精品解析：黑龙江哈尔滨德强高级中学2026-2027学年高三上学期开学验收数学试卷

哈尔滨德强高级中学2026～2027学年度上学期开学验收 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， ， 得， 得 2. 设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D. 【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 4. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正余弦定理进行边角转化得到角的余弦值，结合锐角三角形，求出角的大小，以及角或角的取值范围；根据边和角，结合正弦定理将，表示为对应角的正弦函数，将周长转化为关于角或角的三角函数，结合三角函数的单调性即可求出周长的取值范围. 【详解】在中，，得. 由正弦定理得，； 由余弦定理得，； ，得. 是锐角三角形，，得； ，解得. ，，由正弦定理得； ，. . ，； ，得，即. ，即周长的取值范围为. 5. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可. 【详解】函数，向右平移个单位长度，得， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到， 令， 得， 所以， 若函数在上没有零点， 则需， 所以， 所以， 若函数在上有零点， 则， 当k=0时，得，解得， 当k=1时，得，解得， 综上：函数在上有零点时，或， 所以函数在上没有零点，. 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【详解】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，，所以只需在上恒成立， 即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中， 故， 所以此时有． 综上，． 故选：C． 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 10. 已知，则下列正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值是 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】赋值法可判断A；利用不等式性质可判断B；利用均值不等式可判断C，利用1的代换可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，又，所以，故B正确； 对于C，由，得，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 故等号不成立，故C错误； 对于D，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD. 11. 已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A. B. C. 周长为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用和角公式结合已知等式推出，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算，逐一判断选项正误. 【详解】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】将函数存在单调递减区间转化为在上有解，通过参变分离求对应函数的最大值即可得到的取值范围。 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）. 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以. 13. 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取） 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率与全概率公式分析计算即可. 【详解】记事件表示最大的西红柿被摘到，事件表示最大的西红柿排在第个，则， 由全概率公式知：， 由题意知：当时，最大的西红柿在前个中，不会被摘到，此时， 当时，最大的西红柿被摘到，当且仅当前个西红柿中的最大一个在前个之中时， 此时，因此, 当，时，. 14. 在中，，，则BC的最小值为______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】先得到，由正弦定理和三角恒等变换得，换元后，结合求出最小值. 【详解】因为，，所以． 在，由正弦定理得， 所以． 又， 由，得． 将其代入得， ， 由得，令， 则，当且仅当时，取得最小值． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的单调区间和极值； （2）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围. 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值1，无极大值． （2） 【解析】 【分析】（1）代入参数后求导，通过分析导函数的符号变化确定函数的单调区间，进而判断极值情况； （2）先对参数分类讨论导函数零点的存在性及位置，再结合函数在区间端点处的取值和趋近无穷时的行为，利用极值点与零点的关系建立参数满足的条件． 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， ，令， 则当时，当时，且， 所以的单调减区间为，单调增区间为， 在处取到极小值，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以， ①若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去； ②若，令（舍去）， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上存在极小值点，所以，解得， 又因为在上存在零点，且，当，， 所以，即，解得， 综上，参数的取值范围为． 16. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令, 则， 所以的单调递减区间为; 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）①的角平分线交于点，， 即，由，得， 由余弦定理得：， 则，所以. ②． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理角化边求解. （2）①由结合角平分线，利用三角形面积公式，结合余弦定理推理得证；②由①的信息，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 . 【小问2详解】 ①略 ②由①得， 当且仅当，即时取等号，所以取得最大值. 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． （1）若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； （2）若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（ⅱ）若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）枚举出所有情况，并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得. 【小问1详解】 （ⅰ）由于恰好比赛四场结束，若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场， 则第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第二场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 第三场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，最终甲获胜； 故甲最终获胜的概率为； （ⅱ）由于恰好比赛四场结束，若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场， 若第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 则第二场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第三场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，最终丙获胜； 若第一场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 则第二场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，最终丙获胜； 故丙最终获胜的概率为； 【小问2详解】 若第一场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 则有情况一：第二场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第三场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况二： 第二场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第三场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 若第一场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 则有情况三：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为 最终丙获胜，概率为； 情况四：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况五：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第五场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况六：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况七：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中乙胜甲负，概率为， 第四场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况八：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 故最终丙获胜的概率为. 19. 已知，函数，. （1）证明：当时，对于任意，恒成立； （2）已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） 当时，函数，， 令，， ，设，， 当时，，所以在单调递增， 又，所以时，，在单调递增， 又，所以时，，即， 所以对于任意，恒成立. （2） （i） （ii）方法1：柯西不等式 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 由柯西不等式可知： 当且仅当时，等号成立， 又，所以， 当时，，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由(1)可知：，即，所以. 方法2：数形结合 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 则点为直线上的动点， 又表示原点与点之间的距离， 所以大于等于原点到直线的距离， 即，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由（1）可知：，即，所以. 方法3：代入消元 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 因为，所以， 要证：，即证：， 即证：关于的不等式成立， 即证：根的判别式， ， 因为，所以即证：恒成立， 即证：对于恒成立， 由（1）可知：，又， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）构造新函数，利用二次求导法进行运算证明即可； （2）（i）利用转化法，通过构造函数，利用导数判断单调性进行求解即可； （ii）方法一：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用柯西不等式进行运算证明即可； 方法二：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用柯西不等式进行运算证明即可； 方法三：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用代入消元法、一元二次方程根的判别式进行运算证明即可； 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）时，令， 因为，所以，令，， 因为曲线和有公共点，所以直线与函数的图象有交点， 因为时，，所以在单调递增，， 当时，， 所以. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2026～2027学年度上学期开学验收 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 10. 已知，则下列正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值是 D. 若，则 11. 已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A. B. C. 周长为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 13. 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取） 14. 在中，，，则BC的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的单调区间和极值； （2）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围. 16. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． （1）若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； （2）若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 19. 已知，函数，. （1）证明：当时，对于任意，恒成立； （2）已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $