥BC,如图所示： A D B EF C :∠ABC=∠OFC=90°，∠ACB=∠ACB. ∴.△ABCP△OFC, OF OC CF 1 ·AB AC BC2: ∴.OF=3,CF=4, ∴.EF=1, 在Rt△OEF中，OE=√EF2+OF2=√10， sin∠CEO= OF 3 310 0E√1010 4. 【详解】(1)四边形ABCD是菱形，理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， .ADlBC, ∠ADB=∠CBD, ,BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD ∴.∠ADB=∠ABD, .'.AB AD, :四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD, 四边形ABCD是菱形. (2)解：，四边形ABCD是菱形，CF=5,CD=13, 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC⊥BD,AF=CF=5, ∴.∠CFD=∠BFC=90° .BF=DF=VCD2-CF2=V132-52=12, 、AC=2CF=2×5=10,BD=2DF=2x12=24, .DEl AC.DAI CE ,.四边形ACED是平行四边形， .DE=AC=10. ,∠BDE=∠BFC=90°， ∴.BE=√DE2+BD2=V102+242=26, :Se=)BD.DE=)×24×10=120, ∴，△BDE的面积为120 .'sin= BD2412 BE2613· 5.【详解】(1)解：条件是∠APB=∠EPC(不唯一) 证明：四边形ABCD是正方形， .∠B=∠C=90° ∠APB=∠EPC, ∴△ABPP△ECP (2)解：E是CD的中点，四边形ABCD是正方形， :△ABP∽AECP BP AB BP 2 ·CP=CE,即2-BP=i .BP=3 4 AP=VAB2+Bp=2国 3 ÷sin∠BAP= BP2√13 Ap=13 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.【详解】(1)证明：：将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在AB上， .AC=CD,CB=CE,∠ACB=∠DCE, AC CD ·CBCE' :∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD. .∠ACD=∠BCE, △ACDABCE; (2) 证明：，△ACDABCE, ∴.LCAD=LCBE, ,∠ACB=90° ∴.∠CAB+∠ABC=∠CBE+∠ABC=90°， ∴.∠EBD=90°： (3)解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=V32+42=5, 由旋转的性质知AC=CD=3,DE=AB=5, 作CF⊥AB于点F, D C 5.Ac=ABxCF-ACx BC. CF=3×412 55 rac-cr-得-多 ,AC=CD,CF⊥AB 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4D=2AF=18 BD=AB-AD=5-18-7 5=5 7 ·sin∠BED=BD-三-2 DE525 ab c 2.【详解】(1) sinA-sinB=sinC,理由如下， 如图，过A作AD⊥BC,BE⊥AC, AD 在RtABD中，sin∠ABC=。,即AD=c-Sin∠ABC, AD 在Rta4DC中，sinC=b,即AD=b.sinC: ∴.csin∠ABC=b-sinC, b C b c sin∠ABC=sinc,即sinBsinC, a 同理可得sinsinC, a b 则sindsinB sinC a bE b (2) sin∠BACsin(180°-∠ABC)sinc 解：如图所示，过A作AD⊥BC交CB的延长线于点D,过点B作BE⊥AC于点E, D B图3 ,AD=csin∠ADB=b.sinC, 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c 6 ·sinC sin(180°-∠ABC) BE=AB·sin∠BAC=BC.sinC 即csin∠BAC=a:sinC, a sin A sin C b a sin∠BAC sin(180°-∠ABC)F。 sinC 拓展 链接中考 1.c2.D36-2 4 4.【详解】解：-3+V25-2sin30° =345-2对 =3+5-1 =7 10110